ОДУ - 1 (1086549), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. , ϕm (t),определенные на отрезке [a, b] и принимающие комплексные значения.Никакая связь с решениями дифференциальных уравнений пока непредполагаются.Определение 3.3.1. Скалярные функции ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t) называются линейно зависимыми на отрезке [a, b], если найдутся такиеmPкомплексные константы ck ∈ C, k = 1, . . . , m,|ck | > 0, что спраk=1ведливо равенствоc1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) + · · · + cm ϕm (t) = 0,∀t ∈ [a, b].(3.17)Если же равенство (3.17) выполнено только для тривиального набораконстант ck = 0, k = 1, 2, . . . , n, то скалярные функции ϕ1 (t), ϕ2 (t),.
. . , ϕm (t) называются линейно независимыми на отрезке [a, b].Замечание 3.3.1. Из определения следует, что, если функции ϕk (t)действительны, то при определении их линейной зависимости и независимости достаточно рассматривать действительные значения постоянных ck , k = 1, 2, . . . , m.68Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравненийПример 3.3.1. Рассмотрим на отрезке [a, b] функцииϕ1 (t) = t3 ,ϕ2 (t) = t2 |t|.Если 0 < a < b, то на рассматриваемом отрезке ϕ1 (t) = ϕ2 (t) ифункции линейно зависимы на [a, b].Если же a < 0 < b, то, положив t = d = min{|a|, b} и t = −dв равенстве c1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) = 0, получим систему c1 d3 + c2 d3 = 0,c1 d3 − c2 d3 = 0, из которой следует, что c1 = c2 = 0, а значит ϕ1 (t) =t3 и ϕ2 (t) = t2 |t| линейно независимы на [a, b].Замечание 3.3.2. Пример 3.3.1 показывает, что линейная зависимость и независимость системы функций в общем случае зависит оттого, на каком отрезке рассматривается эта система.Определение 3.3.2.
Определителем Вронского системы функцийϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t), состоящей из (m − 1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций, называется зависящий от переменной t ∈ [a, b] определительW [ϕ1 , . . . , ϕm ](t) = det ϕ1 (t)ϕ01 (t)...ϕ2 (t)ϕ01 (t)............(m−1)(m−1)...ϕ1(t) ϕ2(t)ϕm (t)ϕ0m (t)...(m−1)ϕm.(t)Необходимое условие линейной зависимости скалярных функцийустанавливает следующая теорема.Теорема 3.3.1. Если система (m−1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] скалярных функций ϕ1 (t), ϕ2 (t), .
. . , ϕm (t) является линейно зависимой на отрезке [a, b], то определитель Вронскогоэтой системы тождественно равен нулю на этом отрезке:W [ϕ1 , . . . , ϕm ](t) = 0,∀t ∈ [a, b].Доказательство. Так как функции ϕk (t) линейно зависимы на [a, b],то существует нетривиальный набор констант c1 , c2 , . . . , cn , для которого на отрезке [a, b] справедливо равенство (3.17). В этом равенстведопустимо почленное дифференцирование до порядка m − 1 включительно:(k)c1 ϕ1 (t) + · · · + cm ϕ(k)m (t) = 0,k = 0, 1, .
. . , m − 1,t ∈ [a, b]. (3.18)3.3. Линейная зависимость функций и определитель Вронского69Из (3.18) следует, что вектор-столбцы определителя Вронского линейнозависимы для всех t ∈ [a, b]. Следовательно, этот определитель равеннулю для всех t ∈ [a, b].Следствие 3.3.1. Если для системы (m − 1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] скалярных функций ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t)определитель Вронского отличен от нуля в некоторой точке t0 ∈ [a, b],W [ϕ1 , . .
