В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Можно также рассмотреть совместное распределение ч-го верхнего значения х и ч-го нижнего значения у. Введя величины и и о формулами (2) и (5), как и выше, убеждаемся, что совместная плотность вероятности для и и о имеет вид и аналогичные выражения для у. Далее имеем М ( )- ~ ~- ' ( ) х+у ) а+Ь ( х+у ) (Ь вЂ” а)а ч (3.8.8) 2 ) 2 ( 2 ) 2 (п + 1) (п +2) Отсюда видно, что среднее арифметическое ч-х значений х и у является состоятельной и несмещенной оценкой для математического ожидания (а + Ь)/2 всего распределения. Наконец, для разности х — у имеем 2т 2ч (п — 2т+1) М(х — у)=(! — ) (Ь вЂ” а), 0(х — у)=- (Ь вЂ” а)а. (3.8.9) и+1) (и+1)э (и+2) При ч = 1 разность х — у является широтой выборки, О с-а с ас вся сш сМаху Рис. 3.62. Композиция двух равномерных распределений Рнс. 3.61. Графики плотности вероятности при ч=!,2,3 н 4 -,у -г -/ и / г З 4 4у Рассмотрим случай нормального распределения р (х), начав с распределения с нормированными параметрами (сп = О, аэ =- 1).
Если х'есть ч-е верхнее значение выборки в п значений из этого распределения, то выражение (2) имеет вид и= — )е /Й. п -(/ы .) Найдем асимптотическое решение х этого уравнения при больших и. Интегрируя по частям, приведем уравнение к виду = †.-*'" (~с.о( —,)) Предполагая, что и ограничено, после некоторых вычислений получим 1п1п п+1и 4и 1п и / 1 ) 2 )/2 !и п )/2!и и откуда следует, что остаточный член сходится по вероятности к нулю.
Рассматривая общий случай нормального распределения с произвольными параметрами ш и а', воспользуемся лишь заменой х на (х — ш)/а. Заменяя также — !п и на ш, получим, что верхнее т-е значение х можно представить в виде )п 1и и+ !п 4и а х=т+а 1~2!пи а + га, (3.8. 10) 2 1сс2 1пи ')сс2 1пи где величина ш = — 1и $ имеет в пределе при и -+ со плотность вероятности у (са) = — ехр ( — тш — е ).
1 — Ф (3.8.!1) Г (т) Аналогично для ч-го нижнего значении у получим 1и !п и+!и 4л а у=т — а ]/21п п +а — г, (3. 8.! 2) 2']/2 1и п ]Г21пп где г в пределе независима от ш и имеет плотность вероятности у (г). Таким образом, при больших значениях от-е значения х и у получаются с помощью простого линейного преобразования из величин, имеющих предель- ное распределение, определяемое плотностью вероятности (11). Графики этой плотности вероятности изображены на рис.
3.61. Для данного примера можно также найти М(х), Гг(х), М ((х+ у)/2) = т, П((х+ у)/2), М(х — у) и 0 (х — у) ]8]. Пример 3.8.2. Плотности вероятности суммы и произведения двух незави- симых случайных величин с равиомернымн распределениями. Найдем плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин аг и аз, каждая из которых распределена равномерно (рис.
3.62): )' 1/(Ь вЂ” а), а<яд (Ь, р (хх) = (3.8.!3) 1/(й — с), с ( хз < й, р (х,) = О, кз < с, х, > й, Будем считать (й — с) > (Ь вЂ” а). Для нахождения композиции двух равномерных распределений нужно по формуле (3.2.60) вычислить интеграл свертки: р, (у)= ) рг (х,) рй (у — хг) йхю (3.8.16) 423 р(~р)=1/2л, ]~р] (л. Здесь подынтегральная функция отлична от нуля лишь при совместном выполнении четырех неравенств: а ( хт ( Ь; с ( у — хг ( й.
Рассмотрев условия совместного выполнения этих неравенств, получим следующий результат: О, у<а+с, (у — а — с)/(Ь вЂ” а) (й — с), а+с< у<Ь-]-с, р„(у) = 1Пй — с), Ь+с (у(а+й, (3 8 14) (Ь+й — у) /(Ь вЂ” а) (и — с), а (-й < у < Ь-(-й, О, у>Ь+й. Плотность вероятности р„(у) имеет вид равнобедренной трапеции (рис. 3.62), При (и — с) = (Ь вЂ” а) трайеция переходит в равнобедренный треугольник.
