В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 75
Текст из файла (страница 75)
3.42. Плотность вероятности шума квантования гауссовского процесса при разных значениях параметра р Рис. 3.43. Зависимость минимальной средней квадратической ошибки квантования от числа уровней е./2 ' е в=М (/" (й — У;))== ~ ) 1(х — Уе) еь (х) е(х+ е=е к 1 †— ь/2 е+ е + ~чр~ ) / (х — уе) рй (х) е(х, е= — 1 е (3.5.20) где (й — уе) — ошибка квантования; уе — квантованное значение, соответствующее сообщению $ (/)) О, заключенному в интервале (хе „ х;), и сообщению $ (1) ( О, заключенному в интервале (хе, хе„.,); у (г)— некоторая функция мгновенной ошибки. Условия, необходимые для нахождения минимума величины е при заданном числе градаций 1,, получаются приравниванием нулю результатов дифференцирования выражения (20) по х (при х ='х;) и у/ при — Е/2 < е, 1 < Е. Е2. Решить таким образом полученную систему уравнений при произвольной функции /" (г) невозможно.
В (138) получено численное решение и приведены необходимые таблицы для расчетов в случае, когда у (г) = аа, т. е. когда величина в представляет собой средний квадрат ошибки квантования. Часто имеет большое практическое значение обратная задача: при заданной функции 1 (г) = г' определить величину шага квантования, который дает наименьший средний квадрат ошибки при фиксированном числе ступеней квантования Е. Применительно к нашему случаю, когда характеристика квантователя есть нечетная функция и квантуемый процесс $ (/) гауссовский, выражение (20) приводится к виду е/з ле в=-2,~, ) (х — у,)в екр/ — — 1/(х, Пй =1. (3.5.21) )/2п 1 2/ 388 Таблица 3.2 Характеристики кваитователи Ь=ао, Еа,!а О,ОО2499 0,7980 0,2451 0,7560 1,344 2 152 0,0 0,0 0,5006 1, 050 1,748 0 1 2 3 Ь=е, Е , = О,!!та ь= !о, е =о,оооеот 0,0 0,9816 0,4528 1,510 Прн фиксированном значении с.
минимизация среднего квадрата ошибки (21) путем подбора р! и х! была выполнена численными методами [138). Результаты для типичных значений с. показаны на рис. 3.43 и приведены в табл. 3.2, Нетрудно убедиться, что вероятности нахождения процесса в различных интервалах неодинаковы, 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА И ШУМА Задачи о функциональных преобразованиях суммы сигнала и шума наиболее часто приходится решать применительно к устройствам трех типов, которые условно можно назвать «нелинейные» усилители (обычные усилители, преобразователи частоты, умножители и др.), детекторы и корреляционные устройства (рис. 3.44).
При анализе преобразований суммы сигнала и шума в таких устройствах применимы прямой метод и метод характеристических функций, изложенные в 9 3.4. Однако полезные радиосигналы и шумы, воздействующие на нелинейные элементы в этих устройствах, обычно являются узкополосными. Этот факт позволяет упростить анализ. Рассмотрим сначала преобразование суммы сигнала и шума в усилителях и детекторах, а затем в корреляционных устройствах. 389 0,0 0,2582 0,5224 0,7996 1,099 1,437 1,844 2,401 0,1284 0,3881 0,6568 0,9424 1,256 1,618 2,069 2,733 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0,0 0,1320 0,2648 0,3991 0,5359 0,6761 0,8210 0,9718 1,130 1,299 1,482 1,682 1, 908 2, 174 2,505 2,977 0,06590 0,1981 0,3314 0,4668 0,6050 0,7473 0,8947 1,049 1,212 1,387 1,577 1,788 2,029 2,319 2,692 3,263 Нелинейные усилители и детекторы Примем, что случайный процесс $ ((), воздействующий на вход безынерционного элемента с характеристикой т) (с) = д ($ (с)), представляет собой сумму радиосигнала и шума, т.
е. $ (() = з (1) + и ((), (3.6.1) где з (() = а (1) соз [соос + д (1)[ — полезный узкополосный радиосигнал; модулированный по амплитуде и фазе; и(() =- А (() соз [етое + + ьр (1)[ — независимый от сигнала з (с) узкополосный гауссовский стационарный шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией вида )с(т) = Йр(т) соз етвт. (3.6.2) оонстлоосньтй Фольыо Р(т) йоьыьпонапнный п(т) Уонопаоосньто дилыпР т(с) с цонтораль,той аасыоиой олпыпнот ' с цонирольнпй уосотоотой уо т1(Н= У(оЯ) нио и) Рис.
