ОДУ - 1 (1086549), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

. , pj , j = 1, . . . , s.Следовательно, y mj (t) – решения системы (4.23).Докажем, что система из n вектор-функций, состоящая из объединения построенных для всех λ ∈ {λ1 , . . . , λ` } решений вида (4.29), является линейно независимой на произвольном отрезке [a, b]. Рассмотрим отрезок [c, d], [a, b] ⊆ [c, d], 0 ∈ [c, d]. Вектор-функции из (4.29)106Глава 4. Общая теория линейных системявляются решениями системы (4.23) на отрезке [c, d]. В принадлежащей этому отрезку точке t = 0 определитель Вронского этой системыотличен от нуля, поскольку соответствующая матрица Y (0) составленаиз столбцов, являющихся собственными и присоединенными векторами матрицы A, совокупность которых линейно независима и образуетбазис в Cn . Согласно теореме 4.2.3 об альтернативе для определителяВронского, det Y (t) 6= 0 на всем отрезке [c, d], а значит и на его части[a, b].

Поэтому рассматриваемая система решений (4.23) является линейно независимой на [a, b] и, следовательно, составляет фундаментальнуюсистему решений на этом отрезке. Тем самым установлена справедливость следующей теоремы.Теорема 4.4.2. Система из n вектор-функций, состоящая из объединения построенных для всех различных собственных значений λ1 ,λ2 , . . .

λ` решений вида (4.29), является фундаментальной системойрешений (4.23) на произвольном отрезке [a, b].4.4.3. Построение фундаментальной системы решенийв вещественном видеВ предыдущем параграфе при построении фундаментальной системы решений мы фактически не использовали то, что матрица системывещественна.

При этом фундаментальная система решений конструктивно построена в комплексной форме. Однако общая теорема 4.3.1 изпараграфа 4.3.1 гарантирует существование фундаментальной системырешений в вещественном виде. Возникает вопрос, нельзя ли также конструктивно построить фундаментальную систему решений в вещественном виде? Ответ на этот вопрос положительный. Ниже даны пояснения.Напомним, что у вещественной матрицы характеристический многочлен имеет вещественные коэффициенты. Как следует из курса линейной алгебры, его комплекснозначные корни (собственные значенияматрицы системы) идут комплексно сопряженными парами: λ = p + iq,λ∗ = p − iq, M (λ) = 0, M (λ∗ ) = 0. Тогда в построенной в теореме4.4.2 фундаментальной системе решений вектор-функции, отвечающиевещественным собственным значениям, являются вещественными, а отвечающие комплексным собственным значениям функции встречаютсятолько комплексно сопряженными парами.

Заменим в фундаментальной системе решений каждую такую пару функцийy(t) = (y1 (t), . . . , yn (t))> ,y ∗ (t) = (y1∗ (t), . . . , yn∗ (t))>4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица107соответствующими действительными и мнимыми частями,y R (t) = Re y(t),y I (t) = Im y(t).Так какy R (t) = 0.5(y(t) + y ∗ (t)),y I (t) = 0.5i(y ∗ (t) − y(t)),(4.30)то y R (t), y I (t) – решения однородной системы как линейные комбинациирешений. Построенная таким образом совокупность вектор-функций состоит из n вещественных решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений и задает ее фундаментальную систему решений.Для обоснования этого факта осталось убедиться в линейной независимости над полем вещественных чисел построенной системы на любом отрезке [a, b].

Предположим противное, то есть некоторая линейнаякомбинация с вещественными коэффициентами rj ∈ R для построенныхфункций обращается в ноль на некотором отрезке [a, b]. Не ограничиваяобщности можно считать, что в такой линейной комбинации встречается сумма вида· · · + r1 y R (t) + r2 y I (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Подставляя из (4.30) выражения для всех встречающихся пар черезсоответствующие комплексные вектор-функции, получаем равенство· · · + 0.5(r1 − ir2 )y(t) + 0.5(r1 + ir2 )y ∗ (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Таким образом, нетривиальная линейная комбинация c комплекснымикоэффициентами для вектор-функций из исходной фундаментальнойсистемы решений обратилась в ноль, что противоречит ее линейнойнезависимости.108Приложение AПриложение AНеявные функции ифункциональные матрицыA.1.

Теорема о неявных функцияхРассмотрим систему из m функциональных уравнений относительноm + n аргументов (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) ∈ Rm+n : F1 (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) = 0,...(A.1)Fm (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ) = 0.Нас интересует вопрос о разрешимости системы функциональных уравнений (A.1) относительно u1 , . .

. , um . Под решением системы (A.1) понимается совокупность определенных в некоторой области D ⊆ Rn функцийu1 = ϕ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , um = ϕm (x1 , . . . , xn )(A.2)таких, что при подстановке этих функций в систему (A.1) все уравненияэтой системы обращаются в тождества:Fi (u1 (x1 , . . . , xn ), . . . , um (x1 , . . . , xn ), x1 , .

