ОДУ - 1 (1086549), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Для любой n раз непрерывно дифференцируемойфункции g(t) и произвольного λ ∈ C справедливо равенствоnXM (m) (λ)g (m) (t)L exp{λt}g(t) = exp{λt}.m!m=0Доказательство. По формуле Лейбницаp X dp−m dmdp exp{λt}g(t)=Cnpexp{λt}g(t) =pp−mmdtdtdtm=0= exp{λt}pXp(p − 1) . . . (p − (m − 1)) p−m (m)λg (t) =m!m=0= exp{λt}pXdm p g (m) (t)λ.dλmm!m=03.4. Фундаментальная система решений и общее решение79Следовательно,n Xdp L exp{λt}g(t) =an−p p exp{λt}g(t) =dtp=0= exp{λt}nXp=0an−ppXdm p g (m) (t)λdλmm!m=0= exp{λt}nXan−pp=0nXdm p g (m) (t)λ,dλmm!m=0так как dm λp /dλm = 0, m = p + 1, .

. . , n. Меняя порядок суммирования,получаемnnXg (m) (t) dm XpL exp{λt}g(t) = exp{λt}aλ=n−pm! dλm p=0m=0= exp{λt}nXg (m) (t) (m)M (λ).m!m=0Лемма 3.4.2. Для каждого корня λj характеристического уравнения (3.30) кратности kj функцииexp{λj t},t exp{λj t},...,tkj −1 exp{λj t}являются решениями однородного уравнения (3.28).Доказательство.

Так как λj – корень уравнения (3.30) кратности kj ,то в силу (3.31) справедливо равенствоM (λ) = (λ − λj )kj R(λ),где R(λ) – многочлен степени n − kj . Ясно, что имеют место равенстваM (m) (λj ) =dm M (λ) = 0,dλm λ=λjm = 0, 1, . . . , kj − 1.80Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравненийПоэтому из леммы 3.4.1 для g(t) = tp , p = 0, 1, . . . , kj − 1 имеем(m)nXtppM (m) (λj ) =L exp{λj t}t = exp{λj t}m!m=0(m)nXtp= exp{λj t}M (m) (λj ) = 0 ( так как p < kj ).m!m=kjТаким образом, мы показали, что функцииexp{λj t},t exp{λj t},...,tkj −1 exp{λj t},j = 1, . . . , `.(3.32)являются решениями однородного дифференциального уравнения(3.28).

Количество этих функций совпадает с порядком n дифференциального уравнения (3.28).Теорема 3.4.4. Система функций (3.32) составляет фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (3.28) на любом отрезке [a, b].Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать,что система функций (3.32) является линейно независимой на любомотрезке [a, b]. Предположим, что нетривиальная линейная комбинацияфункций из системы (3.32) обращается тождественно в ноль на некотором отрезке:kX1 −1k=0C1,k tk exp{λ1 t} +kX2 −1k=0C2,k tk exp{λ2 t} + · · · +kX` −1C`,k tk exp{λ` t} ≡ 0,k=0илиP1 (t) exp{λ1 t} + P2 (t) exp{λ2 t} + · · · + P` (t) exp{λ` t} ≡ 0,(3.33)где степень многочлена sj = deg Pj (t) 6 kj − 1, j = 1, .

. . , `. Без ограничения общности можно считать, что многочлен P` (t) нетривиален,P` (t) = p` ts` + . . . , p` 6= 0. После умножения (3.33) на exp{−λ1 t} получаемP1 (t) + P2 (t) exp{(λ2 − λ1 )t} + · · · + P` (t) exp{(λ` − λ1 )t} ≡ 0.3.4. Фундаментальная система решений и общее решение81Дифференцируем в последнем равенстве почленно s1 + 1 раз. Так какds1 +1 P1 (t)deg P1 (t) = s1 , то≡ 0. Для преобразования остальных слаdts1 +1гаемых заметим, что(Pj (t) exp{µt})0 = (µPj (t) + Pj (t)0 ) exp{µt},µ = λj − λ1 6= 0,то есть при дифференцировании в множителе перед экспонентой остается многочлен той же степени.

Тогдаds1 +1(Pj (t) exp{(λj − λ1 )t}) = Qj (t) exp{(λj − λ1 )t},dts1 +1deg Qj (t) = sj , Qj (t) = (λj − λ1 )s1 +1 pj tsj + . . . .В результате приходим к равенствуQ2 (t) exp{(λ2 − λ1 )t} + · · · + Q` (t) exp{(λ` − λ1 )t} ≡ 0.После умножения на exp{(λ1 − λ2 )t} и почленного дифференцированияполученного равенства s2 + 1 раз имеемR3 (t) exp{(λ3 − λ2 )t} + · · · + R` (t) exp{(λ` − λ2 )t} ≡ 0,s2 +1Rj (t) = (λj − λ2 )s1 +1(λj − λ1 )pj tsj+ ...,deg Rj (t) = sj ,j = 3, . . . , `.Продолжая эту процедуру, на последнем этапе получаемS` (t) exp{(λ` − λ`−1 )t} ≡ 0,s`−1 +1S` (t) = (λ` − λ`−1 )deg S` (t) = s` ,. .

. (λ` − λ2 )s2 +1 (λ` − λ1 )s1 +1 p` ts` + . . . .Однако полученное равенство противоречит нетривиальности многочлена P` (t) со старшим коэффициентом p` 6= 0. Полученное противоречие обосновывает справедливость доказываемого утверждения о линейной независимости системы (3.32).3.4.6. Построение вещественной фундаментальной системырешений для линейного однородного уравнения спостоянными коэффициентамиТак как все коэффициенты уравнения (3.28) вещественны, то фундаментальную систему решений можно также конструктивно построить82Глава 3.

