В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (1092037), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Длительность импульса суммарного потока не может быть меньше ти и с конечной вероятностью может быть равна ти. Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия длительности импульса суммарного потока равны — хт и ьти М Я= глг= . — х 77 т= 1! +(1 — 2Хт„) е и1. (3.7 31) Получить точное выражение для плотности вероятности длительности ложных адресных импульсов ТЮ появля>ощихся на выходе схемы совпадения, в компактном виде затруднительно. Приведем без вывода приближенное выражение. полученное в предположении, что все ложные импульсы, имеющие длительность больше т„, считаются имеющими длительность т„(154]: р (8) =«»(т — 1) (1 — г«6) +(! — с«т»«)~ д (6 — тя), (3.7.32) ~«и — хт где г» = )«е н/ (! — е "). На основании этой формулы математическое ожидание длительности Тп ложного адреса равно ! ш = — ]1-(! — -.) "].
(3.7.33) гп — — — и Пример. 3.7.3. Система массового обслуживания. Ложные срабатывания реле нз-за помех. Рассмотрим следующий простейший пример. Некоторый аппарат предназначен для обслуживания «посетителей», часть из которых «назначенные>, а другая часть — «случайные». Первые появляются через равные промежутки времени (длину этих промежутков примем за единицу времени), вторые приходят случайно. Обслуживание одного «посетителя» занимает постоянный промежуток времени т ( 1.
Образование очереди не допускается (система массового обслуживания с отказами): «посетитель>, пришедшвй в момент, когда аппарат занят, не остается ждать, а уходит и вторично не появляется. Пусть моменты появления «случайных посетителей» представляют собой простейший поток Пуассона, т. е. вероятность появления за временнбй интервал !ровно А «случайных посетителей» равна рь (!) =(Х1) е (й! (3.7.34) При принятом выборе единицы времени параметр ь равен отношению среднего числа появляющихся «случайных посетителей» к числу появляющихся «назначенных посетителей».
Зная среднее число )» «случайных посетителей», появляющихся за единицу времени, и время т обслуживания одного посетителя, требуется определить средние значения )«(!ы 1>) и ч (!», !з) для числа «назначенных» и «случайных посетителей», обслуженных в течение интервала времени ()ы !з]. Таким образом, сформулированной задаче можно дать другую трактовку. Пусть обслуживающим аппаратом является идеальное безынерционное реле, срабатывающее на постоянное время т каждый раз, когда воздействующее напряжение превышает некоторый порог. В качестве «назначенных посетителей> можно рассматривать полезный сигнал в виде периодической последовательности мощных коротких импульсов, которые воздейству>от на реле и вызывают «полезные» срабатывания реле на время т; «случайными посетителями» являются импульсные помехи или выбросы случайного процесса, воздействующие на реле вместе с полешпям сигналом и обусловливающие «ложные» срабатывания реле.
При этом величины !«(йы ! ) и ч (!», ! ) будут равны средним значениям для числа полезных и ложных срабатыванйй реле, На выходе реле ложные и полезные срабатывания реле чередуются в некоторой последовательности. Разобьем эту последовательность на серии, каждая из которых содержит ровно одно полезное срабатывание и притом вначале: (ПЛЛЛЛ)Г!ЛЛ!П]ПЛ(ПЛЛ]17]П(ПЛЛЛЛЛь .. Число ложных срабатываний, принадлежащих некоторой серии, есть случайная величина.
Обозначим через яв вероятность того, что серия содержит ровно п ложных срабатываний. Среднее число ложных срабатываний между двумя послеДовательными полезными сРабатываниЯми Равно с« = ~ЧД~~ пив. Выразим величины р (!», 1з) и ч (1„1з) через««. Пусть уа» есть вероятность того, что за интервал времени 1!», 1з] произошло гл полезных срабатываний реле. Последнее равносильно тому, что имеется реализация из т полных серий, если только из двух неполных серий, расположенных по концам интервала, одной пренебречь, а другую учитывать как полную. Среднее число ложных срабаты- 14* 419 наний реле за т серий равно аш. Поэтому среднее число» (йы ! ) ложных срабатываний за интервал времени [1«, 1з) равно ч (1,, 1,)= '~~ ут«хт=а .~~~', тут=вр(1! !»).
т=! т=! Если учесть ошибку за счет сделанного нами округления числа серий, то это выражение следует уточнить: (йы 1,) = а [Р (йы 1,) + 0[, [0[ < 1, (3.7.35) Если за интервал времени [1», ! ) произошло в целом и срабатываний реле (полезных и ложных), то из этого ийтервала времени реле было «закрыто» в течение промежутка времени пт.
При этом были «пропущены» (не вызвали срабатывания реле) те и только те помеховые импульсы, превышающие порог срабатывания реле, которые поступили на реле в течение этого промежутка времени. Вероятность того, что их было ровно и, вычисляется по формуле (34); среднее их число равно Лпт =Ейрь (лт). Мы вычислили условное среднее значение для числа «пропущенных» помеховых импульсов при условии, что всего было и срабатываний реле.
