ОДУ - 1 (1086549), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . , n.m=0Из (2.58) следует, что на отрезке [t0 − h, t0 + h] справедливы оценки|yim+1 (t) − yim (t)| 6 A(nL)mhm,m!m = 0, 1, . . .60Глава 2. Задача КошиУчитывая эти оценки, получим, что функциональные ряды сходятсяравномерно на отрезке [t0 − h, t0 + h]. Следовательно, последовательности непрерывных функцийyik (t) = yi0 (t) +k−1X(yim+1 (t) − yim (t)),i = 1, 2, . .
. , nm=0сходятся равномерно на отрезке [t0 −h, t0 +h] к непрерывным функциямȳi (t). Переходя к пределу при k → ∞ в неравенствах (2.57), получим,что функции ȳi (t) удовлетворяют неравенствам (2.55).Переходя к пределу при в формулах (2.56), получим, что функцииȳi (t) являются решением системы интегральных уравнений (2.54), а значит и задачи (2.51), (2.52).
Теорема доказана.3.1. Комплекснозначные решения уравнения и системы61Глава 3Общая теория линейныхобыкновенных дифференциальныхуравнений3.1. Комплекснозначные решения линейногодифференциального уравнения n-го порядкаи системы линейных обыкновенныхдифференциальных уравненийКомплекснозначной функцией действительного аргумента t ∈ [a, b]называется функция y(t) такая, что y(t) = u(t) + iv(t), где u(t) и v(t) –действительные функции.
Комплекснозначная функция y(t) непрерывна на [a, b], если u(t) и v(t) непрерывны на [a, b]. Комплекснозначнаяфункция y(t) дифференцируема на [a, b], если u(t) и v(t) дифференцируемы на [a, b], при этом y 0 (t) = u0 (t) + iv 0 (t). Аналогично определяютсяпроизводные более высокого порядка функции y(t).Комплекснозначные решения линейных дифференциальных уравнений с действительными коэффициентами возникают также как комплексные числа при решении алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.Пример 3.1.1. Требуется найти решение дифференциального уравненияy 00 (t) + 2y 0 (t) + 5y(t) = 0.(3.1)Ищем решение этого уравнения в виде y(t) = eλt , где λ – неизвестная постоянная. Подставляя это представление в уравнение (3.1) исокращая на eλt , получим λ2 + 2λ + 5 = 0.
Это уравнение имеет двакомплексно сопряженных корня λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i. Как известно, если комплексное число z = x + iy, то ez = ex cos y + iex sin y.Следовательно, уравнение (3.1) имеет два комплекснозначных решенияy1 (t) = e−t cos 2t + ie−t sin 2t,y2 (t) = e−t cos 2t − ie−t sin 2t.(3.2)62Глава 3. Общая теория линейных уравненийПерейдем к определению комплекснозначного решения линейногодифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим на отрезке[a, b] уравнениеa0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = f (t) (3.3)с действительными коэффициентами ak (t) и комплекснозначной функцией f (t) = g(t) + ih(t), где g(t), h(t) – действительные функции,a0 (t) 6= 0 на [a, b].Определение 3.1.1.
Комплекснозначная функция y(t) = u(t) + iv(t)называется решением уравнения (3.3) на отрезке [a, b], если функцииu(t) и v(t) n раз непрерывно дифференцируемы на [a, b] и удовлетворяют на [a, b] уравнениямa0 (t)u(n) (t) + a1 (t)u(n−1) (t) + · · · + an−1 (t)u0 (t) + an (t)u(t) = g(t), (3.4)a0 (t)v (n) (t) + a1 (t)v (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)v 0 (t) + an (t)v(t) = h(t). (3.5)Рассмотрим задачу Коши для комплекснозначных решений уравнения (3.3). Требуется определить решение уравнения (3.3) такое, чтоy (m) (t0 ) = y0m ,m = 0, 1, .
. . , n − 1,(3.6)где y0m – заданные комплексные числа y0m = u0m + iv0m , u0m , v0m ∈ R,а t0 – некоторая фиксированная точка отрезка [a, b].Докажем теорему существования и единственности решения задачиКоши (3.3), (3.6).Теорема 3.1.1. Пусть функции ak (t), k = 0, 1, . . . , n, g(t) и h(t)непрерывны на отрезке [a, b], a0 (t) 6= 0, t ∈ [a, b].Тогда существует единственная функция y(t), являющаяся решением задачи Коши (3.3), (3.6) на отрезке [a, b].Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (3.4) с начальными условиямиu(m) (t0 ) = u0m ,m = 0, 1, . .
