В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(3.3.72) В данном случае уравнение (70) в интервале ( — л,л) имеет только два решения, причем для каждого из них р (гр) = 1/2л. Поэтому формула (71) принимает вид Р, (х) =1/лАоУ1 — (х/Л,)', 1х[( А,. (3.3.'73) Функция распределения, соответствующая этой плотности вероятности, равна г,(х) = — + — агсз[п(х/Ао),1х~ ( А,. ! ! (3.3.74) або Плотность вероятности и функция распределения изображены нз рис. 3.28. Предположим теперь, что плотность вероятности случайной фазы является очень медленно изменяющейся функцией, так что ее можно считать почти постоянной в любом интервале длиной 2п (рис. 3.27, б).
Учитывая наличие в каждом из таких интервалов только двух решений, на основании условия нормировки можем написать приближенное равенство Ре («Ра) — ~ Ре (ф) «(»Р а= ут (р -АЗ 9 АаШ Ар и АЗШ а~ ()у Рис. 3.28. Равномерная плотность вероятности фазы (а), плотность вероятности гармонического сигнала (б) н его функция распределевия (и) Зтот результат применим к радиосигналу «Я=А» з!п ю»(» — т), постоянная частота которого ы» достаточно велика.
а еременндй сдвиг т есть случайная величина с ограниченной плотностью веронтности. При большой частоте плотность вероятности случайной величины аее, получаемая из плотности вероятности для т путем увеличения масштаба, т. е. по формуле виде (3.2.9), повидимому, будет удовлетворять нашему предположению. Поэтому такой радио. сигнал будет иметь приближенно ту же плотность вероятности, что и сигнал (69).
Формула (УЗ) останется приближенно справедливой и в том случае, когда фаза Ф сигнала (69) представляет собой сумму достаточно большого числа и независимых случайных величин $ь о ограниченными„но, вообще говори, произвольными плотностями вероятности, посиольку плотность вероятности для ч», получаемая в результате композиции большого числа индивидуальных плотностей р (х), будет сглаженной и достаточно «широкой».
йь Плотности вероятности (73) соответствует характеристическая функция ГР () (); () = йй (ехр ()бАе з)п (ше (+«р))) = = — ) ехр Ц()Ае з1п(ш, г+Ф)) г)Ф=,)а (Аед), 2я,) где у, (х) — функция Бесселя нулевого порядка. (3.3.75) 35) При этом формула (71) перейдет в (73). Следовательно, при сделанном предположении плотность вероятности сигнала со случайной фазой оказывается приближенно такой же, как и для сигнала со случайной и равномерно распределенной в интервале ( — и, и) фазой. Рассматривая два момента времени 1, и 1„получим выражение для двумерной характеристической функции гармонического сигнала со случайной и равномерно распределенной фазой: Ф»()д„)йь (ь 1») =М (ехР [16,А, зш(а»«г',+Ч)+ +16»А» зш (шо 1»+ ~Р)[) = — ехр [)А» Уй[+О»»+26~6~ соз»»~ » з[п(<р+т)[ йр= 2п,) = 7» (А» Уй[+ О,'+26,6» соз «»»т), т = 1» — Г,.
(3.3,76) Подставим эту характеристическую функцию в обратное преобразование Фурье и воспользуемся теоремой сложения для бесселевых функций '7» (Аю [ «1 + ~» + 2~» «» соз ««о *) = =;~ ( — 1)'" Е,„,7„, (А» 6»),7„, (А»д») соз тв»т, «г= О где Е„= 1 при т = О и Е„= 2 при гп ) 1. Тогда после преобразований получим двумерную плотность вероят- ности рассматриваемого гармонического сигнала р,(хн х,)=(пА,)-» ~ Е,„Ч'~ ~( — ') Ч'„' 'Ясозт о»»т.
