В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 67
Текст из файла (страница 67)
'г!з основании этого нлн же фор- мзльно пряменяя формулы (3.2.49), можем написать се+уз<с' Переходя к полярным координатам ут = р еоз гр, уз = р яп ю, где О ( гр ( 2п, О ( р ( с, получаем » (с) = 1 — ехр ( — сэ/2 (1 — гэ)). (3.3.15) Преобразование (13) показывает, что две коррелнроззнные случайные величины с помощью линейного преобразования всегда мозкно привести к некоррелнровзпным. Отметим, что рассмотренный пример попадания двух совместно гауссовских случайных величин в эллипс равных вероятностей относятся к одному нз немногнх случаев, когда требуемая вероятность вычнсляетея просто. В больщннстзе другах случаев вычнслення- оказываются более сложными, Тзк, взпрнмер, вероятность попздзнвя точки (Чн Чэ) с плотностью вероятности (14) внутрь эллнпсз у,' + аэу,' = сэ определяется интегралом 338 Т)оследние две формулы показывают, что в результате линейных преобразований совместно гауссовских случайных величин (процессов) получаются также совместно гауссовские случайные величины (процессы).
Оказывается справедливо и обратное утверждение (8): если случайный вектор т) гауссовский и если он представляет собой линейное преобразование случайного вектора $, то Ц должен быть тоже гауссовским случайным вектором. Таким образом, если случайный вектор В есть результат линейного преобразования случайного вектора й, то вектор т) является гауссовским случайным вектором, если и только если й — гауссовский случайный вектор. Чтобы случайный вектор являлся гауссовским„все возможные линейные комбинации его компонент должны быть гауссовским вектором [27).
1 Р р Г 1 йд (! —.д) 1 2(1-") ' (уд +/д~)~ суд д(у ад + ада д(сд 1 з д а (1 — гд),,) ~ 4ад (1 — гд) !' '1 4ид (1 гд) 1 ) 'о где 1„(х) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумевта, Интеграл (16] выражается через табулированную функцию д) (о, и) (85).
Плотность вероятности произведения двух гауссовских величин. Вычислим плотность вероятности произведения двух совместно гауссовских коррелирован. ных случайных величин Сд и Е с разными нулю математическими ожиданиями. Такая задача возникает, например, при анализе работы коррелометров, Полагая в формуле (!.4.21) шд = шз = 0 и воспользовавшись формулой (3.2.57), для плотности вероятности случайной величины т) = $дя получим 1 гу (1- 'Н (3,3.17У где Кз (х) — функция Гаккеля нулевого порядка от мнимого аргумента. В двух частных случаях, когда совместно гауссовские случайные величиньд независимы (г = 0) и когда они тождественны, т. е. д) = аР, а ) О, формула (17) упрошаетсш Плотность вероятности частного двух гауссовских величин.
Пусть требуется вычислить плотность вероятности частного т) = $ /8д двух совместно гауссовских коррелирозанных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями, В данном случае по формуле (3.2.58) получим р„(у)= ~ рй! (хд.,ухд)(хд(д(хд —— 1 (' ~ х,' а,'— 2гад а, у+а,' у'1 "хдехр" д(хд = надо, (1 — г'),1 1 2 (1 — гз) ад' а3 о )/1 — гз ота /п (3.3.20) ад (у — га~/а~)а+а, '(1 — гз) Таким образом, отношение двух совместно гауссовских случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями имеет плотность вероятности Коши с максямумом (центром) в точке у = га /од.
330 гу ') /' !у! „,, ~/ —., ~;,(1 — ")/ ~;;(1-")/ рч (у) = К, ! ! ~ (у( 1 / у 2ааз (3.3.!8) (3.3.18) Функция раепределевия, соотвегствуюшая плотнооти вероятности (20), рав- на 1 о, у — гог (У) = ( р РО аг — + — агс!3 —. (3.3,21) ч ) ч 2 н о (/1 — гт 1 и Р (3,> О, 3, > О) =Р (Зт <О, 3, < О) = — + —, 1 о. Р (Ьт > 0 г Зе < 0) = Р ($» < Оа Зе > О) ~ — в (3.3.22) где а = агеа(и г, — и/2 < а < н(2, (3 3.23) Заметим, что при тг = тт 0 плотность вероятности (1.4г21) имееч оди.
