В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Такое преобразование в принципе всегда позволяет получить из равномерного распределения распределение с заданным законом рз (х). Например, если в (35) под Р. (х) понимать функцию распределения гауссовской случайной величины (1.4.4), то преобразование (35) будет лазать из равномерной плотности вероятности нормальную. Рассмотренный пример позволяет сделать следующий вывод: всякая непрерывная плотность вероятности (функция распределения) в принципе может быть преобразована в любую другую (в том числе и нормальную). Это можно сделать сразу или в два приема: сначала преобразовать исходную плотность вероятности в равномерную, а затем при помощи преобразования вила (35) равномерную в требуемую.
Этот результат распространяется нв совместные плотности вероятности (функцяи распределения) нескольких случайных величин (94). Неоднозначные преобразования. До снх пор рассматривались нелинейные преобразования, однозначные по выходному процессу ч неоднозначные по входному, т. е. такие преобразования у = а (х), для которых неоднозначны только обратные функции хг = Ь; (у), 1 = 1, 2, ... Допустим, что нелинейное преобразование неоднозначно по входному процессу, т.
е. одному значению х может соответствовать несколько значений у; = уз (х) (рис. 3,13). Применительно к такому неоднозначному преобразованйю на основании свойства инвариантностн дифференциала вероятности (2), (5) можем написать р (у) ! ' (х) 1, х .< а, у ~( с =у (а), р (х)= Рн(у) !У( (х) !+Рч (У) ! У,' (х)1, х> а, У) с=у (а). Из этого соотношения невозможно однозначно определить плотность вероятности а„(у) и, следовательно, в приведенной выше формулировке задача не имеет решения.
Чтобы решение существовало, нужно доопределить характер работы соответствующего нелинейного устройства. Поясним зто иа частном примере нелинейного преобразования гистерезисного типа, когда преобразование являет- 317 ся двузначным как по входному, так и по выходному процессам (рис, 3.14). Ха рактер работы нелинейного устройства определим следующим образом: да(х) прн — со <х <а, уз (х) прн а <х ~(Ь, х' >„а ) 0> дт(х) прн а<х<Ь, х'1, ь ~<0, й, (х) при Ь < х < со . (3.2.38) у = и (х) = у У4(У) о а д,(а) Рнс. 3.13. Неоднозначное нелинейное преобразование по входному процессу Рнс. 3.14, Нелинейное преобразова. 0 а д х нне гистерезисного типа Преобразования Уз (х) и 8, (х) являются однозначными.
Поэтому обратные функции х = Ьз (у) я х = й, (у) будут также однозначными, н по формуле (2) получим (3.2.38) где >У (а, Т) — среднее число пересечений процессом $ (1) уровня а снизу вверх в течение интервала времени Т; >У-(ь, Т) — среднее число пересечений процессом я (1) уровня Ь сверху вниз в течение времени Т (70!. Таким образом, для решения сформулированной задачи необходимо знать совместную плотность вероятности р (х, х') для дифференцируемого процесса $ (Г> н его производной я' (Г> з совпадающие моменты времени.
В том случае, когда дифференцируемый процесс к (1) стацяонарен, в выражения (39) вместо Мх (с, Т) можно подставлять >Ух(с) — средние значения соотзе|ствуюшнх пересечений в единицу времени. 1>рн атом для гауссовского стационарного процесса $ (1) получим (70! Ьр (Ь> р(Ь) М,+ (а) й', (а) + М, (Ь) р (а) +р (Ь) ' ' Ь>, (а) +>У, (Ь) 3!8 рй (Ьз (У)) ! "з (У) ! У < Уз (а) р (х)= (3.2. 37) ч р.
(и, (У)> 1 ь! (У) 1„ У ~ ц, (ь> . ц Поскольку на нвтервале (а, Ь! преобразование двузначно, то согласно формуле (5) можем написать р„(у) ау = рз рз (хд) г>ха+ р, р, (хз) Ыхз, Здесь хт = Ьт (У) н хз = йз (у) — фуннцни, обратные соответственно функциям у, (х) н дз (х); рт н ря — вероятности того, что работа осуществляется на ветви д, (х> илн д (х). Согласно условиям, указанным в (36), для дифференцнруемого случайного процесса $ (г) вероятности рт н рз равны: >У (Ь, Т) Льг (а, Т) Ь>.Ь (а, Т) +>У- (Ь, Т) ' ' >У4 (а, Т) +>У- (Ь, Т) ' (3.2.40) Р (а) +Р (Ы где р (х) — нормальная плотность вероятности пропесса $ (б. Правые части формул (40) мегино рассматривать изи реаультат предельного перехода при о . О.
