В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Плотность вероятности находится как преобразование Фурье от характеристической функции р(ь) = — [ Ф()д) ехр( — )дь) р(д. (3.6.58) В результате трудоемких и нетривиальных вычислений можно получить следующий окончательный результат (1511: при ь ) 0 р (ь)= ~~' ~*~ ехр~ — (а+[1)[1е~ — р ) ар[ х х ехр 2(~ )/! л )~ [ 1,(й)/а~)-(- 2е(еы ~е) х К(1 — ре) ~ К К (1 †) [ ~ю Г (2рр + 1) ~ 4 )/ ! )„а ф Е х р ~ ~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~~ и ~ ~ ~ ~ ф | ~ ~ и и т ~ ~~ ~ ~ ~ |~ ~ ~ ~ а а е Х Г(и-(-рр-)-1) ! К 1 — ре (и1)' ~ 4 )/! Лр (3.6.58а) п ри ~(О 2 (И+ )/1 — Л~ ) Ь ) у ( - — Ь) + 2е (ае, а ) К (1 — ре) К х р [ рк ~ррх~ ~ р р " т р 'р р,„ ррррр х К (1 †) ~ Г (2рр + 1) 404 ,[к ~-~ ] ~г~ -~.-гсвг 1 — „]"„ х Р ( — и, — гп; 2п+ 1; р/сс). (3.6.585) Здесь 1 Г 2 ((г — )гг! ).з) ггог о, ] (го, о, (1 — гс) — ~]2("+Р1 ')~1, ~~О.
аа о, 1 !год ос(! — гс) (3.6.60) р(Р=- 2.Предположим, что о!=о,=1, А=О, гр=Ои а,=а,= = )Г 2 рГ, где р,' — отношение сигнал-шум по мощности на входе каждого канала. В данном случае формула (58) приводится к виду: при ь) О гг 16Р,4 ь ) l 1 — г при ~(О 1 Г 2ь р (ь) = — ехр ] — рг'+ ,1. (3.6.615) 40а а1 о1 — 2аагас ого, ссс Ч~+а1о1 1 е(а„а,) =ехр ] 2о1 сос с(1 — гс) то о (1 — гс) ас-(-Ы 3 того,(1 — гс) ас+Ы 2а (! — гс)г1С Ь 21г (1 — Хс) ~~ А а —, аг ' аг !)гсос 4г+г Б1п 7) ( ас (Хссах — )г Б!и г!) (3 6 5О) о1 (1 — гс) ог о, (! — г') ог а, (1 — гс) а сос гр )гаг 1 ас с1п ~Р Хаг о1 (1 — гс) о ос (1 — гс) о1(! — г ) огос(1 — г ) .ог (1 — гс) ос (1 — гс) о ос (1 — гс) К=)со,ом Р(и; ]); у; х) — гипергеомегрическая функция Гаусса.
Укажем два частных случая, для которых формула (58) упрощает- ся. 1. Пусть входные сигналы отсутствуют. Полагая в (58) а! =а, =О, можно прийти к следующему выражению: П 5 г 5 т 5 Плотности вероятности (61) приведены на рис. 3.51 для четырех значений отношения сигнал-шум на входе р,' и трех значений нормированной огибающей корреляционной функции узкополосного шума г. В том частном случае, когда и = 1 (шумы каналов идентичны), вза.