Общая теория линейных дифференциальных уравненийв вещественном виде. Характеристический многочлен в (3.29) имеет вещественные коэффициенты. Как следует из курса линейной алгебры,его комплекснозначные корни идут комплексно сопряженными парами:λ = α + iβ, λ∗ = α − iβ, α, β ∈ R. Тогда в построенной фундаментальнойсистеме решений (3.32) функции, отвечающие вещественным корнямхарактеристического многочлена Mn (Λ), являются вещественными, аотвечающие комплексным корням функции встречаются только комплексно сопряженными парами:y(t) = ts exp{αt}(cos βt + i sin βt),y ∗ (t) = ts exp{αt}(cos βt − i sin βt).Заменим каждую пару таких функций соответствующими действительными и мнимыми частями:yR (t) = Re y(t) = ts exp{αt} cos βt,yI (t) = Im y(t) = ts exp{αt} sin βt.(3.34)Функции yR (t), yI (t) являются решениями линейного однородного уравнения (3.28) как линейные комбинации решений этого уравнения.Построенная таким образом совокупность состоит из n вещественных решений линейного однородного уравнения (3.28) и задает его фундаментальную систему решений над полем вещественных чисел.

Дляобоснования этого факта осталось убедиться в линейной независимостинад полем вещественных чисел построенной системы на любом отрезке[a, b]. Предположим противное, то есть некоторая линейная комбинацияс вещественными коэффициентами rj ∈ R для построенных функцийобращается в ноль на некотором отрезке [a, b]. Не ограничивая общности можно считать, что в такой линейной комбинации встречаетсясумма вида· · · + r1 yR (t) + r2 yI (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Подставляя из (3.34) выражения для всех встречающихся пар черезсоответствующие комплексные функции, получаем равенство· · · + 0.5(r1 − ir2 )y(t) + 0.5(r1 + ir2 )y ∗ (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Таким образом, нетривиальная линейная комбинация c комплекснымикоэффициентами для функций из исходной фундаментальной системырешений (3.32) обратилась в ноль, что противоречит ее линейной независимости.3.5.

Построение линейного уравнения по его решениям83Пример 3.4.2. Составить линейное однородное дифференциальноеуравнение наименьшего порядка с постоянными вещественными коэффициентами, у которого решениями являются функцииy1 (t) = 1,y2 (t) = sin(2t).Для решения этой задачи представим функции в видеy1 (t) = exp{0 · t},y2 (t) = Im exp{2it}.Так как уравнение имеет вещественные коэффициенты, то и функция y3 (t) = Re exp{2it} также является его решением. Комплекснаяфундаментальная система решений состоит из функцийexp{0 · t},exp{2it},exp{−2it},порядок уравнения равен 3, корни его характеристического многочленасуть λ1 = 0, λ2 = 2i, λ3 = −2i.

По виду многочленаM (λ) = λ(λ − 2i)(λ + 2i) = λ3 + 4λвосстанавливаем само дифференциальное уравнениеy 000 + 4y 0 = 0.3.5. Построение линейного дифференциальногоуравнения n-го порядка по его решениям3.5.1. Построение линейного дифференциального уравненияпо его решениямВ этом параграфе мы сначала рассмотрим вопрос о построении линейного однородного дифференциального уравненияy (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = 0,(3.35)решением которого являются заданные функции.

При этом возникают два вопроса, а именно: существует ли линейное дифференциальноеуравнение, имеющее своими решениями заданные функции, и единственно ли такое уравнение. Начнем с исследования второго вопроса.Справедлива следующая теорема84Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравненийТеорема 3.5.1. Пусть коэффициенты am (t) непрерывны на отрезке [a, b], m = 1, 2, .

. . , n. Тогда линейное однородное дифференциальноеуравнение (3.35) однозначно определяется фундаментальной системойрешений.Доказательство. Пусть y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) – фундаментальная система решений уравнения (3.35). Предположим, что существует другоедифференциальное уравнение n-го порядка с непрерывными на [a, b] коэффициентами bm (t), m = 1, 2, . . . , n, для которого система y1 (t), y2 (t),. . . yn (t) также является фундаментальной. Покажем, что в этом случаеam (t) = bm (t), t ∈ [a, b], m = 1, 2, . . .

, n.Действительно, функции yk (t) являются решениями и того и другогоуравнения, то есть(n)(n−1)yk (t) + a1 (t)yk(n)yk (t)+(t) + · · · + an−1 (t)yk0 (t) + an (t)yk (t) = 0,(n−1)b1 (t)yk(t)+ ··· +bn−1 (t)yk0 (t)+ bn (t)yk (t) = 0,t ∈ [a, b],t ∈ [a, b],для k = 1, 2, . . . , n.

Вычитая для каждого k одно равенство из другогополучим, что(n−1)(a1 (t)−b1 (t))yk(t)+· · ·+(an−1 (t)−bn−1 (t))yk0 (t)+(an (t)−bn (t))yk (t) = 0,для t ∈ [a, b] и k = 1, 2, . . . , n. Предположим, что существует точка t0 ∈(a, b) такая, что a1 (t0 ) 6= b1 (t0 ). Тогда в силу непрерывности функцийa1 (t), b1 (t) существует такое ε > 0, чтоa1 (t) 6= b1 (t),t ∈ [t0 − ε, t0 + ε] ⊂ [a, b].Поделив на a1 (t) − b1 (t) и обозначив pm (t) =(n−1)yk(n−2)(t)+p2 (t)ykam (t) − bm (t), имеемa1 (t) − b1 (t)(t)+· · ·+pn−1 (t)yk0 (t)+pn (t)yk (t) = 0, t ∈ [t0 −ε, t0 +ε],для k = 1, 2, . . .

Характеристики

Список файлов книги