А.А. Бабырин - Электроника и микроэлектроника (1088520), страница 49
Текст из файла (страница 49)
5.4. Законы Фика. Начальные и граничные условия в задачах диффузии Рассмотрим произвольный объем й, внутри которого распределены частицы с неоднородной концентрацией с(г,г), зависящей также от времени ! в нестационарном состоянии. Изменение числа частиц в объеме Ъ' связано с их вытеканием через поверхность 5, ограничивающую этот объем. Если выделить на поверхности элементарную площадку д5 с единичной внешней 242 Гл.
5. Управление диффузионными и кинекпинескими процессами нормалью п, то количество частиц, вытекающих через нее за единицу времени, равно Л„дЯ, где Л„= п. Л вЂ” нормальная компонента плотности потока частиц Л. Скорость убыли частиц внутри объема И дается поверхностным интегралом ~,,7„сс5, поэтому очевидным становится следующее интегральное соотно- шение; д — 1~(Ш г)Л' = — 1 Лнс(Я.
д„ (5.25) г Ь' С учетом теоремы Остроградского — Гаусса, с(пгЛс(й= (и Л)с(Я, Г а соотношение (5.25) принимает вид — + ЙгЛ й'г' = О. Поскольку выбор объема и' произволен, то последний инте- грал равен нулю лишь при обращении в нуль подынтегрального выражения, что дает уравнение непрерывности — + ЖиЛ=О. дс дс (5.26) Следует иметь в виду, что при выводе уравнения (5.26) были исключены из рассмотрения процессы появления и исчезновения частиц внутри объема й в результате, например, протекания химических реакций с участием частиц рассматриваемого сорта.
С учетом этого уравнение непрерывности (5.26) должно содер- жать в правой части дополнительные слагаемые, включающие скорости таких реакций. Используем соотношение (5.3), связывающее плотность пото- ка частиц с их концентрацией (индекс 4 для простоты опушен); Л(г,~) = — РйгЫс(г,г), (5.27) называемое первьаи законом Фика. Подстановкой (5.27) в урав- нение (5.26) получаем второй закон Фика, Этот закон описы- вает изменение частиц во времени и в пространстве с помощью диффузионного уравнения, г(г'И) Р 2 ( 1) (5.28) д1 где введен оператор Лапласа (72с = г((т ~тайс.
Коэффициент диф- фузии в уравнении (5.28) вынесен за знак оператора Лапласа, 5.4. Законьь Фика. Начальные и граничные условия 243 хотя в общем случае он может быть функцией координат. Поэтому более общей формой для правой части уравнения (5.28) является с(1ч (Р йгас1с). Диффузионное уравнение (5.28) является дифференциальным уравнением в частных производных. Так как оно содержит производную по времени первого порядка и пространственные производные второго порядка, то для его решения необходимо задать одно начальное условие (при 1 = 0) и два граничных условия (в случае одномерной пространственной задачи).
При решении диффузионных задач обычно используют следующие два варианта границы: ° отражающая граница реализуется при отсутствии нормальной компоненты потока частиц через границу Я, т. е. ,1„(1) в— э и Л(1)~ = — Р ', ' = 0; (5.29) суя ° связывающая граница не требует отсутствия нормальной компоненты потока на границе Я и реализуется путем задания поверхностной концентрации частиц св(Г) (в частном случае постоянной или равной нулю), т. е. се(г) = с(г,Х)! (= сопз1 или 0). (5.30) При использовании модели полуограниченного тела одно из граничных условий (5.29) или (5,30) дополняют требованием поведения концентрации частиц на бесконечности, исходя из физической постановки задачи, Среди практических задач, встречающихся в технологии электронных приборов, по виду начальных условий можно выделить следующие два типа: ° задачи на удаление вещества из твердого тела (обезгаживание деталей вакуумных приборов и геттерирование или испарение примесей из полупроводников): с(г,1)~ о — — со(г), когда пРн 1 > 0 с(г, Г) < со(г); (5.31) ° задачи на введение вещества в твердое тело (легирование полупроводников примесями и поглощение газов материалами): с(г,1)~, о — — со(г), когда при 1 > 0 с(г, с) > со(г), (5.32) где в частном случае может быть со(г) = О.
244 Гл. 5. Управление диффузионными и кинепги пескими процессами 5.5. Диффузионные задачи на удаление вещества из твердого тела Можно указать две практические задачи, когда целью технологической операции является удаление атомов вещества из твердого тела. Во-первых, сюда относится задача обезгаживания элементов конструкции вакуумных приборов. Эту операцию проводят перед сборкой прибора путем отжига деталей в вакууме или в атмосфере очищенного водорода; окончательное обезгаживание достигается путем вакуумной обработки прибора на откачном посту. Во-вторых, в технологии полупроводниковых материалов для очистки их от примесей используется метод геттерирования.
Он заключается в нанесении на поверхность полупроводника материала, называемого геттером, который (обычно в расплавленном состоянии) эффективно экстрагирует растворенные в полупроводнике примеси. Так, для удаления быстро диффундирующих примесей меди, золота и железа, создающих нежелательные глубокие ловушки в кремнии, в качестве геттера используют фосфорно-силикатное стекло. О ! — г сю в О б Рис. 5.5. К решению задачи диффузионного обезгаживания пластины, толщиною ! (а) с однородным начальным распределением растворенного газа (б), и полуограниченного тела (прн ! — ~ оо) с однородным начальным распределением растворенного газа (е). Векторы Л(!) показывают диффузионные потоки газовыделения через границы пластины Закономерности диффузионного удаления вещества из твердого тела будем изучать на примере вакуумного обезгаживания пластины толщиною ! с неограниченными поперечными размерами, которая показана на рис.
