В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(3.4.2) Перемножив левые н правые части равенств (1) для двух моментов времени 1г и'1, и выполнив операцию вероятностного осреднения, найдем выражение для ковариационной функции: Кч (1м 1») = тмг (1м (з) = М (т| (Гг)П (»»)) = а,' + а,а, [т, (Г,) + + т,(1,) — 2с1+ а,'[тьа((м Г,) — ст, (1,) — ст,(1,) + с|1+ ... + + а„' М ([я (1,) — с[" Д (ц,) — с1"). (3.4.3) Аналогично записываются выражения для высших моментных функций.
Для получения выражения момеитных функций выходного процесса и (1) в явном виде через моментные функции входного процесса я (1) нужно воспользоваться формулой бинома Ньютона Д вЂ” с)'= ~ ы 5ь»с» Сев П(ы )| раскрыть члены вида !$ (»») — с[" !в (1,,) — сР Д (1,) — с1" ..., к, 1, т, ....:~ п и затем выполнить вероятностное осреднение.
При этом если процесс с (|) задан своими моментными функциями, то сразу получаем нужный результат. Если же процесс $ (») задан плотностями вероятности или характеристическими функциями, то по ним необходимо предварительно вычислить моментные функции. Для гауссовских процессов моментные функции находятся сравнительно просто, например, по формулам (1.4.45).
Из формул (2) и (3) видно, что моментные функции процесса Ч (Г) линейно выражаются через моментные функции процесса $ (1), однако формулы для моментных функций выходного. процесса включают более сложные моментные функции входного процесса. В этом состоит 356 Характер спектра 5+(/) при а (( ы, показан иа рис. 3.30. Спектр является ч дискретно-сплошным. Он состоит из трех днскршных спектральных линий иа частотах / = О, )а и 2/,; две последние обусловлены только сигналом (первая строка в формуле (6)), трех сплошных состазляюших спектра, обусловленных только шумом (вторая строкз), и двух сплошных составляюших спектра (два последних слагаемых), обусловленных взаимодействием сигнала и шума в результате нелинейного преобразования.
Если бы преобразование было линейным (аз = 0), то ич формулы (6) следовал бы очевидный результат: спектральная плотность суммы сигнала и независимого шума равна сумме их спектральных плотностей. Укажем, что для выяснения качественного характера спектральной плотности часто бывает полезно предварительно проанализировать характер спектра применительно к гармоническим колебаниям (в рассмотренном примере применительно к сумме двух гармонических колебаний с частотами ы, н ыз). Рис. 3.31. Схема простейшего радиометра 20)=" ) ь(()п/ =, ~ и" (')пу . г ~ — т (3.4. 7) Воспользовавшись свойством (6.2.2) переместимости операций математического ожидания и интегрирования и учитывая, что т =- О, получаем ч (3.4.8) где () = 2аКз5, (/,)Л/.
Видно, что при других фиксированных параметрая ч математическое ожидание выходного сигнала рзлиометра пропорционально высоте спектральной плотности входного процесса на центральной частоте /м На основании формулы (2.6.17') записываем выражение для ковариационной функции процесса ь (О на выходе квадратичного детектора К( (т) = тьз+ И( (т), т( = а' () з, /7( (т) = 2аз )7' (т) . 358 Пример 3.4,2, Чувствигеаьность радиометра.
Вычислим чувствительность простейшего радиометрз (рис. 3.31), состоянгего из идеального узкополосного линейного фильтра, квадратичного элемента (детектора) и интегратора. Амплитудно-чзстотнаи характеристика узкополосного фильтра показана иа рис. 3.32, а; полоса пропускания фильтра Ь/ много меньше центральной частоты /з (Л/ ~ /,). На вход фильтра воздействует гауссовский стационарный случайный процесс х (г) с нулевым математическим ожиданием (т = 0) и непрерывной спектральной плотностью 51 (/), которую в прелелах полосы Ь/можно считать постоянной и равной 54 (/з). Время осреднения интегратора предполагается много больше величины, обратной ширине полосы входного фильтра радиометра (Т )> 1/б/).
Чувствительность раднометра будем характеризовать отношением т /о, где ш в о = (/ — машмзтическое ожидание и среднееквадратическоеотклонет т 7 ние выходного процесса у ((). Согласно схеме рис. 3.31 имеем Такой ковариационной функции соответствует спектральная плотность 5!(1) = ~ (азР'+2ат)га(т)) -!хяlтги=ааР' 5(1)-)- +о ) ч(1) ч(1 так как ) )!пе(т)е !~"! Фт= ~ 5, (1')г(1' ~ )гч(т) е !кя (! ! )~бт= = 1 5„(1')3„(1-1) 1'. Рис. 3.32.
