В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 74
Текст из файла (страница 74)
3.3. КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАИНЫХ СООБЩЕНИИ Рнс. 3.38. Квантование случай. ного процесса по уровням 380 В современных еистемах связи все большее распространение получают цифровые (дискретиые) методы передачи и обработки непрерывных сообщений. Для этого производится преобразование (квантование) исходного непрерывного сообщения в ряд фиксированных значений.
Затем эти значения представляются последовательностью (комбинацией) двоичных символов (цифр, элементов); эти символы передаются одним из методов дискретной модуляции. В приемном устройстве осуществляется восстановление переданного аналогового сообщения 1!ЗЗ, (34). Рис. 3.39. Кван. товаиие случайного процесса по времени и по уровням Рассмотрим два способа квантования: по уровням и по времени и по уровням. Устройства, осуществляющие квантование, принято называть квантователями или аналого-г1ифровыми преобразователями. Процесс квантования непрерывного сообщения $ (/) по уровням поясняет рис.
3.38. Интервал возможных значений сообщения $ (/) разбивается на В элементарных подынтервалов точками Е х, (или х~г), / = 0,1,..., В/2 (х = 0 и хью = оо), Величины Е х1 принято назывшпь порогами квантования, а разность между двумя ближайшими порогами Л; = х;+, — х, — шагом квантования. Выходные уровни квантования обозначим через ~ у, (или у ~), / = 1,2,..., В/2..
Если истинное значение сообщения $(/) в какой-либо момент времени 1 положительно и находится в интервале (х, „х;), то вместо него берется соответптвующий уровень уь При этом вместо непрерывной функции $ (/) получится ступенчатая кривая Ч (/), высота «ступенек» которой равна разности между соседними уровнями квантования Ьг = у,+,— — у,. Такое преобразование можно осуществить, если исходное сообщение $ (/) подвергнуть нелинейному преобразованию Ч (/) = д ($(/)) ступенчатого вида (рис. 3.38). В каждый данный момент времени выходной сигнал квантователя соответствует одному из /. уровней. Будем считать, что /, = 2», где й — целое число, т.
е. й =1оя,/.. (3.5.1) Квантование по времени и по уровням можно получить, пропуская временные отсчеты функции я (1), взятые через определенные интервалы времени О, через нелинейный элемент с характеристикой у (Е) с последующим расширением отдельных отсчетов до величины интервала квантования по времени 0. Описанное преобразование поясняет рис. 3.39. 1(орреляционная функция и спектр кваитованиого процесса Поскольку нелинейная характеристика квантователя д К) есть нечетная функция, то математическое ожидание процесса т) (7) равно нулю, а корреляционная функция определяется формулой (3.4.2!): дт(мФ Ф6, 7 ОЮ Ог "7' г у 4 О О уе7к 7 г у 4 О О уп)(~~ О Рис. 3ДО.
Нормированные спектральные плотности процессов, кваитованных по уровням Выполнив интегрирование по частям и учитывая, что д' (х) = = Х,"'~,,тай; 6 (х — х;), найдем Подставив зто выражение в (2), получим формулу для корреляционной функции я ~с=д ( 2 л Ф" ( — *"- )) —. (3.5.3) В частном случае Оч = Л = Л, х, = (1+ 1/2)Л о учетом равенства Цнп+Н ( Х) — ( 1)п Пнп+П (Х) 382 В дальнейшем принято, что квантованию подвергается гауссовский стационарный случайный процесс $ (7) с нулевым математическим ожи.данием (лте —— 0) и корреляционной функцией )с е (т) = ()ага(т).
Получим корреляционные функции и спектральные плотности квантованных процессов В (7) и так называемых шумов квантования ь (7) = т1 (7) — $ (7) [135 — 137). а затем приведем некоторые результаты по синтезу квантователя 1138 — 143). формула (3) несколько упрощается; ь~а л и [)=4ь' ~ ~ а ((г~ от) ~ о64) н=ь з, о...
=о 2 / / а~ где ) )) = Л/)/Рт и суммирование производится по нечетным и. Спектр квантованного по уровням процесса Ч (/) определяется формулой (2.332): ш2 о 8„(а)=8бо ~)," 'Ч Ф<ю (((+ — 1~/р ) — (' г~(т) созштбт. л=н но... — д о (3.5.5) На рис. 3.40 приведены рассчитанные по этой формуле нормированные спектры кваитованного процесса т) (1) для двух корреляционных функций исходного процесса $ (/)1 йа (т) = Рт ехр ( — а ) т )), Ят (т) = Р. ехр ( — ут'). Как и следовало ожидать, при увеличении шага квантования ширина спектра квантованного процесса увеличивается. При квантовании процесса $ (/) по времени и по уровням формирование квантованного процесса Л(/) (рис.
3.39) целесообразно трактовать как периодическое (с периодом О) временное стробировапие прямоугольными импульсами длительностью О процесса и (/) (рис. 3.38). При этом процесс Л (() представляет собой периодическую последовательность примыкающих импульсов прямоугольной формы длительностью О со случайными и коррелированными амплитудами. Спектральная плотность такой импульсной последовательности определяется формулой (8.46) из (20), которая при нулевом математическом ожидании процесса т) (/) (и„= О) принимает вид юо/2 и Подставив сюда выражение Я „(аО) из (4), получим .С, (Ы) 40аз~ М" ("8/2) ~ ~Ч)," О)впа ме/2 (3.5.6) Характеристики шума квантования //од шумом (ожибкой) квантования понимается случайный процесс ь (/) = Ч (/) — Б (/), представляющий собой разность между выходным н(/) и входным $(/) процессами квантователя, Определим корреляционную 'функцию и 383 спектральную плотность шума (ошибки) квантования для частного случая Л! = Л!' = Ь.