. , ϕm ](t0 ) 6= 0,то эта система является линейно независимой на отрезке [a, b].Отметим, что равенство нулю определителя Вронского является, вообще говоря, только необходимым условием линейной зависимости скалярных функций. Из равенства нулю определителя Вронского не вытекает их линейная зависимость.Пример 3.3.2. Для m = 2 рассмотрим на отрезке [−1, 1] две функции, имеющие нулевой определитель Вронского: 3tt2 |t|32ϕ1 (t) = t , ϕ2 (t) = t |t|, W [ϕ1 , ϕ2 ](t) = det≡ 0.3t2 3t|t|Однако, как показано выше в примере 3.3.1, эти функции являютсялинейно независимыми на отрезке [−1, 1].3.3.2.
Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного дифференциального уравненияРассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n c непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами aj (t), j = 0, . . . , n, a0 (t) 6= 0 на [a, b]:a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = 0. (3.19)Рассмотрим систему скалярных функций y1 (t), y2 (t), . .
. , yn (t), являющихся решением линейного однородного уравнения (3.19) порядка n.Подчеркнем, что количество функций в рассматриваемой системе совпадает с порядком уравнения. Исследуем вопрос о связи свойства линейной зависимости решений линейного однородного дифференциального уравнения и значения определителя Вронского. В отличие от случая произвольной системы функции для системы решений однородного70Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравненийдифференциального уравнения (3.19) поведение определителя Вронского является критерием линейной зависимости или независимости системы решений.
Справедлива следующая теорема, которую можно назватьтеоремой об альтернативе для определителя Вронского.Теорема 3.3.2. Для решений y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) линейного однородного уравнения (3.19) на отрезке [a, b] справедлива следующая альтернатива:/ либо W [y1 , . . . , yn ](t) ≡ 0 на [a, b] и функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) линейно зависимы на этом отрезке;/ либо W [y1 , .
. . , yn ](t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b] и функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)линейно независимы на [a, b].Доказательство. Пусть в какой-то точке t0 определитель Вронского,составленный из функций yk (t), равен нулю, то есть W [y1 , . . . , yn ](t0 ) =0. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных c1 , c2 , . . . , cn :c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) + · · · + cn yn (t0 ) = 0,c1 y10 (t0 ) + c2 y20 (t0 ) + · · · + cn yn0 (t0 ) = 0,(3.20)...(n−1)(n−1)(n−1)(t0 ) = 0.c1 y1(t0 ) + c2 y2(t0 ) + · · · + cn ynТак как определитель этой системы равен определителю Вронского иравен нулю (W [y1 , . . .
, yn ](t0 ) = 0), то эта система имеет нетривиальноеnPрешение ec1 , ec2 , . . . , ecn ,|eck | > 0.k=1Рассмотрим функциюye(t) =nXeck yk (t).k=1Из теоремы 3.2.1 следует, что эта функция является решением однородного дифференциального уравнения (3.19), а из (3.20) следует, что онаудовлетворяет начальным условиямye(m) (t0 ) = 0,m = 0, 1, . . . , n − 1.Это означает, что функция ye(t) является решением однородного дифференциального уравнения (3.19) и удовлетворяет нулевым начальным3.4. Фундаментальная система решений и общее решение71условиям в точке t0 .
По теореме единственности решения задачи Кошидля линейного дифференциального уравнения эта функция равна нулюна отрезке [a, b]. Следовательно,ye(t) =nXeck yk (t) = 0,t ∈ [a, b],k=1и функции yk (t), k = 1, 2, . . . , n линейно зависимы. Тогда из теоремы3.3.1 следует, что определитель Вронского, составленный из этих функций, равен нулю на отрезке [a, b].Пусть существует точка bt ∈ [a, b] такая, что W [y1 , .
. . , yn ]( bt ) 6= 0.Тогда из предыдущего следует, что определитель Вронского не равеннулю ни в одной точке отрезка [a, b], и функции yk (t), k = 1, 2, . . . , nлинейно независимы на этом отрезке.Замечание 3.3.3. В силу доказанной теоремы рассмотренные впримере 3.3.2 дважды непрерывно дифференцируемые линейно независимые на отрезке [−1, 1] функцииϕ1 (t) = t3 ,ϕ2 (t) = t2 |t|не могут являться решениями никакого линейного однородного уравнения второго порядкаa0 (t)y 00 (t) + a1 (t)y 0 (t) + a2 (t)y(t) = 0,t ∈ [−1, 1]с непрерывными коэффициентами a0 (t), a1 (t), a2 (t) и a0 (t) 6= 0, поскольку W [ϕ1 , ϕ2 ](t) ≡ 0 на отрезке [−1, 1].3.4.