имокоррелятор превращается в квадратичный детектор огибающей. При этом формула (61) существенно упрощается и переходит в хорошо известную плотность вероятности р(~) — ( (1//з)ехр( — Р1з — ь/и)1~Ь 4Р'ь//з), 1~~0 (3,6.62) О, й(0. Наконец, если компоненты шума некоррелированы, т. е. г = О, то приняв для простоты й=2, получим (ь) = (1/2) ехр ( — Ь вЂ” р12) 1, О/8рз Ь) + ехр ( — Ь вЂ” 2рт) Х ( !)и [12 (и+ 1)/Г (2гт [ 1И ргзз 1з О/бр12 ~) ~С (3.6.63) л=! хтгз(п+1;2п+1;р,'), ~)0; (1/2)ехр(ь — рт), ~(0. Отношение сигнал-шум по мощности на выходе взаимокоррелятора определяется следующей формулой: 2 йз о12 азз аз аз созз гр п12 ел 1 (3.6.64) Здесь их = М (Ь (/)) = йтз о,(р„рз; сов гр+г), (3665) паз = М (Р (!)) = й' пг о3 [р 11 р зг соз' ф+ р 1г/2+ р3 /2+ +Зррхз р„соз ф — Хрзз рзз з!и ф+рзз)/2(М (Ахо А32)+ рФ П,п П5 п,г и,/ и -5 -г -/ РФ п,т' П,п п,г и,/ й -5-г -з рФ П,й П5 п,г и,/ а и / г 5 4 5 и с -5-г -/ и / г 5 4 Рис.
3.51. Плотности вероятности процесса на выходе взанмокорреля. тора для одинаковых входных ра. диосигналов при четырех значениях отношения сигнал-шум на входе р! и трех значениях нормированной огибающей корреляционной функ.
ции г + М (Ава Ам Аве))/2ог 03+ )г 2Р зг соз ~Р (М (Азы Аз ) + + М (Агс Ам Азе)) /2а1 ив+ )Г 2рзаг сйп <р (М (А„Аз, А„) + + М (А), А„))/2п) аз+ М((А„А,,+Ам А„)з)/4а; озз), (3 6 66) р)ги рзег — отношения сигнал-шум по мощности на входе каналов: р), = а;/20',, рзг = а3/2п3.
(3.6.67) В частном случае, когда шумы в каналах некоррелированы (г =0), все математические ожидания в правой части (66) равны нулю, и (64) принимает простой вид Ро = 2Рзп Ри' созе <Р/(1 + Рп+ Рзг). (3.6.68) 3/Е ПРОСТЕИШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПУАССОНОВСКИАГ ПРОЦЕССОМ Над случайными точечными процессами, как и над обычными процессами, могут выполняться различные преобразования или операции, например: наложение (суммирование) двух и большего числа процессов, «разрежение» по определенному закону, случайное смещение точек и др.
В этом отношении точечный процесс Пуассона, подобно непрерывнозначному гауссовскому процессу, обладает замечательным свойством устойчивости (инвариантности) по отношению к ряду преобразований, т. е. после некоторых преобразований процесс по-прежнему остается пуассоновским. Более того, при определенных условиях он правильно описывает асимптотическое поведение многих других точечных процессов. Рассмотрим некоторые операции над точечным процессом Пуассона. При этом ряд результатов будет приведен без доказательств [71). Линейное преобразование Пусть целочисленная дискретная случайная величина $ распределена по закону Пуассона с параметром Х РД = й) = й,а е-а /й1, /е = О, 1, 2,... Нужно записать закон распределения случайной величины Н = а$+Ь, получающейся из $ с помощью линейного преобразования.
гг (у/ 10 а г„г г 4 г ба рг ангИ у Рис. 3.52. Линейное преобразование закона Пуассоиа 407 Очевидно, что случайная величина т) будет дискретной; она принимает значения ая + Ь с вероятностями Р(т) = ал + Ь) = Р(я = и) = Лв е-ЧИ 7г = О, 1, 2, ..., (3.7.1) так как у = ай + Ь тогда и только тогда, когда х = Ь. Характер функций распределения Р! (х) и Рч (у) случайных величин $ и т) показан на рис. 3.52. Предположим, что имеется конечное число г точечных процессов и объединенный (результирующий) процесс формируется Наложением (суммированием) этих процессов, как показано на рис. 3.53. Для процесса Пуассона справедливо следующее утверждение.
