В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

Так кан величины $ь независиыы, то прв фиксированном значении и(/) = т согласно формуле (68) имеем ( 1(~е л ь)~-э",аь. Путем осреднения по случайной величине и(!) получим Фп (!6! 1) М (ехр ()Ог)(!))) = ~~ Ф~ ()6) Р(п (/) =т) т 0 е ~' — [Л! Фг([ОИ"' ехр [Л/[Фт()0) — ![). т=о Гамма распределение. В 62,7 было показано, что время Гь появления й-го события в простом пуассонозском потоке представляет собой сумму й независимых случайных величии с одинаковой показательной плотностью вероятности (2.7;46). Плотность веров!ности времени <ь, как композиция й показательных распределений определяется формулой (2.7.60). Эта формула есть частный случай гамма-распределения я (ях) -ах Р (х; и, ч) е, а > О, ч > О, 0 < х ( оэ, (3.2.103) Г (т) где Г (т) = ~ хч 'е хсх — гамма функция [90).

Можно показаттч что начальный момент л.го порядка равен М ( 3" ) Г(в+ и)/ез Г (т) а ь ч (т+1)... (ч+и — 1). (3.2.104) Нетрудно установиттч что двз определя<ошик параметре гамма-распределения а и ч опРеДелнютсЯ чеРез математическое ожидание гл в диспеРсию Пз! а=т /<)„, ч=ш(,Ю1 . Если в (103) перейти к новой случайной величине т) 6/ [/)7 и учесть равенство а'[/)73 У~~, то получим т/2 и (у: т) — ут ! е ", у > О, (3.2.106) Г (т) 333 На рнс. 3.20 приведены графики втой плотности вероятности для нескольких значеннй параметра аь Плотность вероятности изменяется от показательной (прн ч 1) до нормальной (прн больших значениях т). Укажем дополнительные свойства гамма-распределения (103), Воспользозавшнсь выражением характеристической функции — ) е " р (х; а, ч) пх= (3.2.106) а — 10 о нетрудно убедиться, что гамма-распределенне обладает воспроизводящим свой.

ством по второму параметру, если случайные величины зь 1 = 1, 2, ..., й, нева. рЬ и) Рнс. 3.20. Гамма-распределенне безразмерной случайной величины 0,2 0 1 2 3 4 внснмы н каждан нз внх описывается соответственно своим гамма-распределеннем р (хк а, т,), то плотность вероятности суммы $, + ... + сь есть танже гамма-РаспРелеленне Р (хз а, Етз), Отметим, что если случайная величина $, имеющая гамме-распределение (103), подвергается преобразованню Ч 1и $, то плотность вероятности для Ч дается формулой ч р (у)= — ехр (ту — а е" )> — со а у ( от.

(3,2.107) Г (т) З.З. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ И ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Рассмотрим конкретные примеры различных функциональных (безынерцнонных) преобразований гауссовских случайных процессов и некоторых гармонических колебаний, зависящих от случайных параметров. Линейное преобразование гауссовского процесса. Предположим, что в линейном преобразовании (3.2.75) случайные величины $т и $ являются совместно гауссовскими и имеют нормальную плотность вероятности (1А.21).

Если расписать формулу (3.2.76) применительно к этому случаю и выполнить в ней громоздкие, но простые преобразования, то убедимся, что совместная плотность вероятности случайных 334 величин т)г и 7)з является также нормальной, т. е. имеет вид (1.4.21) со следующими параметрами: М (Чг) =от,+ Ьт„М (т)а) =ст, +йт„ Рч, = аз Рг+ Ьа Рт + 2аЬг УРг Рм (3.3.1 ) Р =с'Р -+г(зР.,-(-2сг(г 1/3 Р М (т)га т)гю) = асРг + ЬйРз+ (ай + Ьс) г УРг Рз, где г — коэффициент корреляции (1.4.23). Предположим, что р) = $г + Ез. (3.3.2) Из сформулированного выше утверждения следует, что случайная величина ть представляющая собой сумму двух совместно гауссовских случайных величин, является также гауссовской, т.