паковый еид е первом в третьем квадрантак. Почтову для докввачельетва фор. мул (22) доетатвчво вокаевть, что Р (Ы, < о) 1(2— (3 3.24) Ясно, ччо йг$т < 0 тогда и только тогда, когда г~ Зтгйг < О, Следовательно, Р (Згйе «о) - 1' (цу1, < о) - Р (т) < о) . Полагая е (21) р О, имеем 1 1 1 1 Р (0) — (- — агс(с — — — асса(п г. 2 и ~/)' "я 2 н Отсюда следует Формуле (24), которую также можно еаписеть иначе: Р(Зги < 0) () гм, еое() .г, 0< () < а, () м(2 — м.
(3.3 25) Формулы (22) покавыгают, что при г Зь 0 суммарная вероятность того, что случайные величины йг и ся одйополярны, больше суммарной вероятности получения равнополярнык вначений величин йт, йя и наоборот: Р ($1 3, Зь 0) > Р ($т $, < 0) при г > О, Р (Зг Зт > 0) < Р (Зт Сг < О) при г < О. (3.3.26) Этот рееультат можно наглядно пояснить ориентировкой еллипса постоянной вероятности (см, рие, 1,12), Отметим„что если кт и еа — совместно гауссовские случайные величины о нулевыми математическими ожиданиями и одинаковымн дисперсиями (ог о,' ат), то прв г — 1 справедливо приближенное соотношение Р ((Сг — а) (Зг — е) < О) — Р (фт Ее < 0) е ' Гто' (3.3.
27) Неревенства е левой и правой частях распадаются соответетвенно не два: 1) чт > а, Зг < а( Зг > О, че < О, 2) $~ < а, Зя > аг $т < О, $е > О, Условие выполнения первого неравенства йоеволяет иеийеать а 340 Эта Формула поеволяет просто вьшнслить суммарные вероятноети наваждения лвуь совместно геуссовскик величав в каждом ие четырех квадрантов плоскости лтля, Покажем (рво. 3.22), что Перейдя здесь к вовым переменным уг х/ — а, У2 «2 — а, получим Р/$1>а, 32(с) = ~ ~ ехР~ — 2 ~У1'— е — 2гух уз+У22+2 (1 — г) (аз+од!+пуз)) Вут йуе ~ 22/хе ( ( ~ У1 2У1У2+У2 2лое )/! — 22 ~ д 1 2о (1 г) Распределение огибающей и фазы вектора с гауссовскими проек- циями [44, 95).
Пусть случайные величины $1и 52 совместно гауссовские и имеют плотность вероятности (1.4.21). Рассмотрим нелинейное преоб- разование (г 1/3) ( х1,120, О=агс(й($,/$,), — л(О(л, '(3.3.29) и найдем одномерные плотности вероятности для новых случайных ве- личин )г и О, причем случайная величина )/названа оеибанхаей, а О— фазой вектора ч/ с пров/с/(ияли $1 и $2 (рис.
3.Щ На с. 69 указывалось, что если перейти к новым переменным 111 = $1 соз а + $2 3!и сх 7)з = $2 соз а — $1 з(п сс, где гх — так называемый корреляционный угол (и 2а = 2гохоя/ /(ох 2— о',), то случайные величины П, и О, будут гауссовскими и незави- симымн: 1 ре,ч,(у„уз)= —,, ехр~ 2лох о', (у' „()2 (у', 1) 1. (3.3.30) 2о" 2о," 341 (У1 +У2) вдх ву,.
При г — 1 вторым слегеемым и покзевтеле експоненты можно пренебречь по сравнению с первым, после чего получим Р ($1 ) о, $2 ( о) ~ Р (зх р» о, й ( о) е а'/зо' Аналогичное соотношение спреведливо и для второго неравенства, что и дока- вывеет (27), Получим плотность вероятности для случайной величины Ф = его!2 ($2/$1), — П/2 ( Ф ( Л/2, ГДЕ $1 И Зз — НЕВЗВИСИМЫЕ ГаУССОВСКИЕ СЛУЧайНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ с равными нулю математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями: р (х„хе) =(1/2лоя) ехр (:(«12+х22)/2оя!. Введем всцомогетельиую случайную величину Ч йз/йт, Из формулы (20) при г = О, о, о о для нее получим плотность вероятности р„(у) = 1/л (1+ у').
Плотность вероятности для Ф = его!и Ч находим по формуле (3.2.2), функция ф = згс12 У при — и/2 ( ф ( л/2 имеет однозначную обратную функ- цию у = 12 гр. Поскольку Вф/Ву созе ф, то соглзсно (3.2.2) нзходим Рф(%) =р (У)/соз' ф =1/л созе ф (1+122 о) =1/л, / ф( ( л/2. (3.3.28) СледовзтЕЛьнО, СЛУчайная величина Ф распределена равномерно в интервале ( — л/2, л/2). Здесь М(т)!) =ш1=ш«сов я+ш,э!пя, М(т)т)=!пе=шесозя — ш! 5!п!х, М (т!1о) = О," = О1 соз' Я+ О) 51П' Я+ гО, О, 51П 2Я, М(т!то) =О,"=Отсоз»Я+О! 51п'Я вЂ” готов51п2Я. Преобразованию переменных соответствует поворот декартовой систе- мы координат на такой угол я, при котором новые оси координат у, и Ув совпадают с осЯми симметРии эллипса постоанной веРоЯтности.
