ОДУ - 1 (1086549), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . , ecn представляют собой решение системы (3.23), то функцияyb(t) такова, чтоyb(k) (t0 ) = ye(k) (t0 ),k = 0, 1, . . . , n − 1.Следовательно, функции yb(t) и ye(t) являются решениями уравнения(3.19) и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям в точке t0 .По теореме о существовании и единственности решения задачи Кошиэти функции должны совпадать:ye(t) = yb(t) =nXk=1Теорема 3.4.2 доказана.eck yk (t).74Глава 3.
Общая теория линейных дифференциальных уравненийСледствие 3.4.1. Из теоремы 3.4.2 следует, что уравнение (3.19)не может иметь более n линейно независимых решений.Покажем, что справедливость этого утверждения существенно связана с тем, что мы предположили, что коэффициент a0 (t) всюду отличенот нуля на отрезке [a, b].Пример 3.4.1. На отрезке [−1, 3] рассмотрим три функцииy1 (t) = t,y2 (t) = t3 ,y3 (t) = |t|3 .Эти функции линейно независимы на рассматриваемом отрезке и удовлетворяют линейному однородному уравнению второго порядкаt2 y 00 − 3ty 0 + 3y = 0,t ∈ [−1, 3],с коэффициентом a0 (t) = t2 , который обращается в ноль при t = 0 ∈[−1, 3]Таким образом, без предположения a0 (t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b] теорема 3.4.2неверна.Замечание 3.4.3.
Так как все коэффициенты уравнения (3.19) вещественны, то и общее решение естественно искать в классе вещественных функций. Тогда при выборе вещественной фундаментальнойсистемы решений (см. замечание к теореме 3.4.1 ) формула (3.22) дляпроизвольных cj ∈ R дает общее вещественнозначное решение линейного однородного уравнения.3.4.3. Общее решение линейного неоднородного уравненияРассмотрим линейное неоднородное уравнение с непрерывными наотрезке [a, b] действительными коэффициентамиaj (t),j = 0, . . . , n,a0 (t) 6= 0,t ∈ [a, b]и непрерывной на [a, b] правой частью f (t):a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = f (t).
(3.24)Перейдем к описанию общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.24). Определение общего решения этого уравнения аналогично определению общего решения однородного уравнения.3.4. Фундаментальная система решений и общее решение75Определение 3.4.3. Общим решением линейного неоднородногодифференциального уравнения n-го порядка (3.24) называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого уравнения такое,что любое другое решение уравнения (3.24) может быть получено изнего в результате выбора некоторых значений этих постоянных.Теорема 3.4.3. Пусть y1 (t), y2 (t), .
. . , yn (t) – фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (3.19) на отрезке[a, b], yH (t) – некоторое (частное) решение неоднородного уравнения(3.24). Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения (3.24)на рассматриваемом отрезке имеет видyOH (t) = yH (t) + yOO (t) == yH (t) + c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + · · · + cn yn (t), (3.25)где c1 , c2 , . . . , cn – произвольные комплексные постоянные.Доказательство. Для любого набора констант cj ∈ C формула (3.25)определяет решение линейного неоднородного уравнения (3.24) в силулинейности уравнения. Согласно определению общего решения осталосьпоказать, что выбором констант в формуле (3.25) можно получить любое наперед заданное решение (3.24), то есть для любого решения ye(t)неоднородного уравнения (3.24) найдутся константы ec1 , ec2 , .
. . , ecn такие,что на отрезке [a, b] будет выполнено равенствоye(t) = yH (t) + ec1 y1 (t) + ec2 y2 (t) + · · · + ecn yn (t).(3.26)Пусть ye(t) – решение неоднородного уравнения (3.24). Разностьy(t) = ye(t) − yH (t) двух решений линейного неоднородного уравнения (3.24) является решением однородного уравнения (3.19). По теореме 3.4.2 об общем решении линейного однородного уравнения найдутсякомплексные константы ecj такие, что на рассматриваемом отрезке выполнено равенство y(t) = ec1 y1 (t) + ec2 y2 (t) + · · · + ecn yn (t), а вместе с ними искомое равенство (3.26).3.4.4.
Метод вариации постоянныхИз теоремы 3.4.3 следует, что для построения общего решения неоднородного дифференциального уравнения (3.24) достаточно знать фундаментальную систему решений однородного уравнения(3.19) и какое-76Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравненийнибудь решение неоднородного уравнения (3.24). Рассмотрим метод построения решения yH (t) неоднородного уравнения (3.24) в случае, когда известна фундаментальная система решений однородного уравнения (3.19).