е. имеет нормальную плотность вероятности с параметрами М(В) =т,+тз, Рч — — Рг+Рз+2« (гРгРз. (3.3.3) Говорят, что семейство нормальных плотностей вероятностей залгкнуто относительно операции свертки (композиции) [121 или, иначе, семейство нормальных плотностей вероятностей обладает воспроизводя- и(имея свойством при композиции (8). Г. Крамером доказано обратное положение: если две случайные величины $г и $а независимы и их сумма йг+ $я нормально распределена, то каждая из величин йг и йз является также нормально распределенной (гауссовской). По индукции этот результат обобщается на случай нескольких (больше чем двух) случайных величин.

В связи с этой теоремой Крамера и ливейаыми преобразованиями двух совместно гауссовских случайных величин уместно сделать следующие замечания. 1) Теорема Крамера несправедлива, если случайные величины зависимы. Приведем следующий пример. Пусть $г и я совместно гауссовские с плотностью вероятности р (хг, х). Тогда случайная величина ч = яг+ я будет гауссовской.

Добавим и вычтем в двух одинаковых кругах (рис. 3.21, а) небольшие одинаковые равномерно распределенные вероятностные массы, в результате чего получим новую плотность вероятности рз (хг, хз). Обозначим случайные величины, имеющие эту плотность вероятности, через йг и йз. Ясно, что величины 5~ и $ не являются совместно гауссовскими и каждая из них в отдельности не будет иметь нормальную плотность вероятности. Однако из рассмотрения рис. 3.21, и легко понять, что случайная величина т) = йг + а будет по-прежнему описйваться нормальной плотностью вероятности.

2) Если каждая из двух случайных величин по отдельности гауссовская, но они не являются совместно гуассовскими, то их сумма не обязательно будет гауссовской случайной величиной. Приведем следующий контрпример. Пусть йг и Ц совместно гауссовские с плотностью вероятности рв (хг, х ). В результате прибавления и вычитания в четырех одинаковых симметрично расположенных кругах (рис. 3.21, б) одинаковых вероятностных масс получим новую плотность вероятности р (хт, «з), Случайные величины 5г, Ц, нмегощие плотность вероятности рз (хь х ), по отдельности являются гауссовскими (см, с. 71), однако ил сумма не будет гауссовской случайной величиной. 3) Можно построить та кие две случайные величины яг и яв, что три случзйные величины 5г, $ и $г+ $ по отдельности будутгауссовскими, хотя $ и $ не 335 будут совместно гауссовскими, Один из примеров такого построения поясняет рис.

3.21, в. 4) Если линейная сумма и = акт+ Ь$ гауссовская при любых а и Ь, то случайные величины 5г и $з совместно гауссовские. Примем ради простоты М (Ц М(кз) = О. Дисперсия суммы равна Р = асРт+ ЬзРз+ +2ааг 'и'РтРз. Согласно (1,4.2) запипгем выражение характеристической функняи гауссовской случайной величины Ч при д = 1: 1 Ф (1) = М ( ега ) =ехр ~ — — (аз Рт+Ьз Рз+2аЬг г' Рт Р, ) ~ = Ф, () а, 1Ы.

Здесь последнее равенство, написанное на основании (1дн22), показывает, что случайные величины кг и $ являются совместно гауссовскими. Рис. 3.21. Частные случаи суммирования двух случайных величин: сумма вегауссовских величин гауссова (а) сумма гауссовских случайных величин иегауссова (б), трн величины гауссовские, ио две из них совмест- но негауссовские (е) Приведенный выше результат о сохранении свойства гауссовости при линейном преобразовании двух совместно гауссовских случайных величин обобщается на большее число совместно гауссовских случайных величин. Справедлива следующая теорема. Теорема.