3.44. Нелвиейиые устройства: и — усилитель; П вЂ” детектор; в — вввимокоррелядиоииое устройство Известно [70), что сумму (1) можно представить через огибающую [у (1) и случайную фазу ф ((): $ (() = [У (() соз [еув(+ б (() + ф (1)[, (3.6.3) где Ъ' (() = ([А, (() + а (~)[в+ А,' (()) ' /» ~ ~О (д ф (() = (3.6.4) А, (() = А (~) соз [ьр (() — д (()), А, (с) = А (1) зйп [тр (У) — д (с)). (3.6.5) Совместная плотность вероятности огибающей К (с) и фазы тр (() в один и тот же момент времени при фиксированных значениях «амплитуды» радиосигнала а (() и его фазы д (1) дается выражением р (о, тр [ а, д) = ехр / — ) . (3.6.6) 2дР 2Р 390 Отсюда находим плотность вероятности огибающей р ( $ ) = ~ р (, $! о, 6) Ф = — ехр ( — ) 1, ~ — ) . (3.6 7) где уе (х) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.
Можно убедиться, что й-й момент огибающей равен М (У» ) = ) ое р (о ~ а) й о =- (2Р)ьlе Г ( — + 1 ~ х \-2 /~ о Х тР( — —; 1; — а'12Р)~, (3.6.8) где тРт (се; ~1; — х) — вырожденная гипергеометрическая функция (3.3.88), Выходное колебание безынерционного элемента т1 = д (У соз 6), где О = в,(+ д + ф, есть четная, периодическая функция резуль- тирующей фазы О. Поэтому для любого значения 6 оно может быть представлено рядом Фурье (144): 1 т1 =д (У соз 6) = — д + ~у соз О+ у~ соз 20+ ...
= 2 = — й Ю+ Ы1 (Р) соз (е1о 1+ 6+ ф) + дъ, (У) соз (2ыо 1+ 26+ 2$) + ..., 2 (3.6.9) где (3.6.10) Ыь (1')= — Г а (У созО) созйОйО Зависимость дь (г) принято называть колебательной характеристикой. Вид этой характеристики определяется видом нелинейной функции а (5) Первый член и, ($')!2 правой части выражения (9) представляет собой составляющую выходного колебания элемента, которая является основной при детектировании, второй член д, (У) соз (а, 1+ 6 + $) представляет составляющую выходного колебания, спектр которой расположен в окрестности частоты входного сигнала Д = а,/2п. Зто слагаемое является основным для нелинейного усилителя или полосового ограничителя.
Заметим, что в данном члене точно воспроизводится фаза входного колебания $ (1), но искажается огибающая. Остальные слагаемые в правой части (9) представляют собой составляющие, спектр которых сосредоточен в окрестности соответствующих гармоник входного сигнала з (1). Если за нелинейным элементом следует узкополосный фильтр, пропускающий гармонические составляющие в окрестности частоты А1, = Ав,!2п (рис. 3.44), что процесс ь (1) на выходе этого фильтра будет обусловлен слагаемым дк($') соз й (ые(+6+~Р). 391 Так, например, для умножителя третьей гармоники частоты выходного сигнала нужно положить й =- 3.
Определим полный выходной сигнал как условное математическое ожидание Мю,1, (т[ [а, д) выходного процесса т[ (1) при заданных «амплитуде» а (1) и фазе д (т) входного полезного сигнала з (г) в один и тот же момент времени. Здесь математическое ожидание (вероятностное осреднение) берется по входному шуму а (т), т.
е. по огибающей У и случайной фазе тр, что и отмечено соответствующими индексами. Это математическое ожидание может зависеть от времени через а (1) и д (1). Физически такое определение можно оправдать тем, что если входной сигнал з (1) или его <амплитуда» а (т) изменяются периодически, то с помощью фильтров можно выделить гармонические составляющие выходного процесса, включая и постоянную составляющую. Полный выходной сигнал Мю з (Ч [ а, д) в общем случае содержит постоянную составляющую, низкочастотную компоненту и «гармонические» составляющие.
В отдельных частных применениях необходимо рассматривать соответствующие слагаемые в правой части (9). При этом й-я гармоника выходного сигнала Мю з (д» (У) соз т< (ото(+ тт + + тр) [ а, д) является детерминированной функцией «амплитуды» а (т) и фазы д (т) входного сигнала. Флюктуации полного выходного сигнала т[ (1) (или любого слагаемого правой части (9)) около условного математического ожидания назовем выходным шумом: т1, (т) = т[ (г) — Мг з (т[ (1) [ а (г), тт (1)).
Можно убедиться, что выходной шум т[о (т) и выходной сигнал т[ (т) ортогональны и не коррелированы, т. е. математическое ожидание их произведения, осредненное по случайным параметрам сигнала и шума, равно нулю: М (т[о (Г) ч (Г) ) = 9 Поэтому дисперсия выходного шума Ъ„и «мощность» выходного сигнала Й, определяются выражениями Ь„= М ([т[ — Мг,,» (т[ [ а, д)[») = М (т[о) — В„ Ъ, = М,, и ([Мг «, (т[ [ а, б)[» ). (3.6.1 1) Здесь индексы при операторе математического ожидания М указывают, по каким случайным величинам должно выполняться вероятностное осреднение. Определим отношение сигнал-шум по мощности на выходеустройства как отношение мощности выходного сигнала к дисперсии выходного шума: м«, ([м„, (и[а, д)[») Ро ' —, ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
