В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 72
Текст из файла (страница 72)
3.34) — ь й< — р, и — а я= ао — р (е (с« а, 1)а, (3.4.33) воздействует стационарный гауссовский процесс и (т) о нулевым математнчесиим ожиданием н иорреляциоиной Функцией йс (т! = 03 г, (тд Требуется найти математичесиое ожидание и корреляционную Функцию процесса Ч (С) на выходе ограничителя, В соответствии с определением ааписываем выражение для математического ожидания -а а и, = ) я(х)р»(х)дх= — Ь ! ре(х) их+а ) хрй(х)«(х+о! р (х)Нх. -и Збб Подставив сюда нормальную плотность вероятности рз (х) с и. = О, получим й — — ! — Ф вЂ” — Ф' — — — ! — Ф вЂ” + (3 4.34) ,,и„ При вычисления коррелянионной функции воснольвуемся формулой (23).
Для рассмагриваемого ограничителя нужно положить и = 2 (рис. 3.34). После двукратного дифференцирования нелинейной характеристики п($) имеем ; (5) = а (6 (5 + Р) 5 (5 и)). Подставив вто выражение в (23) и выполнив интегрирование, получим оконча- тельную формулу для корреляционной функции га(,) Й (т) =(го )в р ~ Ф! >( ! — Ф!а > ~ — ) ~ ' (3.4.35) л=! В табл. 3.! приведены выражения ковариационных функций процессов на выходе нелинейных элементов с несколькими различными кусочно-разрывными характеристиками.
Оии получены аналогичным путем. пример 3.4.4. Ковариационная функция процесса на выходе идеального ограничителя. Корреляторы совпадения полярностей. Вычислим ковариационную функцию процесса Ч (!) на выходе идеального ограничителя с характеристикой (рнс. 3.35) 1, 5(!) О, ч(О> и (ь(!)) = йпь(!)= О, ь(!) =О, — 1, Ц(г) (О, (3.4.36) где Ч =Р(с (О)= ~ р, (х) г(х, д,=р(5)О)=~ Рй (х) Ых; 367 где входной процесс ч (!) предполагается стационарным в узком смысле с известной двУмеРной плотностью веРовтности Рз (х,, х,; т).
Рассматриваемый ограничитель преобразует непрерывный случайный процесс 5 (!) в дискретный процесс з> (!), представляю>ций собой случайную последовательность биполярных прямоугольных импульсов амплитудой ~ ! (рис. 3.35). Такое преобразование часто применяют при цифровой обработке аналоговой информации. В инженерной практике операцию (36) часто называют амплитудным квантованием ва два уровня или клипнированием, а процесс Ч (() — илиппированным'процессом.
Если уровни ограничения отличны от 4-1, то можно воспользоваться формулой (2.2.67). Несмотря на то, что выходкой процесс Ч (!) по виду существенно отличается от входного $ (!), он сохраняет некоторые свойства процесса 5 (!) (характер изменения полярностей, число пересечений с горизонтальной прямой на уровне Н ( 1 и др.). Очевидно, что плотность вероятности выходного процесса есть сумма двух дельта-функций: Р (р) = чгб (р + 1) + ча 6 (и — 1), О к Я У й О лу о о !~ ч о Л о м ~у мл о с:~ о Ф езо Р :С В х 'Ю о 3 х ю о х х Ф й~ хх Р х х х о хо 8а х Р РР Ф Р о З Ф Ю х х М х Ф х х о х Ф х а Ф о Х х хх х х х хх х Х Р,Х, х хх х ~х о ~ 4- ""~ о ! е 1 а~,8 ! 9 8~6 + =.
Ч! 4. ! В + О 9 8~ЯИ +" РБХ Охл жОР Б я х х х хрх ххР х йхх6 4. 4. Ю ь„ ~а =Ч о ы о еО ~а.,д ьо Л '~ ь ! р«О Ф ~ о 1 К 8 з Ф 6 ь ь Р .е о Ы Ф Ф а ь Ю м < С4 Ч' 1~Д ! ч 7 Ю Ю; Ж О $ а'~ ь ~оп ь ьь.~ ь$ Я ь ь ьь 1 ~33 ! Рь ь 'Т .О 0 ь Ю $- аь ь б д а~ ,Р Ж Я К '~~ Й ь. Оь ь 1 + С и о Ю М а а \ Ф й й » Ф Ш й о й й о Ф о о д $ ф (ц» » р СЧ + б С Ю 6 Л ь "6 » Сч оф ао оаэи И ~~, о.
ж ооД И л о ~ о Х г Р (х) †одномерн плотность вероятности входного процесса 1((). Математическое ожидание выходного процесса о шч=й) (т) (!))= ) УРп (У) лУУ йз — Чг=~ Р. (х) г(х — ) Р (х)Их. а (3.4.38) Запишем выражение для ковариационной функции процесса К (т) =М(ц(г) п(г+т))= эйп х~ зкп хзрз (хгр хэ; т) дхгг(хз. (3.4.39) й(у) 0 з)(!) 0 Рис. 3.34. Характеристака ограничителя и ее произ«в водные Рис. 3.35. Входной $(!) и выходной г!(!) процессы идеального ограничителя с характеристикой г) (!) айпи (!) Произведение зяп хг айп ха равно +1 в первом и третьем квадрантах плоскости х,х, и равно — 1 во втором и четвертом квадрантах.
