В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Простота технической реализации и возможность непосредственного измерения нормированной корреляционной функции гй (т) относятся к основным достоинствам корреляторов совпадения полярностей. Однако необходимость априорного знания двумерной плотности вероятности во многих задачах сущсственно ограничивает практическое использование таких корреляторов.
Устранить этот недостаток обычно удается введением вспомогательных сигналов с заданными свойствами [122). Для етого, помимо знаковой функции (36), введем более общее определение такой функции 5 (!) > л (!), ь (г! = зкп [и (!) — Л (()) = О, $ (1) = Л (г), (3,4А9) — 1, 5(0(Л(г), где Л (() — некоторый вспомогательный процесс (см. ниже), В данном случае характер дискретной последовзтельности определяется нетолькосвойствзми исследуемого процесса $ (О, но и вспомогательного процесса Л (!). Часто в кзчестве л (!) берут стационарный процесс, не зависящий от и (1) и имеющий равномерное распределение рх (и) = 1/2А, и й ( — А, А); причем должно выполняться услопие [ $щвх[к, А. Найдем математическое ожидание процесса ь ((): тй=М(Д(!))= ( М(~(!) [$ (()=х) рй(х) йх, (3.4.51) где М (ь (1)) х) — условное математическое ожидание М (~ (() [х) = М (зйп [л — Л (!)[) 1 ° Р (к > Л (1)) — 1 Р (х ( Л (()), 375 оо результатам измерения йч (т) или р+(т) косвенно определяют значение г„(т).
Устройства, работающие по гакому принципу, называются корреляторами совпадения нахярнасасй (иногда, знаковыми нли полярными корреляторами) [120 — 13![. !(онкретный вид выражений связи (47) определяется формулами (40) и (41) я чависзт от двумерной плотности вероятности исследуемого процесса з (1). Для гауссовских процессов при т„= 0 нз (42) и (43) имеем ! Г ! Р(Х (1) <х)= ~ дт (и) ои= — ) пи= — (А+х), 2А,) 2А л — Я Р (Х (1) ~ х) =.! — Р () (1) < х). Поэтому (ЗА.62) М (5 (1) ) х) = х/А, Подставив это значение в (5!), получим ! Г ! юг= — — ) хрт (х) йх= — щ . А .) А (3.4.
53) где вспомогательные стационарные процессы Х(1) и р (Е) имеют одинаковые равномерные плотности вероятности (50), независимы между собой и с исследуемым процессом Я (1). Для простоты примем щй = т т = О. Предположим, что в моменты времени Е и 1+т, процесс 5(Е) првнял некоторые значения $ (1) = х, и 5 (Е.т т) х,. тогда можно записать следующее выражение для новарнационной функции; /(, (т) =М(((1) ~(1+т))= ~ ) М(5 (1) ~(1+т) ) 5 (1)-х„( «-Рт)=хт) х Х р, (х„х,; т) бх, ох„ где М (и «)( «+ т)(ха, хт) — условная ковариационная функция при фиксированных значениях $ (/) х! и $ «+ т) = хэ Иэ свойства независимости процессов следует, что М ( 5 «) ( « -т т) ) хы х ) = М ( 5(1) ! хг ) М ( 5 «+ т ) ) хэ), оричем согласно формуле (52) имеем М (5 «) ) хе) = хт/А, М (~ (Е+ 'г) ) хэ) = хэ/А.
Поэтому К- (т) =А-" ) ) хт х, Р, (хю х« ч) г/хд пхэ =А )75 (т) =/7! (т). (3.4.65) Следовательно, корреляционная функция знаковых функций (54) с точно. стью до постоянного множителя А-е совпадает с корреляционной функцией ис- следуемо~о процесса $ (1) н не аавяснт от вероятностного распределения этого процесса, Корреляционную функцию /(г (т) можно выразить через вероятности совпадения нли несовпадения полярностей функций 5 (1) и 5 (1+ т), Действитель- но, М(5(1)(«+ т)) )* Р(5(1)= ~(1+ т)) — ! ° Р(((П~ ~«+ г)) = Р (т) — р-('), (3.4.57) 375 Таким образом, пря выполнении условий, наложенных иа вспомогательный процесс ь «), математическое ожидание знаковой функцин ь (Е) с точностью до постоянного множителя )/А совпадает с математическим ожиданием исходного процесса я (1).
Лля того чтобы исключить зависимость корреляционной функции выходного процесса от двумерной плотности вероятности исходного процесса $ (1), введем две знаковые функции /. (1)-зйп(5(1) — ) ЕО„ (3.4,54) 5 (1+т) =айп(5«+т) — р(ЕИ, ~' причем д, (т) + р (т) 1, тле р+(т) и р (т) — вероятности совпадения и несовпадения полярностей функций Ь (!) и Ь (Г + ч). Из (44) и (45) следует )71(т) =Аа1р+ (т) — л (г))=Аз(2ль(т) — 11. (3 А. 56) Соотношения (56) и (57) лежат в основе построения корреляторов совпадения полярностей с использованием вспомогательных процессов. Этн соотношения можно легко реализовать аппаратурно, и они не изменяются прн изменении вида распределения исследуемого процесса.