При композиции большого числа независимых, равномерно распределенных случайных величин в пределе получится нормальная плотность вероятности (см. рис. 5.43). Запишем плотность вероятности разности фаз ф = фг — фз двух независимых гармонических колебаний в; (/) = Аг соз (ы/+ ф;), 1 = 1, 2, считая, что каждая из фаз фг распределена равномерно в интервале ( — л, л]: ррр;) = 1/2ль — л(<р!(л,(= 1, 2. (3.8.15) Плотность вероятности р Ор) разности ф двух независимых случайных величии грг и фз, равномерно распределенных на одинаковом интервале ] — л, л], является треугольной и имеет вид, показанный на рис.
3.63, а ]157]. Однако если учитывать цикличность изменения фазы, т. е. интересоваться фазой7р, приведенной к интервалу! — л, л] (фазой, по модулю не превышаюи]ей л), то плотность вероятности такой разности фаз ~р будет также равномерной в интервале ( — л, л] (рис. 3.63, б): Приведем выражение для плотности вероятности произведения») = в»вз, где в» и яа — независимые случайные величины с равномерными плотностями вероятности: (3.8.17) рй (х») = 1/а, О ( х» ( а; рь (х ) = !/Ь, О ( хз ( Ь На основании формулы (3.2.6!) имеем Ь -2»г -уг и ру 2ар (а -зр у уу га а) 6 Рис. 3.63. Плотности вероятности разности двух незави- симых равномерно распределенных фаз В результате замены переменной х = у/хз и интегрирования получим а/ь а 1 /' Ыг 1 Г»!г 1 р (у) = — — ) рй (г) — = — ) — = — 1п (аЬ/у), О(у ( аЬ.
Ь 3 й» х аЬ,) г аЬ а/ь (3.8.18) Пример 3.8.3. Логнормальиая плотность вероятности. Эта плотность вероятности часто применяется в теории распространения волн через слоистую среду. Пусть плоская волна распространяется в направлении +х через слоистую среду (рис. 3.64).
Допустим, что толщина отдельного слоя равна Лхг и постоянная поглощения аь Если амплитуда волны на входе»-го слоя есть у» „то амплитуда волны на выходе этого слоя у; = у»» ехр ( — а»Лх»). Следовательно, если амплитуда волны, падающей на слоистую среду, равна А, то амплитуда волны на выходе а-го слоя у„=А е — и,зх, — а,ах, — ан ахи „вЂ” гп е где г„= 26 1 а;Лх». Во многих практических случаях постоянная затухания и толщина слоя из.
меняются случайно и независимо от слоя к слою. При этом нормированную амплитуду волны на выходе можно представить в виде т! = ехр ( — в). (3.8.19) Если число слоев велико, то плотность вероятности случайной величины я согласно центральной предельной теореме будет нормальной Рис. 3,64. Распространение волны через слоистую среду 424 р (х) =(2л04 ) 1)т ехр ( — (х — щ1 )я(204 ).
При этом плотность вероятности нормированной амплитуды г) будет лагнарлахьнай Рч (У)= (2л0 уг) 1 ехр ( — (1п у — т )я)20 ), у ~0, (3.8.20) О, у <0. Пример 3.8.4. Пусть яг (1) и яз (1) — два случайных пропесса, характеризуемые соответственно плотностями вероятности рй (хы Гг) и рй (х,; Гя), а также совместной плотностью вероятности ря (х„хя; (ы (я). Получим плотности вероятности р, (х; г) и р, (х; 1) для следующих двух процессов в( (1) и 5' (1) 4( ' йг (рис. 3.65): $ (1)=~ )= Ь (1)= 3821 0, ~т(1) <6 (1), ), 0, В (1)(Ц (1). По формуле полной вероятности можем написать р, (х; 1) =Р (5, (1) ~ йя (1» р (х; Г ! 31 (1) > йз (1»вЂ” +Р(Ь, (1) < В, (1» (;1~6. (1) <6, (1))..