Поэтому о а К, (т) =) ! р, (х„х,; т) г(хгИх,+ ) ~ Р,(хт, ха; т) Фхгб,— о в е о — Рт (х„хт; т) пхг г(хг — ~ ~ Рз (хт, хм т) дх~ г(хт. (3,4 40) о— о Подставив сюда конкретное выражение двумерной плотности вероятности входного процесса а выполнив интегрирование, получим требуемый реаульзат. Для дальнейшего рвссмотрения заметим, что значения процесса г) (!) и г) (г+ т) могут иметь либо одинаковые, либо равные знаки. Очевидно, что для веРоЯтности совпалениа знаков Р (т) = Р+ч (т) + Р (т) и веРоЯтности несовпадения аваков Р (т) = Ря (г) + Р .ь(т) должно выполняться условие нормировки: рж(с)+Р (т)=1.
Здесь испольаованы обозначения типа р+ (т) = Р (г) (1) = 1, т! (( + т) — !). Поэтому выражение для ковариационвой функцнв можно записать иначе: К„(т)=1 1 Ре ь(т)+( — 1) .( — 1)Р (т)+1 ° ( — !)Р+ (т)+( — И !.Р +(т)= =9Р+ (т) -1 =1 — 2Р (т). (3.4.41) 373 Для стационарного гауссовского процесса з (/) с нулевым математическим оягнданнем (т 0) имеем т = О, н зти вероятности даются выражениями ч (3.3.22).
Подставив нх, получим К (г) =/т (т) =(2/л) агсз!пге (т), ч (3.4.42) где — и/2 < агсз1п гд (т](п/2. Разлагав пра г~д( 1 функцию агсз)п гд в степенной ряд, имеем 2 2 / ! /г (г) = — агсзгн г (т) = — 1( г (г)+ — г~а (т)+ ч 6 1 ч 1 135 1 + — — г' (т)+ — — г' (т)+...) 2.4 5 ч 2.4 6 7 Для малых значеннй т -ь 0 имеем гз (т) -~ 1 н /г (т) гй (т) . (3.4.43) йа Рис.
3.36 Две нормнрованные корреляционные функции на нходе и выходе идеального ограни- чнтеля В противоположном крайнем случае, когда т ь оо н г!(т) -ь О, из (43) следует, что /7ч (т) — (2/и) гй (т) . Из этих предельных выражений можно заключить, что влияние ограниченна процесса проявляется в сужении корреляционной функции выходного процесса по сравнению с корреляционной функцией входного процесса и соответственно в расширении исходного спектра. Справедливость этого результата подтверждается также кривыми рнс. 3.36, на котором приведены графики двух корреляционных функций /7 (г) для гг (г) = ехр ( — (т)) и гз (г) = ехр ( — гз).
Для стационарного гауссовского процесса нз (41) н (42) получаем р.ь (т) =1/2+(1/и) агсып гй (т). (3.4.44) Широкое раянообразие задач, решаемых в настоящее время спектрально- корреляционными методами, привело к разнообразию способов аппаратурного определения корреляционных характеристик случайных процессов. В большинстве случаев исходят нз допущеннн, что исследуемый процесс з (/) обладает свойствами стацнонарности н зргодичностн и его корреляционная функпня 'может быть представлена выражением (2.1.77). Методика экспериментальнога определения корреляционной функции в соответствнн с этим выражением подроб. но рассматривается в 4 5.4.
Здесь лишь отметим, что при практической реализация алгоритма (2.1.77) часто возникают яатрудневня в осуществлении операций егулируемой задергкки н перемножения аналоговых величин. ущественно упростить экспериментальное определение корреляционных кзрактернстик удается прн использования полярных (знаковых) методов. В основу этих методов положены соотношения (40) и (41), связывающие нормированную корреляционную функцию г„(т) входного пропесса З (/) н корреляционную фуннцню /7ч (т) знаковой последовательности т) (г) = зйп $ (/).
Авпаратурно, как правило, вычисляется либо ковариацнонная функция 374 г К, (т) = йщ —, зйп 5 (1) зйп $ (1+т) йт, г р (3. 4 Аб) когорая совпздает с )(„(т) при тч О, либо вероятность совпздения полярностей исследуемого процессе $ (1) в моменты времени 1 и 1+ ж р+ (т) = Р (й (Г) ) О, $ (Г + с) ) О) + Р ($ (1) (О, $ (1+ е) ( О) = Р (т) (Г) з! (1+ т)). (3.4.46) (3.4.47) Используя зятем функпиональную связь '; (т) = )х ()(ч (т)) = [з (р+ (т)) гх(т) = (и!с! мпла (г) = — созпрж(т). (3.4.48) Отметим, что вппарзтурно соотношения (45) и (46) реализовать значительно проще, чем (2.1.77). Так, нэпример, перемножитель теперь становятся зквивал ениным простой схеме совпадений, технически несложно выполнить и регулир уемую зрел~сивую задержку последовательности прямоугольных импульсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