. , n − 1.(3.7)По теореме 2.3.5 из параграфа 2.3.6 задача Коши (3.4), (3.7) имеет единственное решение u(t). Аналогично задача Коши для уравнения (3.5) сначальными условиямиv (m) (t0 ) = v0m ,m = 0, 1, 2, . . . , n − 1(3.8)3.1. Комплекснозначные решения уравнения и системы63имеет единственное решение v(t). Тогда комплекснозначная функцияy(t) = u(t) + iv(t) является решением задачи Коши (3.3), (3.6) на отрезке [a, b]. Единственность решения задачи Коши (3.3), (3.6) следует изединственности решения задач Коши (3.4), (3.7) и (3.5), (3.8).
Теорема3.1.1 доказана.Следствие 3.1.1. Если функция f (t) в уравнении (3.3) действительна ( то есть h(t) = 0) и начальные данные в (3.6) действительны(то есть v0m = 0, m = 0, 1, . . . , n − 1), то задача Коши (3.3), (3.6) имеет только действительное решение.Определим комплекснозначное решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.
Рассмотрим на отрезке [a, b] систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка 0y (t) = a11 (t)y1 (t) + a12 (t)y2 (t) + · · · + a1n (t)yn (t) + f1 (t), 10y2 (t) = a21 (t)y1 (t) + a22 (t)y2 (t) + · · · + a2n (t)yn (t) + f2 (t),(3.9)... 0yn (t) = an1 (t)y1 (t) + an2 (t)y2 (t) + · · · + ann (t)yn (t) + fn (t),где функции akj (t) – действительны, а fk (t) = gk (t) + ihk (t) – комплекснозначны, k, j = 1, 2, .
. . , n.Определение 3.1.2. Комплекснозначная вектор функцияy(t) = (u1 (t) + iv1 (t), u2 (t) + iv2 (t), . . . , un (t) + ivn (t))>называется решением системы (3.9), если uk (t), vk (t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], k = 1, 2, . . . , n, и 0u (t) = a11 (t)u1 (t) + a12 (t)u2 (t) + · · · + a1n (t)un (t) + g1 (t), 10u2 (t) = a21 (t)u1 (t) + a22 (t)u2 (t) + · · · + a2n (t)un (t) + g2 (t),(3.10)... 0un (t) = an1 (t)u1 (t) + an2 (t)u2 (t) + · · · + ann (t)un (t) + gn (t), 0v (t) = a11 (t)v1 (t) + a12 (t)v2 (t) + · · · + a1n (t)vn (t) + h1 (t), 10v2 (t) = a21 (t)v1 (t) + a22 (t)v2 (t) + · · · + a2n (t)vn (t) + h2 (t),(3.11)... 0vn (t) = an1 (t)v1 (t) + an2 (t)v2 (t) + · · · + ann (t)vn (t) + hn (t)для t ∈ [a, b].64Глава 3.
Общая теория линейных дифференциальных уравненийПусть задано начальное условиеyk (t0 ) = y0k = u0k + iv0k ,(3.12)где u0k , v0k – действительные числа, k = 1, 2, . . . , n.Докажем теорему существования и единственности решения задачиКоши (3.9), (3.12).Теорема 3.1.2. Пусть akj (t), gk (t), hk (t) непрерывны на отрезке[a, b], k, j = 1, 2, . . .
, n. Тогда существует единственная вектор функция ȳ(t), являющаяся решением задачи Коши (3.9), (3.12) на отрезке[a, b].Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для системы (3.10) с начальным условиемuk (t0 ) = u0k ,k = 1, 2, . . . , n.(3.13)По теореме 2.3.4 из параграфа 2.3.5 задача Коши (3.10), (3.13) имеетединственное решение (u1 (t), u2 (t), . .
. , un (t)).Аналогично задача Коши для системы (3.11) с начальными условиямиvk (t0 ) = v0k ,k = 1, 2, . . . , n.(3.14)имеет единственное решение (v1 (t), v2 (t), . . . , vn (t)). Тогда комплекснозначная вектор функцияȳ(t) = (u1 (t) + iv1 (t), u2 (t) + iv2 (t), . . . , un (t) + ivn (t))>будет решением задачи Коши (3.9), (3.12) на отрезке [a, b]. Единственность решения задачи Коши (3.9), (3.12) следует из единственности решений задач Коши (3.10), (3.13) и (3.11), (3.14). Теорема 3.1.2 доказана.Следствие 3.1.2. Если функции fk (t) в системе (3.9) действительны (то есть hk (t) = 0) и начальные данные в (3.12) действительны(то есть v0k = 0, k = 1, 2, .