Корреляторы совпадения полярностей находят применение при решении ряда радиотехнических задач. Пример 3.4.5. Плотность вероятности и коварнапионнан функция процесса на выходе однополувсрнодиого выпрямители т-й степени. Получим выражения для плотности вероятности н ковариацнонной функции процесса на выходе однополупернодного выпрямителя с характеристикой ч(т)=("4'(т) $= 0,3,0. о, »<о, Запишем сначала выражение для функции распределения выходного процесса! <а/а 1/т „. р( 1 ~ ра(о)-)- ~ р (»)3», д~О, ч о 0 у<О, о где Рз (0) = ) рй (»)с(».
Плотность вероятности находим дифференцированием л рч (у) — „Р, (р) = Рд(О) 6(П) -) р, ((у/а)'~~)(у' т(а)'ут(17т), у > О, А О, у (О. В том частном случае, когда входной процесо $ (!) гауссовский о нулевым мате- матическим ожиданием, г. е. рй (х) =(2гЫ)) '~в ехр (=»з72!) ), нэ (60) получим (3.4.61) Вычислим по формуле (17) коввриационную функцию выходного процесса т) (г), Для етого нужно предварительно найти преобразование Лапласа (!6) от нелинейной характеристики (59): о~ »те м»3» Интеграл справа сходится для всех йе ш ) О. После замены переменной ннтегрвровзния ( = ш», имеем (3А»52) 377 Ог (еы ю;! т) =ехР ! — 01 (юз+2г (т) ю, юз+гат)~= ( 2 — ехр 0 (м~т+шзт) 7 Г (т) гэ1 жт, а Применительно к данному случаю формула (17) дает Ки(т) = ~, — сйт гт(т), п=о где коэффициенты сп определяются выражением и вычисляются контурным ннтегрированием, прячем область сходимости есть полуплоскость, где Ре ю = О, Поэтому путь интегрирования /.+ следует брать вдоль вертикальной прямой ы е + !о, где в ) О.
Выполнив интегрирование, получим 554 63) а / и — т ! / ! Мт-п)/2 /п с„— Г(1+э) Г ~ — ) ~ — О, ! и ~:~ (3.4.65) 2л 2 /! 2 '/ Коэффициенты справны нулю, ко~да (п — т)/2 есть пелое число, так как при этом а!и и ( (а — т)/2) О. Из общих формул (63) и (65) можно получить следующие частные результаты; аз Гп т=О, К (т)= —, ~ —,+асса!пгй (т)~; (3.4.66) 2н ~ 2 а' Гн и и — п)! — м.г Гю и ).тл:чаг; пб.бп 2аз Гн Л 1 т = 2 К = ()г — +г (т) + — г) (т) + гз (т) + ч п З(8 ".
4 з 23 1 !.3 5 7... (а — 4) гй (т) ! ... ! г."(т)1 прн л нечетном. (3.4.68) 2,3.4 5 й !и — ') (п — 2) (и — !) и Пример 8.4.6, Плотность вероятности и ковариацпоииая функция процесса на выходе сглаженного ограничителя. Получим выражение для плотности веро. ятности и коварнапиоиной функции процесса на выходе сглазсеппоео огРаничите-ля, имеющего характеристину (рис.
3.37, б) (й ! 1 п(П =3(с (/)) = —: с " т г(х, (3.4.69) 7 (ггйп,3 где а и у — постоянные величины, когда на ограничитель воздействует гауссов. скнй стационарный процесс 5 (/) с нулевым математическим ожиданием (рнс, 3.37, а) и корреляционной функцией Рй (т) = /)йгй (т) (132). 378 где Г (ч) — гамма.функция. Если подставить (62) и выражение двумерной каракгеристической функции входного процесса в (17) и выполнить интегрирование, то получим ковариационную функцию выходного процесса. Для гауссовского стационарного процесса $ (/) с нулевым математическим ожиданием согласно формуле (2.5.16) имеем где С вЂ” постоянная интегрирования. Ояа определиется из условия !цп г. (т) О, Нт К (т) С = тз = О. Поэтому коварнзционная функция созоадаг! ет с корреляционной и равна г1 (т) К (т) =Я ('г) = — агсз!и— Ч 2ляз !+сс (3.4.7!) Запишем также выражение дла нормированной корреляпионной функции г„(т) агез1п (г (т)/ (1+ сс))/ агсз)п )Н (1+ сс)).
!3472) Отсюда можне получить следусошие частные результаты: о =О, г„(т) =(2/л) агсмп гй (с), сс=1, г„(т)=(6/л) агсз)п(г„(т)/2]; сс -+ оз, г (т) — гз (т) . (3.4.73) (3.4.74) Еели воспользоваться разложением агсз1п л в степенной ряд, то можно вычислить спентральную плотнорть выходного процесса Ч (/).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
