ОДУ - 1 (1086549), страница 17

Файл №1086549 ОДУ - 1 (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Обыкновенные дифференциальные уравнения) 17 страницаОДУ - 1 (1086549) страница 172019-05-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

. , pj , j = 1, . . . , s.Следовательно, y mj (t) – решения системы (4.23).Докажем, что система из n вектор-функций, состоящая из объединения построенных для всех λ ∈ {λ1 , . . . , λ` } решений вида (4.29), является линейно независимой на произвольном отрезке [a, b]. Рассмотрим отрезок [c, d], [a, b] ⊆ [c, d], 0 ∈ [c, d]. Вектор-функции из (4.29)106Глава 4. Общая теория линейных системявляются решениями системы (4.23) на отрезке [c, d]. В принадлежащей этому отрезку точке t = 0 определитель Вронского этой системыотличен от нуля, поскольку соответствующая матрица Y (0) составленаиз столбцов, являющихся собственными и присоединенными векторами матрицы A, совокупность которых линейно независима и образуетбазис в Cn . Согласно теореме 4.2.3 об альтернативе для определителяВронского, det Y (t) 6= 0 на всем отрезке [c, d], а значит и на его части[a, b].

Поэтому рассматриваемая система решений (4.23) является линейно независимой на [a, b] и, следовательно, составляет фундаментальнуюсистему решений на этом отрезке. Тем самым установлена справедливость следующей теоремы.Теорема 4.4.2. Система из n вектор-функций, состоящая из объединения построенных для всех различных собственных значений λ1 ,λ2 , . . .

λ` решений вида (4.29), является фундаментальной системойрешений (4.23) на произвольном отрезке [a, b].4.4.3. Построение фундаментальной системы решенийв вещественном видеВ предыдущем параграфе при построении фундаментальной системы решений мы фактически не использовали то, что матрица системывещественна.

При этом фундаментальная система решений конструктивно построена в комплексной форме. Однако общая теорема 4.3.1 изпараграфа 4.3.1 гарантирует существование фундаментальной системырешений в вещественном виде. Возникает вопрос, нельзя ли также конструктивно построить фундаментальную систему решений в вещественном виде? Ответ на этот вопрос положительный. Ниже даны пояснения.Напомним, что у вещественной матрицы характеристический многочлен имеет вещественные коэффициенты. Как следует из курса линейной алгебры, его комплекснозначные корни (собственные значенияматрицы системы) идут комплексно сопряженными парами: λ = p + iq,λ∗ = p − iq, M (λ) = 0, M (λ∗ ) = 0. Тогда в построенной в теореме4.4.2 фундаментальной системе решений вектор-функции, отвечающиевещественным собственным значениям, являются вещественными, а отвечающие комплексным собственным значениям функции встречаютсятолько комплексно сопряженными парами.

Заменим в фундаментальной системе решений каждую такую пару функцийy(t) = (y1 (t), . . . , yn (t))> ,y ∗ (t) = (y1∗ (t), . . . , yn∗ (t))>4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица107соответствующими действительными и мнимыми частями,y R (t) = Re y(t),y I (t) = Im y(t).Так какy R (t) = 0.5(y(t) + y ∗ (t)),y I (t) = 0.5i(y ∗ (t) − y(t)),(4.30)то y R (t), y I (t) – решения однородной системы как линейные комбинациирешений. Построенная таким образом совокупность вектор-функций состоит из n вещественных решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений и задает ее фундаментальную систему решений.Для обоснования этого факта осталось убедиться в линейной независимости над полем вещественных чисел построенной системы на любом отрезке [a, b].

Предположим противное, то есть некоторая линейнаякомбинация с вещественными коэффициентами rj ∈ R для построенныхфункций обращается в ноль на некотором отрезке [a, b]. Не ограничиваяобщности можно считать, что в такой линейной комбинации встречается сумма вида· · · + r1 y R (t) + r2 y I (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Подставляя из (4.30) выражения для всех встречающихся пар черезсоответствующие комплексные вектор-функции, получаем равенство· · · + 0.5(r1 − ir2 )y(t) + 0.5(r1 + ir2 )y ∗ (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Таким образом, нетривиальная линейная комбинация c комплекснымикоэффициентами для вектор-функций из исходной фундаментальнойсистемы решений обратилась в ноль, что противоречит ее линейнойнезависимости.108Приложение AПриложение AНеявные функции ифункциональные матрицыA.1.

Теорема о неявных функцияхРассмотрим систему из m функциональных уравнений относительноm + n аргументов (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) ∈ Rm+n : F1 (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) = 0,...(A.1)Fm (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) = 0.Нас интересует вопрос о разрешимости системы функциональных уравнений (A.1) относительно u1 , . .

. , um . Под решением системы (A.1) понимается совокупность определенных в некоторой области D ⊆ Rn функцийu1 = ϕ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , um = ϕm (x1 , . . . , xn )(A.2)таких, что при подстановке этих функций в систему (A.1) все уравненияэтой системы обращаются в тождества:Fi (u1 (x1 , . . . , xn ), . . . , um (x1 , . . . , xn ), x1 , .

