ОДУ - 1 (1086549)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В.ЛОМОНОСОВАФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ИКИБЕРНЕТИКИА.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИНОБЫКНОВЕННЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯЧасть 1МОСКВА — 2009 г.Пособие отражает содержание первой части лекционного курса"Обыкновенные дифференциальные уравнения", читаемого студентамфакультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в соответствии с программой по специальности "Прикладная математика и информатика" .c Факультет вычислительной математикии кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2009 г.c А.М. Денисов, А.В. Разгулин, 2009 г.Оглавление3Оглавление1 Основные понятия1.1 Понятия о дифференциальных уравнениях .
. . . . . . .1.2 Некоторые математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями . . . . . .1.2.1 Движение материальной точки . . . . . . . . . . .1.2.2 Модели динамики популяций . . . . . . . . . . . .1.3 Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной .
. . . . .1.4 Дифференциальные уравнения в симметричном виде и вполных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Уравнение в симметричном виде . . . . . . . . . .1.4.2 Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . .1.4.3 Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . .2 Задача Коши2.1 Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной .
. . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Редукция к интегральному уравнению . . . . . . .2.1.2 Лемма Гронуолла-Беллмана . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Условие Липшица . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4 Теорема единственности решения задачи Коши .2.1.5 Локальная теорема существования решениязадачи Коши . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Примеры постановки задачи Коши . . . . . . . . .2.2.2 Теорема существования и единственности решениязадачи Коши . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . ..77. 10. 10. 12. 13....1517192225.....2525272930. 31. 36. 36. 394Оглавление2.2.32.2.42.32.4Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . .Особые решения дифференциального уравненияпервого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Задача Коши для нормальной системы обыкновенныхдифференциальных уравнений и уравнения n-го порядкана всем отрезке .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1 Постановка задачи Коши для нормальной системы2.3.2 Теорема единственности решения задачи Кошидля нормальной системы . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 Теорема существования решения задача Коши длянормальной системы на всем отрезке . . . . .
. . . .2.3.4 Задача Коши для дифференциального уравненияn-го порядка на всем отрезке . . . . . . . . . . . . .2.3.5 Задача Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка .2.3.6 Задача Коши для линейного обыкновенногодифференциального уравнения n-го порядка . . . .Задача Коши для нормальной системы (локальная теорема)3 Общая теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений3.1 Комплекснозначные решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка и системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений . . . .
. . . . . .3.2 Общие свойства линейного дифференциального уравнения n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Линейная зависимость произвольных скалярныхфункций . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Линейная зависимость и независимость решенийлинейного однородного дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Фундаментальная система решений и общее решение линейного дифференциального уравнения . . . . . . . . . . .3.4.1 Фундаментальная система решений линейногооднородного уравнения . . . .
. . . . . . . . . . . . .3.4.2 Общее решение линейного однородного уравнения .3.4.3 Общее решение линейного неоднородного уравнения4142454546485254555561616567676971717274Оглавление3.4.43.4.53.5Метод вариации постоянных . . . . . . . . . . . . .Построение фундаментальной системы решенийдля линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами . .
. . . . . . . . . . . . . .3.4.6 Построение вещественной фундаментальной системы решений для линейного однородного уравненияс постоянными коэффициентами . . . . . . . . . .Построение линейного дифференциального уравнения nго порядка по его решениям . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.1 Построение линейного дифференциального уравнения по его решениям .
. . . . . . . . . . . . . . .3.5.2 Формула Остроградского-Лиувилля . . . . . . . .5. 75. 77. 81. 83. 83. 874 Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений894.1 Линейные системы дифференциальных уравнений и матричные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . 894.1.1 Линейные однородные системы . . . . . . . . . . . .
894.1.2 Однородные матричные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2 Линейная зависимость вектор-функций и определительВронского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.1 Линейная зависимость произвольных векторфункций . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.2 Линейная зависимость и независимость решенийлинейной однородной системы дифференциальныхуравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3 Фундаментальная система решений и общее решение линейной системы . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.1 Фундаментальная система решений линейнойоднородной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.2 Общее решение линейной однородной системы . . . 974.3.3 Общее решение линейной неоднородной системы,метод вариации постоянных . . . . . . . .
. . . . . . 994.4 Построение фундаментальной системы решений для линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.1 Построение фундаментальной системы решений,когда существует базис из собственных векторов . . 1026Оглавление4.4.24.4.3Построение фундаментальной системы решений,когда не существует базиса из собственных векторов103Построение фундаментальной системы решенийв вещественном виде . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 106A Неявные функции и функциональные матрицы108A.1 Теорема о неявных функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.2 Зависимость функций и функциональные матрицы . . . . 109B Общая теория линейных дифференциальных уравненийс точки зрения систем линейных дифференциальныхуравнений112B.1 Связь линейной зависимости скалярных функций ивектор-функций . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.2 Линейная зависимость решений линейного однородногодифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . 114B.3 Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного дифференциального уравнения . . . 116B.4 Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, метод вариации постоянных . . . . . . 117B.5 Построение фундаментальной системы решений для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Литература1221.1. Понятия о дифференциальных уравнениях7Глава 1Основные понятия1.1. Понятия о дифференциальных уравненияхДифференциальным уравнением называется уравнение, содержащеепроизводные неизвестной функции. Приведем некоторые примеры.Пример 1.1.1. Найти функцию y(t) такую, чтоy 000 (t) + (y 0 (t))2 − et y(t) = 1 + t,a 6 t 6 b.Пример 1.1.2.
Найти функцию u(t, x) такую, чтоutt (t, x) + ut (t, x) = (t2 + x)u(t, x),a 6 t 6 b,c 6 x 6 d.Пример 1.1.3. Найти функцию u(t, x) такую, чтоut (t, x) − uxx (t, x) + u(t, x) = 0,a 6 t 6 b,c 6 x 6 d.Уравнение, содержащее производные неизвестной функции толькопо одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.Уравнение, содержащее производные неизвестной функции по нескольким независимым переменным, называется дифференциальнымуравнением в частных производных.Уравнения, приведенные в примерах 1.1.1 и 1.1.2, являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнение из примера1.1.3 – дифференциальным уравнением в частных производных.Порядком дифференциального уравнения называется наибольшийпорядок входящих в него производных.Данный курс посвящен, в основном, обыкновенным дифференциальным уравнениям.Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядкаотносительно неизвестной функции y(t) называется уравнениеF (t, y(t), y 0 (t)) = 0,t ∈ [a, b],8Глава 1.
Основные понятиягде F (t, y, p) – заданная функция трех переменных.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка относительно неизвестной функции y(t) называется уравнениеF (t, y(t), y 0 (t), . . . , y (n) (t)) = 0,t ∈ [a, b],где F (t, y, p1 , . . . , pn ) – заданная функция n + 2 переменных.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной, называется уравнениеy (n) (t) = F (t, y(t), y 0 (t), . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