. . , n), то задача Коши (3.9), (3.12) имееттолько действительное решение.3.2. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка653.2. Общие свойства линейного дифференциальногоуравнения n-го порядкаРассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядкаa0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = f (t) (3.15)с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентамиak (t), k = 0, 1, . . .
, n, a0 (t) 6= 0, t ∈ [a, b] и непрерывной на отрезке [a, b]комплекснозначной функцией f (t).Введем линейный дифференциальный оператор n-го порядка.Определение 3.2.1. Линейным дифференциальным оператором nго порядка называется операторLy = a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t). (3.16)Оператор L определен для всех n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций y(t), причем Ly(t) ∈ C[a, b].
Используяэто определение, уравнение (3.15) можно записать в видеLy = f (t),t ∈ [a, b].Если функция f (t) равна нулю на отрезке [a, b], то уравнение (3.15)называется однородным, а если функция f (t) не равна нулю на отрезке[a, b], то уравнение (3.15) называется неоднородным.Теорема 3.2.1. Если функции yk (t), k = 1, 2, . . . , m являются решеmPниями уравнений Lyk = fk (t), то функция y(t) =ck yk (t) , где ckk=1– комплексные постоянные, является решением уравнения Ly = f (t),mPгде f (t) =ck fk (t).k=1Доказательство. Доказательство этой теоремы следует из линейностиоператора L, которая является следствием линейности оператора дифференцирования:Ly = LmXk=1ck yk (t) =mXk=1ck Lyk =mXk=1ck fk (t) = f (t),t ∈ [a, b].66Глава 3.
Общая теория линейных дифференциальных уравненийСледствие 3.2.1. Линейная комбинация решений однородного уравнения является решением однородного уравнения. Разность двух решений неоднородного уравнения с одинаковой правой частью есть решение однородного уравнения.Теорема 3.2.2. Решение задачи КошиLy = f (t),y 0 (t0 ) = y01 ,y(t0 ) = y00 ,...,y (n−1) (t0 ) = y0n−1представимо в виде суммы y(t) = v(t) + w(t), где функция v(t) является решением задачи Коши для неоднородного уравнения с нулевыминачальными условиямиLv = f (t),v(t0 ) = 0,v 0 (t0 ) = 0,...,v (n−1) (t0 ) = 0,а функция w(t) является решением задачи Коши для однородного уравнения с ненулевыми начальными условиямиLw = 0,w0 (t0 ) = y01 ,w(t0 ) = y00 ,...,w(n−1) (t0 ) = y0n−1 .Доказательство.
Сумма y(t) = v(t) + w(t) удовлетворяет неоднородному уравнению в силу теоремы 3.2.1. Для начальных условий имеемравенстваy (k) (t0 ) = v (k) (t0 ) + w(k) (t0 ) = 0 + y0k = y0k ,k = 0, 1, . . . , n − 1.Теорема 3.2.3. Решение задачи Коши для однородного уравненияLy = 0,y(t0 ) = y00 ,y 0 (t0 ) = y01 ,...,y (n−1) (t0 ) = y0n−1представимо в виде суммыy(t) =n−1Xym (t)y0m ,m=0где функции ym (t) являются решениями задач Коши:Lym = 0,(m)ym(t0 ) = 1,(k)ym(t0 ) = 0,∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}\{m}.3.3. Линейная зависимость функций и определитель Вронского67Доказательство.
Функция y(t) является решением однородного уравнения как линейная комбинация решений ym (t) однородного уравненияс постоянными коэффициентами в силу теоремы 3.2.1. Осталось убедиться в выполнении начальных условий:y(k)(t0 ) =n−1X(m)(k)ym(t0 )y0(k)= yk (t0 )y0k = y0k ,k = 0, 1, . . . , n − 1.m=03.3. Линейная зависимость скалярных функций иопределитель Вронского3.3.1. Линейная зависимость произвольных скалярныхфункцийВ этом параграфе рассматриваются произвольные скалярные функцииϕ1 (t), ϕ2 (t), . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