Фундаментальная система решений иобщее решение линейного дифференциальногоуравнения3.4.1. Фундаментальная система решений линейногооднородного уравненияОпределение 3.4.1. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.19) наотрезке [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого уравнения.72Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравненийТеорема 3.4.1.
У любого линейного однородного уравнения (3.19)существует фундаментальная система решений на [a, b].Доказательство. Рассмотрим постоянную матрицу B с элементами bij ,i, j = 1, 2, . . . , n такую, что det B 6= 0. Обозначим через yj (t) решениязадачи Коши для уравнения (3.19) с начальными условиями(n−1)yj (t0 ) = b1j , yj0 (t0 ) = b2j , . .
. , yj(t0 ) = bnj ,j = 1, 2, . . . , n.(3.21)По теореме 2.3.5 существования и единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка функции yj (t) существуют и определены однозначно. Составленный из нихопределитель Вронского W [y1 , . . . , yn ](t), в силу условий (3.21), таков,что W [y1 , . . . , yn ](t0 ) = det B 6= 0. Следовательно, по теореме 3.3.2 онне равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b], и функции yj (t) линейнонезависимы на отрезке [a, b]. Значит, они образуют фундаментальнуюсистему решений уравнения (3.19) и теорема доказана.Замечание 3.4.1. Из доказательства теоремы 3.4.1 следует, чтофундаментальная система решений уравнения (3.19) определена неоднозначно.
Действительно, выбирая различные матрицы B такие, чтоdet B 6= 0, мы получим различные фундаментальные системы решенийуравнения (3.19).Замечание 3.4.2. Так как коэффициенты уравнения aj (t) вещественны, то фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (3.19) также может быть выбрана вещественной.3.4.2. Общее решение линейного однородного уравненияОпределение 3.4.2. Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.19) называется зависящееот n произвольных постоянных решение этого уравнения такое, чтолюбое другое решение уравнения (3.19) может быть получено из негов результате выбора некоторых значений этих постоянных.Теорема 3.4.2. Пусть y1 (t), y2 (t), .
. . , yn (t) – фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (3.19) на отрезке[a, b]. Тогда общее решение этого уравнения на рассматриваемом отрезке имеет видyOO (t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + · · · + cn yn (t),∀cj ∈ C.(3.22)3.4. Фундаментальная система решений и общее решение73Доказательство. Так как линейная комбинация решений однородного уравнения (3.19) является решением этого уравнения, то при любых значениях постоянных ck функция yOO (t), определяемая формулой(3.22), является решением линейного однородного дифференциальногоуравнения (3.19).Покажем теперь, что любое решение уравнения (3.19) может бытьполучено из (3.22) в результате выбора значений постоянных ck .
Пустьye(t) – некоторое решение уравнения (3.19). Рассмотрим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных ckc1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) + · · · + cn yn (t0 )c1 y10 (t0 ) + c2 y20 (t0 ) + · · · + cn yn0 (t0 )= ye(t0 ),= ye0 (t0 ),...(n−1)(n−1)(n−1)(t0 ) = ye(n−1) (t0 ),c1 y1(t0 ) + c2 y2(t0 ) + · · · + cn yn(3.23)где t0 – некоторая точка отрезка [a, b].
Определитель этой системы равенопределителю Вронского в точке t0 и не равен нулю, так как решенияy1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) линейно независимы. Следовательно, система (3.23)имеет единственное решение ec1 , ec2 , . . . , ecn .Рассмотрим функциюyb(t) =nXeck yk (t).k=1Эта функция является решением уравнения (3.19). Так как постоянныеec1 , ec2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