. . , xn ) = 0,∀(x1 , . . . , xn ) ∈ D, i = 1, . . . , m.Якобианом функций F1 , . . . , Fm по переменнымется следующий функциональный определитель∂F1∂F1... ∂u1∂u2 ∂F∂F22D(F1 , . . . , Fm )...= det  ∂u1∂u2D(u1 , . . . , um )...... ... ∂Fm ∂Fm...∂u1∂u2u1 , . . . , um называ∂F1∂um∂F2∂um...∂Fm∂um,являющийся скалярной функцией аргументов (u1 , . . .

, um , x1 , . . . , xn ).Неявные функции и функциональные матрицы109Теорема A.1.1. Пусть m функцийF1 (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn ),...,Fm (u1 , . . . , um , x1 , . . . , xn )дифференцируемы в некоторой окрестности точкиN0 = N0 (u01 , . . . , u0m , x01 , . . . , x0n ),частные производные ∂Fi /∂uj непрерывны в точке N0 , i, j = 1, . . . , m.Тогда, если выполнены условияFi (N0 ) = 0,i = 1, . . . , m,D(F1 , . .

. , Fm )(N0 ) 6= 0,D(u1 , . . . , um )то для достаточно малых чисел ε1 , . . . , εm найдется такая окрестность точки M0 (x01 , . . . , x0n ), что в пределах этой окрестности существуют единственные m функций (A.2), которые удовлетворяютусловиям |ui − u0i | < εi , i = 1, . . . , m и являются решением системыуравнений (A.1), причем это решение непрерывно и дифференцируемов указанной окрестности точки M0 .Доказательство теоремы можно найти в [2], гл. 13, §2.A.2. Зависимость функций и функциональные матрицыРассмотрим m функций от n переменных u1 = ϕ1 (x1 , .

. . , xn ),...um = ϕm (x1 , . . . , xn ).(A.3)Предполагается, что функции ϕi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m, определены идифференцируемы в некоторой открытой n-мерной области D. Напомним определение зависимости функций. Пусть k ∈ {1, . . . , m} – фиксированный индекс.Определение A.2.1. Функция uk зависит в области D от остальных функций из (A.3), если сразу для всех точек x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Duk (x) = Φ(u1 (x), . .

. , uk−1 (x), uk+1 (x), . . . , um (x)),(A.4)110Приложение Aгде Φ – некоторая функция, определенная и дифференцируемая в соответствующей области изменения своих аргументов. Функцииu1 , . . . , umназываются зависимыми в области D, если одна из этих функцийзависит в области D от остальных.Если не существует дифференцируемой функции Φ такой, что сразудля всех точек области D справедливо тождество вида (A.4) хотя быдля одного k ∈ {1, . . . , m}, то функции u1 , .

. . , um называются независимыми в области D.Теорема A.2.1. Пусть m функций от n > m переменных вида (A.3)определены и дифференцируемы в окрестности точкиM0 = M0 (x01 , . . . , x0n ).Тогда, если якобиан из этих функций по каким-либо m переменнымотличен от нуля в точке M0 , то эти функции независимы в некоторой окрестности точки M0 .Пусть теперь ϕi (x1 , . .

. , xn ), i = 1, . . . , m определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки M0 (x01 , . . . , x0n ), причем все частные производные первого порядка от этих функций непрерывны в самойточке M0 . Составим из частных производных функций (A.3) функциональную матрицу∂ϕ1∂ϕ1∂ϕ1... ∂x1∂x2∂xn  ∂ϕ∂ϕ2∂ϕ2 2...(A.5) ∂x1∂x2∂xn  , ............  ∂ϕm ∂ϕm∂ϕm ...∂x1∂x2∂xnсодержащую m строк и n столбцов.Теорема A.2.2.

Пусть у функциональной матрицы (A.5)1) некоторый минор r-го порядка отличен от нуля в точкеM0 (x01 , . . . , x0n );2) все миноры (r + 1)-го порядка равны нулю в некоторой окрестности точки M0 (если r = min(m, n), то это требование следуетопустить).Неявные функции и функциональные матрицы111Тогда r функций, представленных в указанном миноре r-го порядка,независимы в окрестности точки M0 , а каждая из остальных функций зависит в этой окрестности от указанных r функций.Доказательство этих теорем можно найти в [2], гл. 13, §3.112Приложение BПриложение BОбщая теория линейныхдифференциальных уравненийс точки зрения систем линейныхдифференциальных уравненийВ главе 3 мы рассмотрели свойства решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, а в главе 4 свойстварешений линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.

В этом приложении мы покажем, как некоторые изутверждений главы 3 могут быть получены как простые следствия теорем главы 4.B.1. Связь линейной зависимости скалярныхфункций и вектор-функцийВ параграфах 3.3, 4.2 мы ввели определения линейной зависимостискалярных функций и вектор-функций. Свойства линейной зависимости достаточно гладких скалярных функций и вектор-функций оказываются тесно связанными. Пусть функцииϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕm (t)являются (m − 1) раз непрерывно дифференцируемыми на [a, b].

Характеристики

Список файлов книги