В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Чтобы определкть начальное условие для дифференциального уравнения (14), рассмотрим ковариационную функцию между двумя близкими значениями процесса ц (1): ч) (Гь) и т) (Гз — Л), Л ) О. Как видно из рис. 3.55, для очень малого временнбго интервала Л ) 0 можем написать КЧ (Л) = М (г! (ГЬ) т( « — Л)) = М ЕЪ «Н) ~ «г)). Рис. 3.56. К вычислению ковариационной функции квантованоого процесса Согласно предыдущим рассуждениям отсюда при Л вЂ” ч 0 получим К„(0) =) Кй (Лт') р (Лт') (((Лт'). (3.7.15) о Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка (14) с начальным условием (15) имеет вид К„(т)=е хт К (0)+Х) е ((х) Кй(х+Лт') р(Лт')(((Лт') ° (3.7.16) о, о Найдем теперь ковариационную функцию К (т). Рассмотрим интервал т, расположенный произволвио относительно момейтов отсчета Гю и интервал и между правым концом интервала т н ближайшей слева точкой отсчета (рис.
3.56). Если т ( и, то на интервале т отсчеты отсутствуют н, следовательно, К (т) = ч = Кй (0) = (14. Если т ) и, то К„(т) =М ((! (Г') ц «")) =М (ц «') г) «' — и)) =К„(т — и). Величина и являетея обратяым временем возвращения случайного точечного процесса (с. 247). Его можно характеризовать некоторой плотностью вероятности р (и). Очевидно, что Р (т ( и) =! — ) р (и) ((и, о Таким образом, после осреднения по возмохсным значениям случайной величины и получим окончательную формулу (с,(( (ч (' — 1~("(( ~(ч1т ( — ((((( )~ е ( (о о (( о 4!4 6 6! !!!! !!!!!! где функция Кч (т) определена выражением (16). В силу стационарности процесса т) (Г) имеем К, ( — т) = А; (т), Пусть стационарный случайный процесс $ (1) имеет нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию Я (т) = Р ехр ( — а(т(), а временнйе точки отсчета )ь описываются простейшим пуассоновским потопом.
Тогда р (Аг') = Л ехр ( — ЛАт'), р (и) = Л ехр ( — Ли) и из (16) и (17) получим следующее выражение для корреляционной функции квантованного процесса т) (1): 175 Ла Ч()= ае ~ + ца Ла )+ (аа — Ла) (а — Л) Х (е "т — е Х'), т) О. 5 б~ ф, м Ф ф $~ а) а уа 7л' мл брзнгннмз ннмгрнанм Рнс. 3.58. Дискретное сообщение (а) и сигнал ААСС (б) Рис. 3.57. Частотно-вре- менная матрица Эта формула при бесхонечном увеличении среднего числа отсчетов в единицу времени (Л -з со) принимает вид К„(г) =(75 ехр ( — сег), я~О, т.
е. совпадает с корреляционной функцией исходного процесса я (1). Пример 3.7.2. Ложные адреса в асинхронно-адресных системах связи. В последние годы получают широкое распространение асинхронные адресные системы связи (ААСС). В них общий радиочастотный тракт используется абонентами системы независимо (асинхронно) для передачи информации по назначению при помощи адресного кодирования сигналов [156).
Сигналы ААСС с частотно-временным кодированием представляют собой группы относительно коротких импульсов, отличающиеся интервалами между отдельными импульсами и частотами высокочастотного заполнения (поднесущими частотами) каждого из них. Различные сочетания временнйх интервалов и частот поднесущих колебаний (адресов абонентов) обычно представляют в виде таблицы, которая называется частотно-зрелзннбя матрицзб. В качестве примера на рнс. 3.57 изображена частотно-временнйя матрица и на ней показан один нз адресов (см.
рис. 3.58). Отдельный адрес состоит из и импульсов, каждый из которых может иметь одну из нескольких (1) поднесущих частот. Для передачи непрерывных сообщений в ААСС применяются различные виды модуляции: время-импульсная, частотно-импульсная, кодово-импульсная, дельта-модуляция и др. Передача дискретных сообщений может осуществляться так, как показано на рнс. 3.58, где структура адреса соответствует. частотно-временной матрице рис. 3.57. Совокупность импульсных последовательностей всех абонентов, действующих в данный момент времени, поступает на входы приемников каждого абонента.
Приемник отдельного абонента (рис. 3.59) содержит 1 узкополосных фильтров — по числу поднесущих частот. Для выделения сигнала, предназначенного 415 данному абоненту, сигнал после детектирования снимается лишь с выхода тех фильтров, которые настроены на поднесущие частоты, содержащиеся в адресе данного абонента. Продетектированные импульсы поступают на т линий задержки, соединенных в соответствии с частотно-временной матрицей данного адреса, С линий задержки импульсы поступают на схему совпадения (схема И) и преобразуются в один импульс, который поступает в демодулятор, выделяющий сообщение. Так как сигналы абонентов не синхронизированы между собой, они могут налагаться друг на друга.
При наложении сигналов разных абонентов могут образовываться комбинации импульсов, совпадающие с адресными. Такие комбинации (ложные адреса) представляют собой так называемую внутрисистемную помеху, интенсивность которой пропорциональна интенсивности полезных сигналов. Одной из основных проблем при проектировании ААСС является борьба с внутрисистемной помехой. Рис. 3.59. Функциональная схема приемника Определим основные характеристики внутрисистемной помехи при следу«пшик предположениях.
1. Все т импульсов, из которых состоит адрес, имеют разные поднесущие частоты (гл ( 1). 2. Каждый адрес ААСС повторяется в среднем т раз в единицу времени. 3. Все импульсы явля«ется прямоугольными и име«от одинаковую длительность тя. 4. Считается, что передан адрес данного абонента всякий раз, как только на выходе всех линий задержек одновременно появляются сигналы.
5. Отсутствует явление «фазозого подавлениям Это означает, что если два импульса на одной поднесущей частоте перекрываются во времени, то на выходе соответствующего частотного канала приемника появляется импульс единичной амплитуды, на~ало которого совпадает с началом первого импульса, а конец— с концом второго. 6. Моменты появления импульсов на различных поднесущих частотах представляют собой взаимонезависимые пуассоновские потоки. Это предположение, как правило, приближенно выполняется при числе активных передатчиков в ЛАСС более десяти. 7.
Распределение частот импульсов, передаваемых ансамблем из А( передатчиков, предполагается равновероятным среди всех 1 поднесущих частот. При указанных условиях интенсивность пуассоновского потока импульсов ля любого частотного канала приемника равна (3.7.19) Определим вероятность появления ложного адреса. Ложный адрес появляется в том случае, когда на выходе гл линий задержек одновременно имеется импульс. Для пуассоновского потока вероятность отсутствия событий в течение времени 1 равна рз (1) = ехр ( — л(), а вероятность появления хотя бы одного события равна рз ь 1 (1) =1 — ра (1) =1 — ехр ( — )»1) .
416 Здесь под событием понимается момент появления импульса длительностью тя. Поэтому вероятность наличия сигнала на выходе одной линии задержки в заданный момент времени совпадает с вероятностью поввления хотя бы одного импульса в предшеству1ощий интервал времени тьс Ра, (тв) =1 — ехр ( — )тн). (3.7.20) Так как для образования ложного адреса необходимо появление сигналов одновременно на выходах ш линий задержек, а моменты появления этих сигналов независимы, то вероятность появления ложного адреса дается формулой — Хтя1 ю РР =(1 — е '(3.7,21) а) Хг ф Рис. 3.60. Импульсы абонентов (а] и суммарный поток импульсов (б) Получим плотность вероятности длительности импульса на выходе одного частотного канала.
В результате воздействия импульсов от различных абонентов ААСС на выходе каждого частотного канала приемника формируется суммарный поток импульсов со случайными длительностями (рис. 3.60). Обозначим моменты появления импульсов абонентов йь !т, !з, ..., моменты появления импульсов суммарного потока (е, !', !', ... и Тг= 1~ — !г д. Импульс суммарного потока появляется в том случае, если в предшествующий интервал времени т„не появился импульс от абонента. Например, если Тт < т„, Тз < тв, Т,<т„, а Та>тн, то импульс суммарного потока начинается при 1з=-!з' и кончается при 1з+ тя, имея длительность Тт+ Т + Т + т. Второй импульс суммарного потока появится при 1, = !(. Случайная длительность импульса суммарного потока Т равна Т =Та+Та+ ° ° ° +Тд+гн=оп+хи (3.7.22) с вероятностью Р(Тт«ти).
° . Р (Тд<тв)Р(Та+!>тя)=(1 — е ") е н. (3.7.23) Плотность вероятности интервала Тг при условии, что Т; < т„, можно получить следующим образом. Очевидно, что Р(Т; < 6, Т; <тн)=Р (Т; <6) нри 0~(6 <ти.) Поэтому Р(Т 6„, Р(Т. 6,Тг<") Р(Т;<тм) =(1 — е )1(! — е и) 0~(6<тв. Р(ТГ< 6) Хн ат„ ( г<тн) 417 !4 нак. эзз Продифференцировав это выражение по 6, получим плотность вероятности интервала Т; при условии Т! ( тгб Х ехр ( — ).6) Р (6) = — Р(Т>~6[ТГ<ти)= , О ~( 6 ( ги. (3.7.
24) а6 1 — ехр ( — Хта) Плотность вероятности случайной величины Зь в выражении (22), которую обозначим Рь (6), есть й-мерная свертка плотности вероятности Р> (6). Взяв преобразование Лапласа от плотности вероятности р> (6), имеем ти Хе гр(з) =Ы(Р>(6))=~ е '~г(6= о (3.7.29) Л 1 — ехр [ — (з+)>) ти! — Лт„ з+)> ! — е Поскольку свертке оригиналов соответствует умножение изображений, то Ж(ра (6))=ф'(з) (3.7.26) Последнее слагаемое в правой части выражения (22) имеет плотность вероятности в виде дельта-функции б (6 — т„), имеющей преобразование Лапласа Я(6 (6 — ти)) =ехр ( — ши).
(3.7.27) с учетом соотношений (25) — (27) находим преобразование лапласа плотности вероятности длительности импульса Т суммарного потока при фиксированном 7м (1,-".)' (.+Д)' Воспользовавшись выражением (23) и известной формулой для геометрической прогрессии ат,'ь ха = (1 — х)->, получим преобразование Лапласа от безусловной плотности вероятности длительности импульса суммарного потока: !а+к!хи а -Хтит -Хт„Х !1 — е 7 — зт И(з)= у (1 — е и)е е- и= ь= о (1 е и) (з+)>) (з+) ) ехр ( — (з+ь) ги) з+)> ехр'[ — (з+Х) ти) Обратное преобразование Лапласа от этого выражения дает плотность вероятности длительности импульса суммарного потока [154): Р(6)=е и 6(6 — ти)+Хе "(/(6 — та)+'~~ ( — !)З)>ае ">С А=! (6 — (й+!) т„)' — ' Г й >с " ~ 1+ — (6 — (й+ц,) и (6 — (й+П т„), (3.7.3О) (й — 1) ! где (7 (к) — единичная ступенчатая функция: (7 (х) = 1 при к >ь О, У (х) = О прн х ( О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