. . , xn ) = 0,∀(x1 , . . . , xn ) ∈ D, i = 1, . . . , m.Якобианом функций F1 , . . . , Fm по переменнымется следующий функциональный определитель∂F1∂F1... ∂u1∂u2 ∂F∂F22D(F1 , . . . , Fm )...= det  ∂u1∂u2D(u1 , . . . , um )...... ... ∂Fm ∂Fm...∂u1∂u2u1 , . . . , um называ∂F1∂um∂F2∂um...∂Fm∂um,являющийся скалярной функцией аргументов (u1 , . . .

, um , x1 , . . . , xn ).Неявные функции и функциональные матрицы109Теорема A.1.1. Пусть m функцийF1 (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ),...,Fm (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn )дифференцируемы в некоторой окрестности точкиN0 = N0 (u01 , . . . , u0m , x01 , . . . , x0n ),частные производные ∂Fi /∂uj непрерывны в точке N0 , i, j = 1, . . . , m.Тогда, если выполнены условияFi (N0 ) = 0,i = 1, . . . , m,D(F1 , . .

. , Fm )(N0 ) 6= 0,D(u1 , . . . , um )то для достаточно малых чисел ε1 , . . . , εm найдется такая окрестность точки M0 (x01 , . . . , x0n ), что в пределах этой окрестности существуют единственные m функций (A.2), которые удовлетворяютусловиям |ui − u0i | < εi , i = 1, . . . , m и являются решением системыуравнений (A.1), причем это решение непрерывно и дифференцируемов указанной окрестности точки M0 .Доказательство теоремы можно найти в [2], гл. 13, §2.A.2. Зависимость функций и функциональные матрицыРассмотрим m функций от n переменных u1 = ϕ1 (x1 , .

. . , xn ),...um = ϕm (x1 , . . . , xn ).(A.3)Предполагается, что функции ϕi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m, определены идифференцируемы в некоторой открытой n-мерной области D. Напомним определение зависимости функций. Пусть k ∈ {1, . . . , m} – фиксированный индекс.Определение A.2.1. Функция uk зависит в области D от остальных функций из (A.3), если сразу для всех точек x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Duk (x) = Φ(u1 (x), . .

. , uk−1 (x), uk+1 (x), . . . , um (x)),(A.4)110Приложение Aгде Φ – некоторая функция, определенная и дифференцируемая в соответствующей области изменения своих аргументов. Функцииu1 , . . . , umназываются зависимыми в области D, если одна из этих функцийзависит в области D от остальных.Если не существует дифференцируемой функции Φ такой, что сразудля всех точек области D справедливо тождество вида (A.4) хотя быдля одного k ∈ {1, . . . , m}, то функции u1 , .

. . , um называются независимыми в области D.Теорема A.2.1. Пусть m функций от n > m переменных вида (A.3)определены и дифференцируемы в окрестности точкиM0 = M0 (x01 , . . . , x0n ).Тогда, если якобиан из этих функций по каким-либо m переменнымотличен от нуля в точке M0 , то эти функции независимы в некоторой окрестности точки M0 .Пусть теперь ϕi (x1 , . .

. , xn ), i = 1, . . . , m определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки M0 (x01 , . . . , x0n ), причем все частные производные первого порядка от этих функций непрерывны в самойточке M0 . Составим из частных производных функций (A.3) функциональную матрицу∂ϕ1∂ϕ1∂ϕ1... ∂x1∂x2∂xn  ∂ϕ∂ϕ2∂ϕ2 2...(A.5) ∂x1∂x2∂xn  , ............  ∂ϕm ∂ϕm∂ϕm ...∂x1∂x2∂xnсодержащую m строк и n столбцов.Теорема A.2.2.

Пусть у функциональной матрицы (A.5)1) некоторый минор r-го порядка отличен от нуля в точкеM0 (x01 , . . . , x0n );2) все миноры (r + 1)-го порядка равны нулю в некоторой окрестности точки M0 (если r = min(m, n), то это требование следуетопустить).Неявные функции и функциональные матрицы111Тогда r функций, представленных в указанном миноре r-го порядка,независимы в окрестности точки M0 , а каждая из остальных функций зависит в этой окрестности от указанных r функций.Доказательство этих теорем можно найти в [2], гл. 13, §3.112Приложение BПриложение BОбщая теория линейныхдифференциальных уравненийс точки зрения систем линейныхдифференциальных уравненийВ главе 3 мы рассмотрели свойства решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, а в главе 4 свойстварешений линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.

В этом приложении мы покажем, как некоторые изутверждений главы 3 могут быть получены как простые следствия теорем главы 4.B.1. Связь линейной зависимости скалярныхфункций и вектор-функцийВ параграфах 3.3, 4.2 мы ввели определения линейной зависимостискалярных функций и вектор-функций. Свойства линейной зависимости достаточно гладких скалярных функций и вектор-функций оказываются тесно связанными. Пусть функцииϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕm (t)являются (m − 1) раз непрерывно дифференцируемыми на [a, b].

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,02 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6359
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее