ОДУ - 1 (1086549), страница 16
Текст из файла (страница 16)
, y n (t) – фундаментальная система решений, а Y (t) – фундаментальная матрица.Замечание 4.3.1. Фундаментальная матрица неединственна. Полагая в задаче Коши (4.9) начальное условие Y (t0 ) = B, det B 6= 0, мыполучим другую фундаментальную матрицу.Замечание 4.3.2.
Так как элементы aij (t) матрицы системы вещественны, то и фундаментальная матрица может быть выбранавещественной.4.3.2. Общее решение линейной однородной системыОпределение 4.3.2. Общим решением линейной однородной системы дифференциальных уравнений n-го порядка называется зависящееот n произвольных постоянных решение этого уравнения такое, чтолюбое другое решение системы может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных.98Глава 4.
Общая теория линейных системТеорема 4.3.2. Пусть Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) – фундаментальная матрица для линейной однородной системыdy(t)= A(t)y(t)dtна отрезке [a, b]. Тогда ее общее решение представимо в видеy OO (t) = c1 y 1 (t) + c2 y 2 (t) + · · · + cn y n (t) = Y (t)c,(4.10)где c1 , c2 , . . . , cn – произвольные постоянные, c = (c1 , c2 , . . . , cn ).Доказательство. По теореме 4.1.2 вектор-функция Y (t)c является решением однородной системы для любых c ∈ Cn . Согласно определениюобщего решения осталось показать, что для любого наперед заданногорешения y(t) линейной однородной системы найдется вектор константec ∈ Cn такой, что на отрезке [a, b] выполнено равенствоy(t) = Y (t)ec.(4.11)Для построения ec зафиксируем произвольное t0 ∈ [a, b] и вычислимy 0 = y(t0 ). Рассмотрим систему линейных алгебраических уравненийотносительно ec = (ec1 , ec2 , .
. . , ecn )> :Y (t0 )ec = y0 .(4.12)В силу невырожденности матрицы Y (t0 ) c определителем det Y (t0 ) 6=0 эта система имеет единственное решение ec = (ec1 , ec2 , . . . , ecn )> . Тогдафункции ye(t) = Y (t)ec и y(t) являются решениями одной и той же задачиКошиdy(t)(4.13)= A(t)y(t), y(t0 ) = y 0 ,dtи по теореме единственности обязаны совпадать, что доказывает (4.11).Отметим, что для фиксированного решения y(t) вектор констант ec ∈ Cnв представлении (4.11) определен однозначно.Следствие 4.3.1. В ходе доказательства теоремы 4.3.2 была фактически выведена формула для решения задачи Коши (4.13) с произвольным начальным вектором y 0 .
Действительно, из (4.12) имеемec = Y −1 (t0 )y 0 и после использования (4.11) получаемy(t) = Z(t, t0 )y 0 ,Z(t, t0 ) = Y (t)Y −1 (t0 ).(4.14)4.3. Фундаментальная система решений и общее решение системы99Функциональная матрица Z(t, t0 ) называется матрицантом. Какматричная функция переменной t она является решением следующейзадачи КошиdZ(t, t0 )= A(t)Z(t, t0 ),dtZ(t0 , t0 ) = Y (t0 )Y −1 (t0 ) = E.Замечание 4.3.3.
Так как элементы aij (t) матрицы системы вещественны, то и общее решение естественно искать в классе вещественнозначных функций. Тогда при выборе вещественной фундаментальной матрицы (это всегда возможно в рассматриваемом случае)формула (4.10) при c ∈ Rn дает общее вещественнозначное решениелинейной однородной системы дифференциальных уравнений.4.3.3. Общее решение линейной неоднородной системы, методвариации постоянныхРассмотрим линейную неоднородную систему с непрерывным вектором f (t) = (f1 (t), f2 (t), . . .
, fn (t))> :dy(t)= A(t)y(t) + f (t),dtt ∈ [a, b].(4.15)Как и в предыдущем пункте, Y (t) обозначает фундаментальную матрицу соответствующей (4.15) однородной системы dy(t)/dt = A(t)y(t) стой же самой матрицей коэффициентов A(t).Определение 4.3.3. Общим решением линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений n-го порядка (4.15) называетсязависящее от n произвольных постоянных решение этой системы такое, что любое другое решение системы (4.15) может быть полученоиз него в результате выбора некоторых значений этих постоянных.Теорема 4.3.3.
Общее решение y OH (t) линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений (4.15) представимо в видеy OH (t) = Y (t)c + y H (t),∀c = (c1 , c2 , . . . , cn )> ∈ Cn ,(4.16)где y H (t) – некоторое (частное) решение неоднородной системы (4.15).Доказательство. В силу линейности системы (4.15) вектор-функцияy OH (t) является решением (4.15) для любого вектора констант c ∈ Cn .100Глава 4.
Общая теория линейных системСогласно определению общего решения, осталось показать, что для любого наперед заданного решения ye(t) системы (4.15) найдется векторконстант ec ∈ Cn такой, что на отрезке [a, b] будет выполнено равенствоye(t) = Y (t)ec + y H (t).(4.17)Пусть ye(t) – решение (4.15). Разность y(t) = ye(t) − y H (t) двух решений неоднородной системы является решением однородной системы,dy(t)/dt = A(t)y(t). Тогда по теореме 4.3.2 об общем решении линейной однородной системы найдется такой вектор констант ec ∈ Cn , чтона рассматриваемом отрезке выполнено равенство y(t) = Y (t)ec, котороеприводит к (4.17).Построение одного из частных решений неоднородной системы может быть проведено методом вариации постоянных и выражено с помощью введенного в (4.14) матрицанта Z(t, τ ).Теорема 4.3.4.
Для любого t0 ∈ [a, b] формулаZty H (t) =Z(t, τ )f (t)dτ,t ∈ [a, b],(4.18)t0задает частное решение неоднородной системы (4.15), удовлетворяющее условию y H (t0 ) = 0.Доказательство. Воспользуемся методом вариации постоянных, согласно которому частное решение неоднородной системы ищется в виде,повторяющем структуру (4.10) общего решения однородной системы, вкотором вектор констант c заменен на пока произвольную непрерывно дифференцируемую вектор-функцию c(t) = (c1 (t), c2 (t), .
. . , cn (t))> ,а именно:y(t) = Y (t)c(t).(4.19)Поскольку фундаментальная матрица удовлетворяет однородномууравнению dY (t)/dt = A(t)Y (t), тоdy(t)dY (t)dc(t)dc(t)=c(t) + Y (t)= A(t)Y (t)c(t) + Y (t).dtdtdtdt(4.20)Подставляя выражения (4.19) и (4.20) в уравнение (4.15), получаемуравнение для определения вектор-функции c(t):Y (t)dc(t)= f (t).dt(4.21)4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица101В силу невырожденности фундаментальной матрицы это уравнениеможно переписать в виде dc(t)/dt = Y −1 (t)f (t) и проинтегрировать отt0 до t. Полагая по определению, что интеграл от вектор-функции естьвектор, составленный из интегралов координатных функций, имеемZtc(t) =Y −1 (τ )f (τ )dτ.t0После подстановки в (4.19) окончательно получаемZty(t) = Y (t)c(t) = Y (t)Y−1Zt(τ )f (τ )dτ =t0Z(t, τ )f (τ )dτ.t0Следствие 4.3.2.
Решение y(t) = y(t; y 0 ) задачи Коши для линейнойнеоднородной системыdy(t)= A(t)y(t) + f (t),dtt ∈ [a, b]с заданным в точке t0 ∈ [a, b] начальным условиемy(t0 ) = y 0имеет видZty(t; y 0 ) = Z(t, t0 )y 0 +Z(t, τ )f (τ )dτ.(4.22)t04.4. Построение фундаментальной системы решенийдля линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицейРассмотрим однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A(t) ≡ A =(ai,j ), ai,j ∈ R, i, j = 1, .
. . , n:dy(t)= Ay(t).dt(4.23)102Глава 4. Общая теория линейных системПо аналогии со скалярным уравнением y 0 (t) = ay(t), которое имеет решение y(t) = h exp{at} для любого h ∈ C, будем искать нетривиальныерешения системы (4.23) в видеy(t) = h exp{λt},h = (h1 , h2 , . . . , hn )> ∈ Cn ,λ ∈ C.(4.24)Подстановка вектор-функции (4.24) в систему (4.23) приводит к задаченахождения таких λ ∈ C, при которых система линейных алгебраических уравнений(4.25)(A − λE)h = θимеет нетривиальное решение h. Как известно из курса линейной алгебры, такие λ называются собственными значениями матрицы A, а отвечающие им векторы h – собственными векторами матрицы A. Собственные значения и только они являются корнями характеристического многочлена M (λ):M (λ) = det(A − λE) = 0.(4.26)4.4.1.
Построение фундаментальной системы решений, когдасуществует базис из собственных векторовПоскольку характеристический многочлен имеет степень n, то поосновной теореме алгебры у него имеется ровно n корней (собственныхзначений), с учетом их кратности λ1 , . . . , λn , λj ∈ C. Из курса линейнойалгебры известно, что существует не более, чем n линейно независимыхсобственных векторов матрицы A. Остановимся сначала на случае, когда количество линейно независимых собственных векторов в точностиравно n. Заметим, что в этом случае собственные векторы составляютбазис пространства Cn .Теорема 4.4.1. Пусть у матрицы A имеется ровно n линейно независимых собственных векторовh1 ,h2 ,...,hn ,отвечающих соответствующим собственным значениямλ1 ,λ2 ,...,λn .4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица103Тогда вектор-функцииy 1 (t) = h1 exp{λ1 t}, y 2 (t) = h2 exp{λ2 t}, .
. . y n (t) = hn exp{λn t} (4.27)образуют фундаментальную систему решений (4.23) на произвольномотрезке [a, b].Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок [a, b]. Для любогоj = 1, . . . , n собственное значение λj и соответствующий собственныйвектор hj удовлетворяют уравнению (4.25), и тогда каждая из векторфункций y j (t) = hj exp{λj t} является решением системы (4.23) на [a, b]по построению.Докажем линейную независимость на отрезке [a, b] построенной системы функций. Для этого, согласно теореме 4.2.3 об альтернативе дляопределителя Вронского, достаточно убедиться, что det Y (t) 6= 0 длянекоторого t ∈ [a, b], где Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), .
. . , y n (t)). Рассмотрим отрезок [c, d], включающий в себя исходный отрезок [a, b] и точку t = 0:[a, b] ⊆ [c, d],0 ∈ [c, d].Вектор-функции из (4.27) являются решениями системы (4.23) на отрезке [c, d]. В принадлежащей этому отрезку точке t = 0 определительВронскогоdet Y (0) = det(h1 , h2 , . . . , hn ) 6= 0,так как в противном случае составляющие Y (0) столбцы – собственныевекторы h1 , h2 , . . . , hn – были бы линейно зависимыми. Согласно теореме 4.2.3 об альтернативе для определителя Вронского det Y (t) 6= 0 навсем отрезке [c, d], а значит и на его части [a, b].4.4.2. Построение фундаментальной системы решений, когдане существует базиса из собственных векторовРассмотрим случай, когда количество существующих у матрицы Aлинейно независимых собственных векторов строго меньше, чем порядок системы n.
Выпишем все попарно различные собственные значенияλj с соответствующими кратностями kj :λ1 ,k1 ,λ2 ,k2 ,...,...,λ`k`,,λi =6 λj при i 6= j,kj > 1, k1 + k2 + · · · + k` = n.104Глава 4. Общая теория линейных системПусть далее λ ∈ {λ1 , . . . , λ` } обозначает одно из собственных значений с соответствующей кратностью k. Покажем, что каждому такомусобственному значению можно сопоставить ровно k вектор-функций,являющихся решениями однородной системы (4.23). Если размерностьs = dim Ker(A − λE) собственного подпространства, определяющая количество линейно независимых собственных векторов для данного собственного значения, равна кратности собственного значения, s = k, тоискомые функции строятся согласно (4.27).Если размерность собственного подпространства меньше кратности собственного значения, s < k, то, как известно из курса линей111ной алгебры, можно выбрать собственные векторы h1 , h2 , .
. . , hs так,1что состоящая ровно из k векторов система собственных векторов hjmи присоединенных векторов hj , m = 2, . . . , pj , j = 1, . . . , s, pj > 1,p1 + p2 + · · · + ps = k, которую запишем в виде1h1 ,2h1 ,.........1hj ,2hj ,.........1hs ,2hs ,.........pjps. . . hj , . . . hs ,p1h1 ,удовлетворяет уравнениям1Ahj2AhjmAhjpjAhj=1λhj ,21= λhj + hj ,...mm−1= λhj + hj ,...pjpj −1= λhj + hj.(4.28)С помощью собственных и присоединенных векторов построим семейство из следующих k функцийy 1j (t)y 2j (t)...1= hj exp{λt},t 12=hj + hj exp{λt},1!(4.29)4.4. Фундаментальная система решений: постоянная матрица105 mt m−1 t2 m−2tq m−qym(t)=h+h+h+···+h+ ...jj1! j2! jq! jtm−11··· +hj exp{λt},(m − 1)!... pt pj −1 t2 pj −2tq pj −qjpy j j (t) = hj + hj+ hj+ · · · + hj+ ...1!2!q!tpj −1 1 ··· +h exp{λt},(pj − 1)! jj = 1, .
. . , s.Докажем, что все функции из построенного семейства являются решениями линейной однородной системы (4.23). Рассмотрим функциюmymj (t), вычислим ее производную dy j (t)/dt и сгруппируем результаттак, чтобы удобно было воспользоваться соотношениями (4.28). Имеемdy mj (t)=dt m−1t m−2 t2 m−3tq m−q−1tm−21= hj+ hj+ hj+ · · · + hj+ ··· +h +1!2!q!(m − 2)! jt m−1 t2 m−2tq m−qtm−2m2+ λhj+ · · · + λhj+ ··· +λh ++ λhj + λhj1!2!q!(m − 2)! jtm−11+λhj exp{λt} =(m − 1)! mtt2 m−2tqm−1m−q= Ahj + Ahj+ Ahj+ · · · + Ahj+ ...1!2!q!tm−11··· +Ahj exp{λt} = Ay mj (t),(m − 1)!m = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