(3.3.77) т В ло о Функции Ч»' ~ (х) являются т-ой производной от Ч" (х) = ( ~) (1 — х')" — ы» (2«» — 1) и и связаны с полнномами Чебышева первого рода Т (х) соотношением »Р„'' (х) =(1 — »)-ы» т„(х). Формулы (76) и (77) часто нспользуютоя в корреляционной теории при анализе функциональных преобразований суммы гармонического сигнала и гауссовского шума.
Плотность вероятности радиосигнала со случайными амплитудой и фазой. Найдем одномерную плотность вероятности для случайного радиосигнала з (1) = А (1) соз Ы + <р (1)[, А (Г) .=- О, (З.З 76) у которого «амплитуда» А (Г) и фаза Ч~ (1) являются случайными про- цессами. При этом сразу сделаем предположение, что как сигнал з (г), так и его амплитуда считаются стационарными относительно своих одномерных плотностей вероятностей (они не зависят от времени).
По определению характеристическая функция сигнала з(1) для некоторого фиксированного момента времени равна Ф ([6; Г) = М (ехр [16 А со» (м»1 + <р)[). 352 Вероятностное осреднение в правой части должно производиться по двум случайным величинам А и лр, взятым в один и тот >ке момент времени.
Запишем совместную плотность вероятности этих величин в виде Р (А, лб) = РА (А) р (<р ~ А) и воспользуемся известным разложением ехр (1дА соз (лбб 1+<р)! = .'~э ~)л 7б(Ад) е1» <" л+э1. (3.3.83) Теперь можем написать Ф (1д; 1) = ч', 1л~,(д (Ад) РА (А)л(А ) е1'<э"+ э1 Р(лР1А) лЗР.
б Для стационарного процесса з(1) характеристическая функция Ф(1д; 1) ие должна зависеть от времени (. Одним из простейших и очевидных условий, гарантирующих эту независимость, является принятие сле- дующего допущения: в один и тот же момент времени фаза р (г) счи- тается независимой от амплитуды А (л) и равномерно распределенной в интервале длиной 2п, т. е, Р('Р 1А) = Рб ('Р) = 1/2п, ~ ~>) (бб, (3.3.79) При этом характеристическая функция принимает проатой вид лбб) 1 л, (лю) р (л) лл ) " л, (лл) ллл, (9.3.80) А б т.
е. представляет собой преобразование Гаккеля нулевого порядка от функции РА (А)!А. Обращение этого преобразования дает =~Ф (1д) л (Ад) дл(д. (3.3.81) А б Зная характеристичеакую функцию, находим одномерную плот- ность вероятности сигнала з (л): л( >- — ') -~'*~бе)лл-) р.(л~лл х 2л Х вЂ” 1 е-1б" lб (Ад) б(д= — ( ",(х. (3.3.82) 2лл 1л Аб — хб 1л1 Если в этой формуле перейти к новой переменной интегрирования у, положив А = 1х~ с)1у, то получим р,(х) = — 1РА ((х~ а)1 д) б(р, 1 г о !2 Злк. ббб ЗЗЗ Заметим, что формула (81) совпадает с (2.3.58), а формула (82)— с (2.3.57), хотя они получены при несколько различных исходных предпосылках.
Следовательно, при выполнении указанных выше условий плотность вероятности радиосигнала вида (78) будет одинаковой как в случае постоянной частоты ш, так и при случайной частоте с четной плотностью вероятности р (ш) = р„ ( — ш). Формулы (81) — (83) устанавливают однозначную связь между плотностями вероятности самого случайного радиосигнала и его амплитуды.
Однако необходимо иметь в виду, что они справедливы лишь при стационарности сигнала и его амплитуды относительно одномерных плотностей вероятностей и выполнении условия (78). Приведем несколько конкретных примеров. В том частном случае, когда амплитуда сигнала фиксирована, т. е. Рд (А) = 8 (А — Л,), формула (82) переходит в (73). Во многих практических случаях амплитуду сигнала (78) принимают распределенной по закону Релея; Рд (А) = (А/0) ехр ( — АН20), Л ) О (3.3 84) В данном случае формула (83) дает нормальную плотность вероятности сигнала р,(х) =(2л0) '~~ схр ( — хз720).