5.5а. В этом случае диффузионная задача становится одномерной и для нее второй закон Фика 5.5. Диффузионные зада«и на удаление вещеогава 245 в форме (5.28) принимает следующий вид: дс(х, 1) д с(х,1) д( дге2 Величина с(х,1), входящая в уравнение (5.33), представляет собой искомое распределение растворенного газа в пластине, изменяющееся во времени в нестационарных условиях.
Начальное распределение газа по толщине пластине прини- маем однородным (рис. 5.5б), так что начальное условие типа (5.31) в данном случае имеет вид с(се 1)~~=о = ч 0 при ю<0 и л)1, (5,34) со при 0<л<1, Для записи граничных условий при зе = 0 и л = 1 воспользу- емся законами растворения газов в твердом теле. Как известно (см. п. 2.4), эти законы, называемые законами Генри и Сивертса, справедливы лишь в равновесных условиях. К рассматриваемой неравновесной задаче они в общем случае неприменимы, если речь идет о внутренних точках пластины, Однако равновесие между газом и поверхностными слоями твердого тела обычно устанавливается достаточно быстро.
Это позволяет считать, что поверхностная концентрация растворенного газа с, (отмечаемая индексом в), входящая в граничное условие (5.30), подчиняется законам Генри и Сивертса, т.е. определяется парциальным дав- лением р этого газа (без индекса 1): св = в(Т)р". (5.35) Здесь в(Т) — температурно-зависимый коэффициент растворимости, п~ — показатель степени, равный 1 нли 1/2 для молекулярного или атомарного механизма растворения двухатомных газов в соответствии с законами Генри или Сивертса.
Будем считать скорость диффузионного выделения газов много меньшей скорости их откачки вакуумным насосом, что обеспечивает в газовой среде, окружающей пластину, очень низкое давление (в пределе р = 0 — модель абсолютного вакуума). В этом случае граничное условие (5.30) с учетом (5.35) позволяет записать с,(г) ь— е с(ак()/ „= г(л,()!,,= 0 при 1) О. (5,36) Уравнение в частных производных (5.33) при условиях (5.34) и (5.36) будем решать по методу Фурье путем разделения переменных. Для этого неизвестная функция двух переменных с(х,1) 246 Гя.
5. Унравление диффузионными и кинеаинескими процессами представляется в виде произведения двух искомых функций Х и Т, зависящих соответственно только от л и 1: с(зь 1) = Х(зс) Т(1). (5,37) Подстановка (5.37) в уравнение (5.33) с последующим делением на Х(х) Т(1) дает Хо(х) 1 Т'(1) 2 Х(х) Р Т(1) где производные обозначены штрихами, Уравнение (5.38) приведено к форме с разделением переменных, поскольку его левая часть зависит только от т, а правая— только от 1. Функции разных переменных могут быть равными друг другу, лишь будучи константой, обозначенной — Л2 и называемой константой разделения, которая подлежит определению. Из уравнения (5.38) следуют два обыкновенных уравнения: ФХ т (')+л2х(,) =о, (т2 Общее решение этих уравнений может быть записано в следующем виде: Х(х) = А'ып Лх+ В'сов Лх, Т(1) = С'ех1т( — Л Р1). (5,39) (5АО) Л„= (2п+ 1) —, 1* п= 0,1,2, При этом отбрасываются значения Л„= 2пх,11, дающие решения, антисимметричные относительно середины пластины, как физи- чески нереализуемые при одновременном обезгаживании пласти- ны с двух сторон.
Граничное условие (5.36) при х = 0 требует Х(0) = О, что после подстановки в равенство (5.39) дает В' = О. Другое граничное условие (5.36) при х = 1, записанное в виде Х(1) = О, удовлетворяется при вш Л1 = О. Отсюда получаем допустимые значения константы разделения: 5.5. Диффузионные зада«и на удаление веи(ветви 247 с(х, е) = — ~) зш [(2п + 1) — ~ х 4со 1 зги' и 2п+1 п=о згз 2 *р( — ((2 .~- 1) — 1 е~).
(5.43) Скорость удельного газовыделения, измеряемая количеством газа, выделяющегося из толщи материала через единицу площади в единицу времени, определяется выражением (см, рис. 5.5) з(~) =В, ' = +2 р( — 1(2 .р1)-) п~). (зрр) и — О Пространственное распределение концентрации растворенного газа, построенное по формуле (5.43), показано на рис. 5.6 для пяти моментов времени.
Среди этих кривых выделены жирными Подстановка полученных результатов в (5.39) и (5.40) позволяет записать общее решение путем суммирования слагаемых сп(х,1) типа (5,37); с(х, й) = ~) А„з1пЛ х ехр( — Л~2РЕ) = п=о — = 2 и.' ((Р Р 1) —,) . р(-((Р Р О-,) иш). (зри п=о Неизвестная амплитудная постоянная Ап эа А(„С(, находится из начального условия (5.34), записанного с помощью (5.41) при ~=0 в виде (О при х<0 и х)1, АпзшЛ„х = п=-.о ( со при 0 < х < 1. Иными словами, амплитуды Ап являются фурье-коэффициентами для разложения по синусам прямоугольного пространственного импульса, изображенного на рис. 5,5б. Отсюда 2 (, 4со Ап = — ~со з1пЛ„хе(х = Лп( (5.42) о Подстановка фурье-коэффициентов (5.42) в выражение (5.41) дает искомое нестационарное распределение концентрации в форме ряда 248 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