Поэтому они применимы и для недиффергнпируемого гауссовсного провесса. Применительно н нелинейному преобразованию, изображенному на рис. 3.!5, получим Рч (У) (Ра + РяРаь)3Ы + (Рь + РтРаь)3(У с)ю а где Р, = ( Р(х]ах, Раь = ) Р(х)ах, Рь = ) Р(х)ах. а Ь Преобразование двумерных и многомерных плотностей вероятностей и моментов Рассмотрим функциональное преобразование двух случайных величин $т и 3я или двух отсчетных значений $т = $ (1,) и $з = $ (Гя) случайного процесса $ (1). Пусть преобразованные случайные величины уй и П, заданы выражениями Ч =а Ят, $я), Чя =йя Ят, $я) (3.2.41) Здесь д, и дв — заданные детерминированные функции, случайные величины $, и $я принимают только вещественные значения х, и х,.
Требуется найти совместную функцию распределения Р„, ч, (у1,уя) и совместную плотность вероятности р„,„, (уо уя) случайных величин т), и т)я по известной совместной плотности вероятности рмм (х„х,) случайных величин $, и $я. Запишем сначала формальное выражение для функции распределения. Обозначим через зя область на плоскопти х„х„определяемую двумя неравенствами д, (х„х,) ( у„дя (хм х,) < у,. СобытиЯ (т(т ( Ум т(я < Уя) и ((с„$я) ~ зв) ЯвлЯютсЯ эквивалентными в том смысле, что осушрствление одного из них влечет обязательное осуществление друготх и наоборот.
Поэтому вероятности этих событий Равны: Р (т1, ( Уы т(я ( Уя) = Р Яы $я) ~ зв), т. е. (3.2.42) Ря, я, (Д» Уз) = ),) Рь ы (хм хя) ~(хд дхз. 5 Отметим, что область з„может оказаться многосвязной и поэтому фактическое нычисление интеграла (42) в общем случае является не простым. Получим теперь формулу для плотности вероятности р„, „,' (уо ут). Определим маленькую область Лзи на плоскости х,х, неравенствами у, < дт (хы х,) < у, + с(у„у, ( дя (х„х,) ( уа + с(уз.
319 Из такого определения элементарной области Лзн следует, что два события (у, ( Ч, ( д, + с(д„уа ( Ч, ( у, + с(уа) и (($„$2) Е Лзн) являются тождественными и вероятнооти их одинаковы: РП «и (У1 У2) ~(У1 с(У2 ~ (У1 ~ ~Ч1( 91+ с(У1«У2 ( Ча ( Ух+1(У2) =р((й Ь6 с«зн). ) ) рв4(ха, ха)1(хас(ха.
(3.2.43) Ь« Предположим, что система из двух уравнений п1(х» х,) = у» ла(х» х,) = д, ::ли~ Уг ~ Уг у«х/ с Рис. 336. Случай лнуаначных абраг ных функций Рне. 3.15. 1(нуаначное нелинейное иреовраао- аание с(д1 дух( ~,«'2 (х1,'2, х<,'1) ~, 1 = 1,2, где да«(х)о, х«'«) дс« (х)О, хсао) дх»1 1 дн, (х)", хц«) Ца (Х<'>, ХП>) д (хю,хи') дхю дн (х~,'2, х«о) дхп1 1 дх1Π— якобиаи преобразования переменных. Поэтому интеграл справа в (43) равен ( ( р;, «, (х„хд йх1 с(ха = Ь« 2 =с(д«с(уа ~чз„р«, ы(хп2, хп~) ! са(хо~, хп2) ~-1. 320 разрешена относительно х» х, и при этом получены две пары решений (х1 '«хх ') и (х1 '«х2 '): х2о = «2««о (У1«У2) х«о = Й«ао (У» Уа). 1 = 1,2. (3.2А4) Рассмотрим две прямоугольные системы координат: х,х, и у,у, (рис.