Если имеется сумма конечного числа г взаимно независимых пуассоновских потоков Л! (1), ..., Л е (г) с интенсивностями Л„..., Л, соответственно, то суммарный йоток Лг (1) = Л1!(г)+ ... + Л',(г) является пуассоновским с параметром интенсивности Л =Лг+ ... +Л„. Доказательство этого утверждения простое и базируется на том, что для суммарного потока Лг (1) остаются в силе три определяющих условия пуассоновского процесса (2.7.13) — (2.7.15). Действительно, так как отдельные процессы взаимно независимы, то Р(Л1(1+А() — Л!(г)=1) = ~~ Р(У1(1+Аг) — Л!! (г)=1) = 1=1 Аналогично l = П (1 — Л,бг+о(бг))=1 — ЛИ+о(Лг).
(3.7.3) г=! Наконец, поскольку значения АЛГ! — — Л!! (г+ Ма) — ЛГ! (!) для разных ! взаимно независимы, когда интервалы Ма не пересекаются, то значения АЛ! при разных неперекрывающихся интервалах гаги будут также независимы. Из методики доказательства следует, что сформулированное утверждение останется справедливым и для неоднородных пуассоновских по- 408 г! Нл! 01-лг 0 Наг 01-св Суммирование пуассоиовских потоков , и,(г) !Уг(г) Рис. 3.53.
Наложение трех точечных процессов лз(г) сг(г) = ~ч ', (Л! А( + о (Аг)) = Лбг+ о (Лг), Л = ~и~~ Ль (3.7.2) 1=1 1=-! токов Аго (/), когда функции интенсивности зависят от времени Л; (/). В этом случае Л (/) = Л, (/) + ... + Л„(/). Д. А. Райковым доказан обратный, более глубокий результат: если сумма нескольких независимых случайных величин распределена по закону Пуассона, то каждое слагаемое также распределено по закону Пуассона.
Допустим, что интервал времени т, от начала отсчета до первого события в суммарном потоке имеет плотность вероятности Л ехр ( — Лт). Обозначим аналогичные времена (рис. 3.53) для частных процессов Аг, (1), ..., А/„(/) соответственно А„..., А„, так что то = ппп (Ам..., А,). Эти времена независимо распределены с плотностями вероятности Л; ехр( — Лот), 1 = 1, 2, ..., г. Рассмотрим совместное распределение величины т, и номера потока, которому она принадлежит.
Пусть известно, что то = т. Вероятность того, что это значение происходит от первого потока А/, (1), равна Р(Ат=т, А, ) т(1=2,..., г))то=т) = Р (аз =т, а о ) т (с' = 2,..., г), то — — т/ (то — т) =Л е — М'е — 1*' . е ~ т/(Ле — з')=Л,/Л. (3.7.4) Видно, что полученное выражение не содержит т. Поэтому систему независимых пуассоновских потоков можно трактовать следующим образом. Интервалы между последовательными событиями суммарного потока независимы и одинаково распределены с плотностью вероятности Л ехр ( — Лт). Затем события привязываются к частным потокам У, (г), ..., А/„(/) случайным образом с постоянными вероятностями Лт/Л, ..., Л,/Л соответственно. Приведем конкретную интерпретацию этого результата.
Допустим, что электронные лампы имеют два типа отказов. Пусть немедленно после отказа лампа заменяется новой. Тогда следующие две трактовки будут эквивалентными: 1) отказы двух типов осуществляются как независимые пуассоновские потоки с интенсивностями Х, и Л,; 2) отказы происходят по пуассоновскому закону с интенсивностью Л = Л, + + Л„и вероятность того, что какой-либо частный отказ принадлежит к первому типу, равна Л,/Л независимо от других отказов. В заключение приведем один важный результат, который имеет математическое доказательство П52). Оказывается, что при сложении большого числа взаимно независимых случайных потоков (не обязательно пуассоновских) малой интенсивности суммарный поток близок к пуассоновскому. Ситуации, в которых случайный поток можно рассматривать как сумму болыпого числа независимых слагаемых потоков, встречаются довольно часто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