Амплитудно. частотная ха. рактернстика узкополосного фильтра радиометра (а) н спектральная плот. ность процесса 5(!) (б) фа Г -!фа -аГ 0 д1 гф !ау Спектральная плотность процесса Ь (!) на выходе квадратичного детектора состоит из дискретной линии на нулевой частоте и непрерывного спектра (рис. 3.32, б). Дисперсия напряжения на выколи рздиометра определяется формулой (5.3.6!), которую длв данного прнмера следует записать в виде Г г 4ат !'1 т т Р = — ~ ! — — ) Я (т) б'г = — ) ~ ! — — ~ Р" (т) бт. о Корреляционная функция процесса П (!) на выходе идеального узкополосного фильтра дается формулоя (5.3.49), т.
е. 5(п лдж (т) =Р яЛ1т соз 2п1о т. Если подставить вто выражение и учесть условие Т и !/51, допускающее приближенное вычнслевие интеграла, то получим , г а о ч Т4!' Из формул (8) и (9) находим чувствительность радиометра гл„1о =)/Т51.
(3.4.9) (3.4.)0) 359 Прв принятых ранее допупгениях чувствительность раднометра вочрастает каи корень квадратныя нч произведения времени интегрирования на полосу пропускания входного фильтра. Кусочно-разрывные и трансцендентные преобразования При рассмотрении воздействия достаточно сильных сигналов и помех на нелинеиные устройства часто применяют аппроксимацию их характеристик кусочно-разрывными или трансцендентными функциями д (с), поскольку они позволяют лучше передать основные свойства рабочего участка нелинейной характеристики. Вычисление моментных функций выходного процесса для нелинейных преобразований такого вида можно выполнить двумя тесно связанными методами: прямым и методом характеристических функций !105, 106).
В прямом методе используются сами нелинейные характеристики и вероятностное осреднение выполняется с помощью плотностей вероятностей. При этом одномерные моменты находятся по формуле т (() = М (т!' (()) = ~ д" (х) р (лл () г(х, (3.4.11) а для ковариационной функции справедливо выражение Кп ((» (г) = М (и ((~) и ((г)) = д (хг) я (хг) Рг (х» хг' (» (г) дх, цхг (3.4 ! 2) В методе характеристических функций нелинейная характеристика представляется о помощью преобразования Фурье или Лапласа. Если функция д($) и ее производная кусочно-непрерывны и д($) абсолютно интегрируема, т, е. ') |п(х) )~х(оо, то существует преобразование Фурье от характеристики устройства г'()д)= ~ д ф е-~од с$ (3.4.13) и сама характеристика может быть представлена через обратное преобразование Фурье: т)=д($) = — — ~ Р(! 6) е!от~И. (3.4.14) 2л Во многих интересных случаях характеристика элемента не является абсолютно интегрируемой функцией, ее преобразование Фурье не существует и равенство (14) непосредственно применено быть не может.
Предположим, например, что функция д(в) равна нулю при Збо Е ( О, она и ее производная кусочно-непрерывны и на бесконечности уД) имеет экспоненциальный порядок роста, т. е. [8($)[(й ехр (а$) при х) О, где Ь и и — постоянные. Тогда функция у (з) = д ($) ехр ( — и'$), где и') а, абсолютно интегрируема, так как [у/$[= Й ехр[ — (и'— — а)$[, и ее преобразование Фурье должно существовать.
Поэтому согласно (14) можем написать ра= — ' ~ . [[иа -" Домножив обе части этого равенства на ехр (и'$), имеем д($)= — ' е'"'+нм г ~ д($) е-<"'+~о> ас$30. 2я ) ) о Если ввести комплексную перем иную в = и+ [д, то интеграл по действительной переменной д можно заменить контурным интеграгом вдоль линии ш = и' + [д в плоскости ш и написать а+3 ч=а($)= —. ~ Р(ш) еа дш, (3.4.! 5) 2н[ где и') и и Р(ю)= ~я ($) е — - и'$. (3.4.16) В рассматриваемом случае (д (з) = О, $ ( 0) функция Р (ш) определена как одностороннее преобразование Лапласа от характеристики эле-' мента. Если характеристика не обращается в нуль на полупрямой, то следует пользоваться двусторонним преобразованием Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