В этом методе частное решение ищется в виде, повторяющем структуру (3.22) общего решения однородного уравнения, в котором константы c1 , c2 , . . . , cn заменены на пока произвольные непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b] функции c1 (t), c2 (t), . . . , cn (t), аименно:yH (t) = c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + · · · + cn (t)yn (t).(3.27)Пусть производные c0k (t) функций ck (t) из представления (3.27) определяются для каждого t ∈ [a, b] из системы линейных алгебраическихуравненийc01 (t)y1 (t) + c02 (t)y2 (t) + · · · + c0n (t)yn (t)(1)(1)(1)c01 (t)y1 (t) + c02 (t)y2 (t) + · · · + c0n (t)yn (t)==...(n−2)(n−2)(n−2)(t) =c01 (t)y1(t) + c02 (t)y2(t) + · · · + c0n (t)yn(n−1)c01 (t)y1(t)+(n−1)c02 (t)y2(t)+ ··· +(n−1)(t)c0n (t)yn=0,0,0,f (t).a0 (t)Так как функции yk (t) образуют фундаментальную систему решений,то определитель системы для неизвестных c0k (t) не равен нулю ни водной точке, и система имеет единственное решениеc0k (t) = gk (t),k = 1, 2, .
. . , n.Интегрируя, найдем функции ck (t) =Rtgk (τ )dτ .t0Выражения для производных частного решения из (3.27) принимаютвид0yH(t)00yH (t)= c1 (t)y10 (t) + c2 (t)y20 (t) + cn (t)yn0 (t),= c1 (t)y100 (t) + c2 (t)y200 (t) + cn (t)yn00 (t),...(n−1)(n−1)(n−1)yH(t) = c1 (t)y1(t) + c2 (t)y2(t) + cn (t)yn(n−1) (t),3.4. Фундаментальная система решений и общее решение(n)(n)(n)yH (t) = c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + cn (t)yn(n) (t) +nX77(n−1)c0k (t)yk(t) =k=1(n)(n)= c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + cn (t)yn(n) (t) +f (t).a0 (t)Таким образом, в методе вариации постоянных вычисление производных искомого частного решения (3.27) до порядка (n −1) включительнопроисходит так, как будто бы функции cj (t) не зависят от t и являютсяконстантами.Подставив функцию yH (t) в левую часть уравнения (3.24), имеемnLyH (t) = a0 (t)·nXXf (t)(n)(n−1)+a0 (t)ck (t)yk (t)+a1 (t)ck (t)yk(t)+.
. .a0 (t)k=1· · · + an−1 (t)k=1nXck (t)yk0 (t) + an (t)nXck (t)yk (t).k=1k=1Произведя перегруппировку слагаемых и приняв во внимание определение (3.16) оператора L, получимLyH (t) = f (t) +nXck (t)Lyk (t) = f (t) + 0 = f (t),t ∈ [a, b],k=1поскольку функции yk (t), k = 1, 2, . . . , n являются решениями однородного уравнения (3.19), Lyk (t) = 0. Итак, мы убедились, что построеннаяфункцияyH (t) = c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + · · · + cn (t)yn (t) =nXZtyk (t)k=1gk (τ )dτt0является решением неоднородного уравнения (3.24).3.4.5.
Построение фундаментальной системы решений для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентамиРассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка c вещественными постоянными коэффициентами aj ∈ R, j = 0, . . . , n, a0 =6 0:a0 y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + · · · + an−1 y 0 (t) + an y(t) = 0.(3.28)78Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравненийЭто уравнение можно записать в операторном виде Ly = 0, где дифференциальный оператор L с постоянными коэффициентамиLy = a0 y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + · · · + an−1 y 0 (t) + an y(t).Сопоставим дифференциальному оператору L многочленM (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an .(3.29)Многочлен M (λ) называется характеристическим многочленом, ауравнениеM (λ) = 0(3.30)называется характеристическим уравнением.Очевидно, что функция exp{λ0 t} является решением дифференциального уравнения (3.28) тогда и только тогда, когда λ0 является корнем характеристического уравнения (3.30).
Обозначим через λ1 , . . . , λ`попарно различные корни характеристического многочлена, M (λj ) = 0,а через k1 , . . . , k` обозначим кратности этих корней, k1 + · · · + k` = n.Таким образом, справедливо равенствоM (λ) = a0 (λ − λ1 )k1 (λ − λ2 )k2 . . . (λ − λ` )k` .(3.31)Лемма 3.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