Следовательно, если в сигнале (78) амплитуда и фаза независимы в один и тот >ке момент времени, причем амплитуда распределена по закону Релея, а фаза— равномерно в интервале ( — и, и), то случайный сигнал имеет нормальную плотность вероятности с нулевым математическим ожидаииел~ и дисперсией 0. Наоборот, если случайный сигнал нмеег гакую нормальную плотность вероятности, то при других оговоренных условиях амплитуда сигнала будет распределена по закону Релея (84).
Воспольаовзвшись формулой (83], можно показать, что если.в сигнале (78) случайные величины А (1) н ф (!) независимы, причем фаза ф чмеет равномерное распределение (79), а амплитуда А — нормальное с нулевым математическим ожиданием и дисперсией О, то плотность вероятности сигнала (78] имеет вид 1 I х' 1 / ха р, (х) = — К„~ — ) ехр ~ — — ), (3,3.85) * и(/2п0 )40) ~ 40! где Кз (х) — функция Гаккеля нуленого порядка от мнимого аргумента, Плотность вероятности суммы гармонического сигнала со случайной начальной фазой и гауссовского шума.
Вычислим одномерную плотность вероятности суммы двух независимых случайных процессов: гармонического колебания з (1) = А, соз (шо1+ ф) с равномерно распределенной начальной фазой (72) и гауссовского стационарного шума 5 (г) с нулевым математическим ожиданием: Ч(1) = ь(7)+ (7).
(3.3.86) При некотором фиксированном моменте времени совместная плотность вероятности для 5 (1) из (7) ввиду их независимости равна произведению их одномерных плотностей вероятностей р(х, з)=пз (х) р, (3) = 1 е- зузп (3) ( А п)l 2п 0 (Ад — зз) По формуле (3.2.60) можем написать Введем новую переменную интегрирования сог!асио равенству в = Ае соз ф г)з = — Ао з)п тр, т(тр = — )ГАв — з' г(Ф 0 ( ф ( и. -г а г ч ах Рнс. 3.29. Плотность вероятности суммы гармонического сигнала со случайной начальной фазой и гаус- совского шума Тогда получим о Если ввести безразмерную случайную величину ь = т)4/О и обозначить чеРез а.= Ае)0!тз величинУ, хаРактеРизУющУю отношение сигиал-шум по напряжению, то придем к окончательной формуле р (г) = ехр (1 — — (г — а соз тр)в 1 г(ф = о ~Ь' —,Рт Ь + —; 1; — — аз1, (3,3.87) где а х и (и+1) х~ и (м+1) (м+2! хз у 1 у (у+1) 2! т (у+1) (т+2) 31 (3.3.88) — вырожденная гипергеометрнческая функция. Графики плотности вероятности (87) для нескольких значений параметра а приведены на рис.
3.29. !чь 355 3.4. ПОЛИНОЯ|ИАЛЪНЫЕ И КУСОЧНО-РАЗРЫВНЪ|Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Полииомиальные преобразования 11041 Пусть характеристика нелинейного элемента Ч (1) = д Д (1)) является аналитической функцией в окрестности некоторой точки с. Тогда ее можно разложить в ряд Тейлора: а'я д) ~ Ч=д Д) =а,+а, Д вЂ” с)+ ...+а„Д вЂ” с)", аь=-— 1»вЂ” (3.4.1) Число членов, которые необходимо учитывать, определяется необходимой точностью аппроксимации. Обозначим начальные моментные функции процесса я (Г) через т, а процесса П (1) через т. Вероятностно осреднив левую и правую части равенства (1), получим т,(1) = М (Ч (()) =т„(1) =а,+а, М (Д(1) — сЦ+ ...+а„М([Б(1) — с1" ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
