ОДУ - 1 (1086549), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть матричная функция Y (t) является решением матричного уравнения (4.4). Тогда:1. для любого вектора констант c = (c1 , c2 , . . . , cn )> , cj ∈ C, векторфункция y(t) = Y (t)c удовлетворяет системе (4.2);2. для любой матрицы констант B = bi,j , bi,j ∈ C, i, j = 1, . . . , n,матричная функция X(t) = Y (t)B удовлетворяет уравнению(4.4).Доказательство. 1. Если матричная функцияY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t))является решением уравнения (4.4), то по теореме 4.1.1 вектор-столбцыy j (t) являются решениями системы (4.2), также как и их линейная комбинацияnXy(t) = Y (t)c =cj y j (t).j=12.
В силу линейности операции дифференцирования и ассоциативностиоперации произведения матриц, имеем:dX(t)ddY (t)={Y (t)B} =·B =dtdtdt= {A(t)Y (t)} B = A(t) {Y (t)B} = A(t)X(t).4.2. Линейная зависимость и определитель Вронского934.2. Линейная зависимость вектор-функций иопределитель Вронского4.2.1. Линейная зависимость произвольных вектор-функцийВ этом параграфе рассматриваются произвольные комплекснозначные вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), .
. . , y m (t), определенные на отрезке[a, b], то есть y j (t) = (yj1 (t), . . . , yjm (t))> , j = 1, . . . , m, m ∈ N. Никакая связь с решениями дифференциальных уравнений и даже непрерывность этих функций пока не предполагаются.Определение 4.2.1. Вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t) называются линейно зависимыми на отрезке [a, b], если найдутся комплексmPные константы c1 , c2 , . .
. , cm ,|cj | > 0 такие, чтоj=1c1 y 1 (t) + c2 y 2 (t) + · · · + cm y m (t) = θ,∀t ∈ [a, b].(4.5)Если же равенство (4.5) выполнено только для тривиального вектора констант, c = (0, . . . , 0)> , то вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t)называются линейно независимыми на отрезке [a, b].Эквивалентная (4.5) векторная форма записи условия линейной зависимости состоит в том, что для матричной функции Y (t) порядкаm × m выполнено равенствоY (t)c = θ,∀t ∈ [a, b](4.6)хотя бы для одного ненулевого вектора констант c = (c1 , . .
. , cm )> .Замечание 4.2.1. Если рассматриваемые вектор-функции принимают только вещественные значения, то в определениях линейнойзависимости и независимости достаточно рассматривать лишь действительные коэффициенты cj , j = 1, . . . , m.Определение 4.2.2. Определителем Вронского системы заданныхна отрезке [a, b] вектор функций y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t) называется зависящий от переменной t ∈ [a, b] определитель матричной функцииY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . .
, y m (t)):∆(t) = det Y (t).94Глава 4. Общая теория линейных системНеобходимое условие линейной зависимости вектор-функций устанавливает следующая теорема.Теорема 4.2.1. Если система вектор функций y 1 (t), y 2 (t), . . . y m (t)является линейно зависимой на отрезке [a, b], то определитель Вронского этой системы тождественно равен нулю на этом отрезке:∆(t) = 0,∀t ∈ [a, b].Доказательство. Из условия линейной зависимости (4.6) вытекает существование такого ненулевого вектора c = (c1 , . . . , cm )> , что для произвольного фиксированного t0 ∈ [a, b] справедливо равенствоY (t0 )c = θ.(4.7)Равенство (4.7) означает, что однородная система линейных алгебраических уравнений с числовой матрицей Y (t0 ) имеет нетривиальное решение c. По известной теореме алгебры это возможно только для вырожденной матрицы, то есть det Y (t0 ) = 0.Отметим, что к утверждению теоремы нетрудно было бы прийти ина основе определения (4.5), которое означает линейную зависимостьстолбцов матрицы Y (t) для любого t ∈ [a, b].Без дополнительных предположений относительно вектор-функцийравенство нулю определителя Вронского является, вообще говоря, только лишь необходимым условием линейной зависимости.
Из равенстванулю определителя Вронского системы вектор-функций не вытекает ихлинейная зависимость.Пример 4.2.1. Для m = 2 рассмотрим на отрезке [−1, 1] двевектор-функции, имеющие нулевой определитель Вронского: 32 3tt |t|ty 1 (t) = 2 , y 2 (t) =, Y (t) = 2tt|t|tt2 |t|, ∆(t) = det Y (t) ≡ 0.t|t|Эти вектор-функции являются линейно независимыми на рассматриваемом отрезке. Действительно, если для некоторого вектора c =(c1 , c2 )> справедливо равенство Y (t)c = θ в каждой точке отрезка[−1, 1], то при t = 1 должно выполняться равенство c1 + c2 = 0, апри t = −1 – равенство c1 − c2 = 0, откуда c1 = c2 = 0.4.2. Линейная зависимость и определитель Вронского954.2.2.
Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы дифференциальных уравненийРассмотрим систему из n-мерных вектор-функций y 1 (t), y 2 (t), . . .y n (t), являющихся решением линейной однородной системы дифференциальных уравнений (4.2), Y (t) – соответствующая матричная функция из (4.3). Подчеркнем, что количество вектор-функций совпадаетс порядком системы. Исследуем вопрос о связи свойства линейной зависимости решений линейной однородной системы дифференциальныхуравнений и значения определителя Вронского.Теорема 4.2.2.
Пусть y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) – система вектор-функций решений линейной однородной системы (4.2) на отрезке [a, b]. Еслинайдется точка t0 ∈ [a, b], для которойdet Y (t0 ) = 0,то система вектор-функций y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) линейно зависима наотрезке [a, b] иdet Y (t) = 0, ∀t ∈ [a, b].Доказательство. Однородная система линейных алгебраических уравнений относительно вектора c = (c1 , . . . , cn )>Y (t0 )c = θ(4.8)имеет ненулевое решение c = (c01 , .
. . , c0n )> в силу вырожденности числовой матрицы Y (t0 ), имеющей нулевой определитель.Положим y(t) = Y (t)c0 . Ясно, что y(t) – решение однородной системы (4.2) в силу первой части теоремы 4.1.2 и, кроме того, y(t0 ) = θв силу (4.8). Таким образом, построенная функция является решениемзадачи Коши с нулевым начальным условием при t = t0 :0dy(t)= A(t)y(t), y(t0 ) = θ.dtЭта задача Коши по теореме существования и единственности 2.1.2 имеет на рассматриваемом отрезке только одно решение – нулевое. Поэтомуθ = y(t) = Y (t)c0 = c01 y 1 (t) + c02 y 2 (t) + · · · + c0n y n (t),∀t ∈ [a, b],и рассматриваемая система вектор-функций является линейно зависимой на отрезке [a, b]. Тогда в силу теоремы 4.2.1 имеем det Y (t) = 0,∀t ∈ [a, b].96Глава 4.
Общая теория линейных системИз теорем 4.2.1 и 4.2.2 вытекает следующая теорема об альтернативедля определителя Вронского системы вектор-функций решений линейной однородной системы.Теорема 4.2.3. Определитель Вронского для вектор-функций y 1 (t),y 2 (t), .
. . , y n (t), являющихся решениями линейной однородной системы дифференциальных уравнений (4.2) на отрезке [a, b], либо тождественно равен нулю, det Y (t) ≡ 0 (и система вектор-функций линейнозависима), либо не обращается в ноль ни в одной точке, det Y (t) 6= 0,∀t ∈ [a, b] (и система вектор-функций линейно независима).Замечаниефункций4.2.2. Согласно теореме 4.2.3, система вектор 3ty 1 (t) = 2 ,ty 2 (t) =t2 |t|t|t|из примера 4.2.1 не может являться решением никакой однороднойсистемы линейных дифференциальных уравнений второго порядка снепрерывными на отрезке [−1, 1] коэффициентами.4.3.
Фундаментальная система решений иобщее решение линейной системы4.3.1. Фундаментальная система решений линейнойоднородной системыОпределение 4.3.1. Фундаментальной системой решенийdy(t)линейной однородной системы дифференциальных уравнений=dtA(t)y(t) порядка n на отрезке [a, b] называется совокупность n линейно независимых решений y 1 (t), y 2 (t), . .
. , y n (t) этой системы. Соответствующая этим решениям функциональная матрицаY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t))называется фундаментальной матрицей.В силу теоремы (4.1.2) фундаментальная матрица является решением матричного дифференциального уравнения (4.4), а в силу теоремы (4.2.3) она имеет на отрезке [a, b] отличный от нуля определитель,det Y (t) 6= 0.4.3.
Фундаментальная система решений и общее решение системы97Теорема 4.3.1. Для любой однородной системы линейных дифференциальных уравнений вида (4.2) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами существует фундаментальная система решений.Доказательство. Зафиксируем любое t0 ∈ [a, b] и рассмотрим задачуКоши для матричного дифференциального уравненияdY (t)= A(t)Y (t),dtY (t0 ) = E,(4.9)где E – единичная матрица. Расписывая матричные равенства по столбцам, заключаем, что задача (4.9) эквивалентна совокупности из n задачКошиdy j (t)= A(t)y j (t),dty j (t0 ) = (0, . . . , 0, |{z}1 , 0, . .
. , 0)> ,j = 1, . . . , n,jотличающихся лишь начальными данными. Существование на всем отрезке [a, b] решений y j (t) этих задач Коши, а значит и решения Y (t)матричной задачи (4.9), вытекает из теоремы 2.1.2. Поскольку определитель матричной функции Y (t) в силу (4.9) равен 1, det Y (t0 ) =det E = 1, то линейная независимость на рассматриваемом отрезке построенной системы решений y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) есть следствие теоремы 4.2.3 об альтернативе для определителя Вронского. Таким образом,y 1 (t), y 2 (t), . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