т1=тй"у ау 1 l 'Ц Зля получения плотности вероятности случайной огибающей У перейдем в (30) к полярным координатам У и Чг согласно равенствам т)! = У соз Ч', т!в = У ейп Ч', т. е. У = У«!!+т)я ~ О, Ч" = 0 — Я= агс(Я(т)»1т!!). При этом якобнан преобразования переменных равен / (О, тР) = = д (у„у,)/д (о, !р) = о и из (30) получим рт (о, ф) =,, ехр !1 Г (о сов ф — гн() (о а!и ф — т() 1,3 3 М ~ ° ( ° ° ) уло( о( 2о,'" 2о" Одномерная плотность вероятности р (и) находится отсюда интегрированием по «лишнему» аргументу тр! р(о)=,, ~ ехр ~ (о сов ф — лг,')в (о 5!и ф ш»)« (3.3.32) Если воспользоваться разложениями (901 ЕХр ( — а СО5 Гр) = 1е(а) + 2 ЧП. ( — 1)" 1„(а) СО5 П р, ехр(асов!р)=1,(а)+2 ~З, 1,(а)созп!р, в=! 342 Рия 3.22..
Суммарные вероятности нахожде. ния двух совместно га. уссовских величин в каждом иа квадрантов д %1 ю1 Рис. 3,23. Огибающая Р и фаза В случайного вектора где 1„(х) — функпии Бесселя и-го порядка от мнимого аргумента, то в (32) можно выполнить интегрирование и получить результат в виде бесконечного ряда 196): х ~' ( 1) Е 1 ~ оз(, + — )~1а ~о( — «+,~ ) 1х а=а х сов(2п агой —,'", 1, ш,аз-/ (3.3,33) где 6, = 1 и Е„= 2 при и ~ ~2. Общую формулу для плотности вероятности фазы 0 можно получить из (1.4.21) при помощи перехода от декартовых координат к полярным 1)« = )/ соз О, т)з = (/ з(п О. о последующим интегрированием совместной плотности вероятности р, (о, О) по о в пределах от 0 до оо!' «[9)-~«,[,Щ«) р( — 1 х з х [ ' ' ''и (озере — и«) (осоз Π— лн) (оз«п Π— ю ) (ой1р () — я««)«11 а,' а«оз оз (3.3.34) В результате трудоемких вычислений получим Формулы (ЗЗ) н (Зб) охватывают рззлнчные частные случаи, встречающиеся в теории распространения радвоволн через турбулентную среду н обычно нрнменяемые для оннсання амплитудных н фазовых флюятуацнй радноснгналов, Из нвх следуют ненастные частные результать«, Полагая т« = л«я О, а« = = о„а, г = 0 (т.
е, и«' = и«0, о« = а, = а, и = 0), получаем для огнбающей плотность вероятвостн Релея, а для фазы равномерную плотность вероятностн« о / оз 1 р («)= — ехр ~ — — ~«о > О, р (0)= —, 10((я. (3.3,36) Осла «н«+ О, л«зчь О, а« = а,= а, г= 0 (т, е. л«« = т«, л«,' =. л«х, о«' = а,' о, с« = 0), то нз (ЗЗ) приходим к плотности вероятности Рааса: 343 2ло«о 1 2 (! — гз) 1 от««аз о1 /) Х 11+2Уп«,(0)Ф()/2Е(0))ехр1з(0)) х ус(о —,зсовзО+о зз!пзΠ— (о«о) «гз(п20) ', (3.335) где Е(0)=~ — „" соз8+ — 'в(пΠ— — (п««з«ОО+«пзсозО)1 у ! а," ««« а«а, г . «1 — «/Я )С ~2(1 — г') ~ —, соз'8+ — ' з(па Π— — з«п20~~ о«з ов о«о, Эта характеристическаа функпия является частным случаем (3,2.106) при а 1/2, т = а/2. Соответствующая плотность вероятноети определнетсп формулой (3.2.103): 1 р , (и; а) = 1 л е, а=0,1,,,0(х(оэ, 3 з/2 2" /~Г(а/2) е функциа распределения имеет вид (3.3.45) ЛЪмч РО(Ч ~ю Ф,* О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