(3,8.22) Входящие сюда условные и безусловные плотности вероятности равны р (х; С ) ят (1) ) яг (1)) =р4, (х; 1), р (х; 1(6т (1) «( $г (1)) =6 (х), (3 8 23) где 6 (х) — дельта-функция; Р(Ь(1) ) Бя (1))= ) Рй, (х; 1) Р(Б (1) ( Бг(1) (Ь(1)=х) г(х= ( рй (х; 1) г(х ( р (у; 1(х; 1) г(у= "х ) Ря (х У11 1) г(у = ) бу ) Р (х, У; 1, 1) г(х. (3.8,24) а Аналогично получим а Р($г (1) «<йг (1))= ) Их) рг (х, у; 1, 1)г(у= ) г(у ( р (х, у;1, 1) бх. (3.8.25) Геометрически безусловные вероятности Р (яг (1) ~ ~$я (1)) равны объемам, ограниченным поверхностью рз (х, у; 1м Гя) и плоскостью у = х. Подставив выражения (23) — (25) в (22), получим плотность вероятности р, (х; 1). Проведя аналогичные выкладки, находим выражение для плотности ет вероятности процесса яг (1): р ° (х; 1) =Р ($г (1) ) $г (1» 6 (х)+Р(Ь (1) < $~ Ю) Рй, (х; 1).
(3 8 26) йг В частном случае, когда процессы яг (1) и яя (1) являются совместно гауссовскими с нулевыми математическими ожиданиями, в предыдущие формулы нужно подставить Р(йт (1) ) Бя (1)) = Р (йг (~) «( йз (1)) = 1/2, Пример 3.8.5. Найдем плотность вероятности случайной величины г) = ($з — ьг)l (яя+ $г) (3.8.27) ' 425 рис.
3.65. Получение процессов в( (!) и ва (!) иэ 5д(!) и ча (/) где случайные величины $т и я имеют совместную плотность вероятности ра (х,, хя), Введем новые случайные величины в и т), определив их выражениями й = (йт+ $Д/2, т! = (Ця — $г)/ (йа+ $г). Отсюда находим 9 = (! — 9)9, Я = ( + Ч)9, За,,й)/6(9,9) = 29. По формуле (3.2.49) получим р (у)=2 ) р,(х (1 — у), х (!+у)) (х( г(х= =2) (р, (х (1 — у), х (1+у))+ра ( — х (! — у), — х (1+у))) хг(х.
(3.8.28) о Запишем выражение для плотности вероятности случайной, величины Ч =- (вв — Ь ) (в + вг). (3.8.29) Введем случайные величины я = (Кг + Кт)/2, т! = (Вэ — Чг) (Кя+ $г) Отсюда находим $~ = $ — г)/4$, $, = $+ т)/45, д ($о $,)/д ($, г)) = 1/2~. Поэтому р (у)= — ! рт(х — —, х+ — ~ —. (3.8.30) 2 3 '(, 4х ' 4х ~ !х( ),/1 — г' (у) н(уа )г/Ре/Рт — 2гу+ )/Рв/Рг ) (3.8.31) 426 В том случае, когда в (27) и (29) случайные величины являются совместно гауссовскими с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционным моментом Р = М (яДа) = г)/РгРа, где Р; — дисперсия случайной величины $м г = 1, 2, формулы (28) и (30) принимают соответственно следующий вид: рч (у) = ехр ( ') .( и ')««(( — з) ГЗ, Вз ), () — ') 1«ГЗ„ГЗз / ~ (1 — «з) )«Г«,ГЗз (3.8.32) где Кз (х) — цилиндрическая функция нулевого порядка мнимого аргумента.
Пример 3.8.6. Докажекч что плотность вероятности Коши р (х) = а!и (ха+ ае) (3.8.33) замкнута относительно преобразований вида Ч = а%, (3.8.34) где а — постоянная: Для данного преобразования по формуле (3.2.2) получим Рн (У) = (арап (Уз + (о!а)з). (3,8.38) ГЛАВА 4 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 4Л. ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОИ СТАТИСТИКИ Применительно к рассматриваемому здесь узкому кругу вопросов математическую статистику можно определить так. Математическая статистика — раздел математики, посеян(енный установлению закономерностей случайных явлений или процессов на основании регистрации, систематизации и обработки результатов наблюдений или измерений.
Изложению теории методов, применяемых в математической статистике, и описанию правил их применения к разнообразным практическим задачам посвящена обширная литература [1, 8,16,27, 97, 98, 158 — 155). Перечислим здесь типовые задачи, наиболее часто встречающиеся в радиотехнических приложениях, и кратко укажем некоторые методы их решения.
Статистические методы исследования, базирующиеся на рассмотрении экспериментальных данных о тех или иных совокупностях объектов, применяются в самых различных областях знаний (физика, экономика, медицина и др.) и могут преследовать разные цели. Однако можно указать следующие три основные задачи математической статистики. Оценка неизвестной функции распределения или плотности вероятности. Эта задача обычно формулируется так. В результате независимых измерений случайной величины й получены следующие ее конкретные значения х =- (х„ х„ ..., х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