3.16). При заданных значениях у1 и у, элементарной прямоугольной площадке с(у122уа на плоскости у,у, будут соответствовать две разные элементарные площадки в виде параллелограммов; они определяются двумя решениями (44). известно, что площадь 1-го параллелограмма равна где д<а1~1 (уг, у,) д<<<ао (уг, уа) д х«1 х<'11 7(Ю у1).
д(ха ~ха) дуг ду, дуг ду да<а'1 (у<, у,) дь<а1(уг, у,) (3.2.46) дуа Выше предполагалось, что обратные функции (44) двузначны. Если получается большее число обратных функций, т. е. 1 = 1, 2,..., и, то в правой части формулы (48) будет сумма не двух, а л аиалогич ных слагаемых. Наоборот, если обратные функции однозначны, то в правой части формулы (45) должен быть только один член. Если же для некоторых значений (у„у,) нет вещественных решений, то для них следует полагать р„ш, (у„у,) = О.
Приведем обобщение формулы (45) на многомерный случай. Принципиальное решение задачи о функциональных преобразованиях случайных величин и процессов в общем виде дается следующей теоремой. Пусть известна совместная и-мерная плотность вероятности ра (х„х„ ..., хп) случайных величин $» $„..., $„и нужно найти плотность вероятности р, (ум у„..., у ) для случайных величин (3.2.47) Чп=Яп (сг Бгг"'1 Бп)~ гдефункции д„, Й = 1, и, — кусочно-непрерывные. Если существуют однозначные обратные функции йг=йг(Ч< т<г-" Ч ), гпг=йг(Чм Чг "~ Чп)~ (3.2.48) $п=йп(Ч1 Чг - Ч.).
то интересующая нас плотность вероятности определяется формулой РЧ (Ум Уг," а Уп) = Ра (хг хг " ха) ( Уп (Хм хм" 1 хп) ( 11 зак. 956 331 Подставив это выражение в (43), имеем г рая„,(у„у,) = ~ р... Ы(Х<'1, Х<,")( уг(Х<'1, Х<'1))-', ! где в правой части нужно выразить х<", х<а«, ( = 1,2, через у, и у, согласно (44). При этом целесообразно сразу воспользоваться известным соотношением У (у<о у<'1) — 1/,7,(х<'1 х<'1) Поэтому окончательная формула примет вид г Рп, <ь(У1 .Уг) = ~ Рмта(«1 (Уг Уг) й, (Уг Уг))( Уг(у<а ю У, ) (~ (3.2.45) !=1 =Уз(йт(Ум" Уа) - йп(Ут - > Уи))! 7и(У1 - Уи)! где l„— якобиан преобразования переменных (3.2.49) дьг дуз ду1 дуи д (%1,..., тю) 7в(У» ° э Уа)= д(у„..., у„) (3.2.50) ду| ду„ Заметим, что при применении формул (2), (45), (49) и (51) к практически интересным нелинейным функциональным преобразованиям могут возникнуть затруднения.
Так, если функции у; являются полиномами выше третьей степени, то в общем случае трудно найти функции Ьо т. е. аналитически разрешить систему нелинейных уравнений (47) относительно $ь Аналогичные трудности возникают при трансцендентных функциях д~. При кусочно-линейной аппроксимации функции д; обычно оказываются разрывными и производные дй,Ыхд во многих типовых случаях оказываются равными бесконечности в некоторых точках.
Более подробно эти случаи рассматриваются в 4 3.4. В дальнейшем преимущественно будут рассматриваться различные характеристики совокупности двух случайных величин. В связи с этим приведем дополнительные сведения, относящиеся к этому случаю. Иногда бывает нужно найти плотность вероятности одной функции двух случайных величии з, н $,: В =а($, 52) (3.2.52) Такую задачу можно решить двумя по существу эквивалентными способами: непосредственно и введением вспомогательной переменной. 322 В тех случаях, когда обратные функции йь неоднозначны, следует в правой части формулы (49) взять сумму по каждой из подобластей.
Отметим, что число уравнений системы (47) может быть меньше и'. Пусть, например, имеется только гл (гл( и) первых уравнений, определЯющих слУчайные величины т(м..., т1 . Тогда обычно одним из пРостейших способов вводят дополнительно и — т вспомогательных случайных величин т( +„..., т(„(например, полагают т( +, — — $ ..., 9„= $„). После этого решают задачу указанным выше методом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