В этом случае шум квантования можно рассматривать как результат преобразования исходного процесса $ (!) нелинейным элементом о периодической пилообразной характеристикой тр($), которая равна разности функций ф! = а (ь) и >рв == $ (рис 3 41) Разложим периодическую функцию т(> ($) в ряд Фурье т)> ($) = ~' 5!п — с, ( — 1)" . 2лл л Л л ! Рнс.
3. !. Осрмнрованне шума кван- тованнн На основании этого разложения ковариационную функцию шума квантования К! ((„тв) можно записать в виде К4((,А) =М (~ © ~ ((,)) = М (ф(1((,)) ф(1 ((в))) = — М 5>п — й (т!) 5!и — $ (!а) ~, ае, л-т ( — 1)>+а ! .
2л! . 2ла ла М з з ,=!а 1 Представив синус в виде яп х = (е!" —, е — !')/21 и взяв математическое ожидание, получим 1)>ч-а+! К! ((„(а) = — ' ~' '~', Фв (1 дт, )да), (3.5.7) а т,е а~е где Ф, (!О„)дв) — двумерная характеристическая функция случайного процесса $ (1). Применительно к интересующему нас гауссовскому стационарному процессу с нулевым математическим ожиданием характеристическая функция дается формулой (2.5.16) при та = О. Поскольку нелинейная функция ф ($) нечетная, математическое ожидание шума квантования равно нулю и его корреляционная функция совпадает а ковариационной функцией. В результате несложных преобразований получим ро, ! с!.1-! — — И +а > ел* (т'4 (г) =К! (т) = — ' '~' ~~~' е х >=! а=! /4ле .
1 Рт>4, 1 а У4лвна Х з)> ~ — Ига (т)~ = — ~ — е з)>~ †' ге (т)) + лв ла и=! 384 го* ;=!г=! и~о! где и = ГгЧП е — «влубинаь квантования. При р (( 1 в формуле (8) можно пренебречь двойной суммой. Заменив гиперболический синус его асимптотическим представлением з)!х — е"/2, х )) 1, получим [135, 136, 86) [!01 1 Г 4вг Яг йт (т) = — 'Ч вЂ” ехр ~ — — (1 — Ге (т))~ . (3.5.9) 2аг Й4 яг ~ й о=! Отсюда находим дисперсию шума квантования 6111,-", ! 611Е я Л рс -л1(0)-— 2яг ~ вг 2яг 6 12 а=! (3.5.10) Рассмотрим частный пример, когда Гт (т) = з[п 1Ыйт. Такая нормированная корреляционная функция соответствует процессу $(1), спектральная плотность которого постоянна н отлична от нуля только в полосе частот ( о! ~ ( 11.
По формуле (2.3.12) спектральная плотность шума квантования 8С(Го)= „, 1' — „, ) ехр ~ — — "(1 — )~ соз ГотЖ. (3.5.11) о Разлагая з!и йт!Ж в степенной ряд и ограничиваясь первыми двумя членами, получаем [135, 86) [!Ггт ~-~ 1 г ( 2вг гсг Бс (Го) = — ~ — ~ ехр ( — Йг тг) соз !от!(т = н ..и „г ) ( за Я 6111 ~,!Гзр ~", ! Г 36мг 1 — '9' — ехр [в л=! (3.5.12) Из формулы (9) следует, что при р (( 1 корреляция между значениями ошибки квантования отсутствует. Поэтому спектр ошибки квантования приближенно равномерен в диапазоне частот, превышающем ширину спектра исходного процесса. Если проделать вычисления, аналогичные выполненным при выводе формулы (9), и воспользоваться известным соотношением М (З с!Од,) д!Вг (16„)дг) дд! !е,=о где Фг ([0„169) — двумерная характеристическая функция случайных величин $, и $„то можно получить формулу для взаимной корреляционной функции исходного процесса з (1) и шума квантования Ь (1) [136): 13 звк.
999 386 А!С(2)=2йа(т) ~~Р ( — 1)п — ' ехр( — ). (3.5.13) и;1 Разложим в подынтегральном выражении периодическую функцию ехр ()д~Я)) в ряд Фурье: Е!ЕЭ ($) = '~' с е!»2~$/и где А/2 П/2 ( е!ез )2) — !пзлз/и /еь ! (' /е$ — !пзл$/и (пь Ь Л вЂ” Ь/2 — Ь/2 Ми !д — 2лп//!) Л/2 (Π— 2лп/Ь) Л/2 В результате подстановки этих выражений в (14) и перемены местами операций суммирования и интегрирования имеем 2!и (Лд/2 — пл) !пзпт/а Ьд/2 — пл т, /. 2лп '! з!и !Л!)/2 — пл) Ь ! Лд/2 — пл и (3.5.15) Из обратного преобразования Фурье находим плотность вероятности шума квантования /а (~)=- — ( Ф! (1 б) е — !ес!/д= 2л 3 хл Ф /.
2ла ! 1 !' 2)и (Ь!)/2 — ал) — !ит 1 б е Л ! 2л,1 Лд/2 — пл После замены переменной интегрирования в соответствии с равенством Лх/2 = Ад/2 — пл получим а / 2л ) Лх/2 и=— 386 При (1 1 абсолютная величина взаимной корреляционной функции Дтт (т) мала, и поэтому шум квантования и исходный квантуемый процесс обычно считают некоррелированными. Получим одномерную плотность вероятности шума квантования, для чего предварительно найдем его характеристическую функцию Фс (1 д)= ~ е!ее!!) р($)с$. (3.5.14) 10 ави йе йи ййк г 3 р йлгй г еагеь Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