Пусть случайные величины т)„))„..., т), и (п, есть линейные функции от совместно гауссовских случайных величин ьхг ьз~ 'ю ьв' Я1 а11ьт + Изз ьз + "' + зтаьв» (3.3.4) Чга = ЙтА + Йага ра + " Ктз $а> где д,а — произвольные постоянные вещественные коэффициенты. Тогда случайные величины ))и т)„..., т) являются совместно гауссовскими. 336 Характеристическая функпия и совместно гауссовских случайных величин Ев дается формулой (1,4.41): Фй (10) = ехр ~1 т~ Ю вЂ” Ю йй Ю) . (3.3.5) 2 Запишем линейное преобразование в матричной форме т(=й4, (3.3.6) где т1 — матрица-столбец с элементами Пм т1м ..., и„,; $ — матрица- столбец с элементами $» $„..., $,; и — матрица преобразования а элементами Км йз - йа а21 азз "' Агав Я Яц Ювао -и Характеристическая функция преобразованной векторной случайной величины Ч по определению равна а,((ю!-а~,*,~> й о,„,))-м~„р(;а' з, Ф=! где Ю вЂ” матрица-столбец с элементами 6„6„..., д .

Учитывая, что т1 есть линейное преобразование (6), можем написать Фч ()тг) = М (ехр (1м' а$)) = Фй()а'О), (33.7) так как (й'Э)' = д'й. Таким образом, из (5) и (7) получим совместную характеристическую функцию для т-мерного случайного вектора т) Ф, (16) = ехр (1шйй' Ю вЂ” — Ю' ййй д'41). (3.3.8) Эту характеристическую функцию можно выразить через математи- ческое ожидание и корреляционную матрицу случайного вектора т(.

Из (6) следует, что гпч — — М (т)) = йМ (Ц = йшь. (3.3.9) Обозначим корреляционную матрицу вектора т) с элементами = М (т1„, т1м) чеРез кт(. Можно показать, что длЯ пРеобРазованиа (6) справедливо соотношение К„= ййй и'. (3;3.10) С учетом (9) и (10) формула (8) принимает окончательный вид: Ф„(1()) = ехР ~1шч Ф вЂ” — 6' й, д) . (3.3.11) 2 Раекрывая произведение матриц, получим запись совместной и-мерной хаРактеРиетичеакой фУнкции слУчайных величин 8» 8„..., 11 Вероятность попвдвнвя в зллнпе ностоянной плотяостн.

Пусть две совместно гэуесозскне случайные величины 8„ йе нмеют нормальную двумерную плотность вероятности (1.4.21), Этз плотность вероятности имеет одинаковое значение во всех точках эллнпсз (1.4.28). Вычнслнм вероятность» (с) попадания случзйной точки ($г, Цз) внутрь области з (с), ограниченной зллнпсом (1.4.28). Очевидно, что »(с)= ) )» (х ~) с(хз ~ 5 ы) Перейдем в этом интеграле к новым переменным хт — ю, ут= — г, у,=у 1 — г' от о, оэ (3.3.13) Якобнвн преобрзэовзння переменных рзвен д(лм лэ)/д(уп у ) = ого /)/ ! — г'. Рассмотрим новые случайные величины Ч, я Ч, получаемые яз $, я Ц путем линейного преобрззовззня (13). Ясно, что тп я Ч являются совместно гэуссовскнмя случайными величинами, причем нз (13) следует, что онн не коррелнрованы, имеют нулевые математические ожндзнн я н одинаковые дисперсии о' 1ь = о' = 1 — гз. Поэтому плотность вероятности для Чх н Ч имеет внд чВ ! ! », (Ух, Уэ) = ехР ~-, (У,'+У,')~, (3.3.14) 2л (! — га) ~ 2 (! гз) л эллкпс переходит в окружность удз + у,' = сэ.

Характеристики

Список файлов книги