Безусловное среднее значение в (И, ! ) определяется формулой в((г, !») = ~ (Лпт) «)л=Лт ~', пдл, л=! л=! где дл — вероятность того, что за рассматриваемый интервал времени произойдет ровно и срабатываний реле (полезных и ложных). Стоящая в правой части сумма равна Р (!», !з) + ч (!», 1з). Если учесть ошибку «округления» и внести соответствующу«о поправку, то получим в (йы ! ) = Лт [Р (1,, 1 ) + (йм 1з) — 0'), 0 < 0' < !. Согласно формуле (34) среднее число помеховых импульсов, воздействующих на реле за интервал времени ! 1», 1 [, равно Л (! — П). С другой стороны, оно складывается из среднего числа т (И, ! ) ложнйх срабатываний реле и среднего числа-в (!», 1з) «пропущенных» помеховых импульсов. Следовательно, Л (1» — г!) = (Ем !з) + Лт [Р (И, 1»)+ ч (1», 1») — 0).
(3.7.30) РазРешаЯ УРавнениЯ (34) и (36) относительно Р (йм 1з) и ч (1», 1»), полУчаем Л (!» — 1!) вЛ (1» — !!) Р (1!. 1») +О», т (1т, !») = +20 и, (3.7.37) с«+Ла+аЛт а+Лт+аЛт где 10»1 < 1 и [О [ < 1. Из этих формул находим Р (!1, !») Л с«Л Р=!пп 1нп *(37 38) — а+Лт.+вЛт «,— «,. а+Лт+аЛт Величины Р и т характеризу«от соответственно среднее число полезных и ложных срабатываний реле в единицу времени. 3.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ Рассмотрим несколько самостоятельных примеров. Пример 3.8.1. Веронтиостные характеристики элементов выборки. Пусть имеется и выборочных значений, принадлежащих совокупности, которая имеет распределение непрерывного типа с функцией распределения Р (х) и плотностью вероятности р (х) = Р' (к).
Расположив л выборочных значений в порядке их величины, получим вариационный ряд, который имеет два экстремальных значения! наибольшее и наименьшее, а также конечную широту, являющуюся разностью между этими экстремальными значениями. Значение, стоящее на т-и месте от начала или от конца вариационного ряда назовем соответственно»-м низслим или верхним значением. При т = 1 получаются экстремальные значения. Часто бывает важно знать выборочные распределения экстремальных значений, 420 т-х значений. широты и других подобных характеристик'выборки.
Рассмотрим некоторые свойства этих распределений [8[. Обозначим через х т-е верхнее значение выборки из л элементов. Дифференциал вероятности [ (х)4х выборочного распределения величины х совпадает с вероятностью того, что среди л выборочных значений л — ч значений меньше х и ч — 1 больше х+ ах, так что остающееся значение попадает между х и х + ах. На основании биномиального закона распределения вероятностей можем написать [ (х)г[х=п[ 1гп ~(х) [1 — г" (х))"' р(х)~Хх. (3.8.1) 1ч — 1 ! Если ввести новую величину и, положив и = п [1 — г (х)!, (3.8.2) то имеем О < и < л, и плотность вероятности этой новой величины будет (3.8.3) при О < и < а и И (и) = О вне интервала (О, п).
При л -+ оо плотность вероятности И (и) для любого и > О сходится к пределу 1!ш И (и) =-и~ е "/Г (ч). л-» Эта плотность вероятности является частным случаем гамма-распределения. Аналогично если у обозначает т-е нижнее значение выборки и если ввести новую величину о, положив пз [(ч — 1)1[з(л — 2т)! ( п ) (л ) ~ п л ) (3.8. 6) где и > О, о > О, и + о < л и 2ч < л. При и -+ со это выражение стремится к ич ' е "о' ' е е,'Гз(ч) (3.8.7) так что в пределе и и о независимы. Если функция распределения г(х) задана, то иногда можно точно решить уравнения (2) и (5) относительно х и у. Тогда получим ч-е значения х и у, выраженные через вспомогательные величины и и о, распределения которых известны. Если же точное решение невозможно, то часто можно получить асимптотическое решение для больших значений л. В таких случаях известные распределения величин и и о можно использовать для нахождения предельных форм распределений ч-х значений, широты и т.
д. Допустим, что случайная величина, из значений которой извлекается выборка, равномерно распределена по интервалу (а, Ь). Если в выборке в п значений из этого распределения х и у есть ч-е верхнее и нижнее значения, то формулы (2) и (5) дают х = Ь вЂ” (Ь вЂ” а)иlп, у = а+ (э — а)о/п, где и и о имеют совместную плотность вероятности (6) с предельной формой (7). Поэтому получим М(х)=Ь вЂ” (Ь вЂ” а), 0(х)= (Ь вЂ” и)' п+1 ' (л+1)з (л+2) 421 о = лу(у), (3.8.5) то убедимся, что о имеет плотность вероятности И (о), и в пределе при п-+со плотность вероятности о~ ! е — эгГ (ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
