ОДУ - 1 (1086549), страница 14
Текст из файла (страница 14)
, n. Таким образом, мы получили, что n линейно независимых функций y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) являются решениями линейногооднородного дифференциального уравнения (n − 1)-го порядка с непрерывными коэффициентами pm (t). Но из теоремы об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения следует, что уравнение (n − 1)-го порядка имеет только n − 1 линейно независимое решение.
Полученное противоречие доказывает, что a1 (t) = b1 (t), t ∈ [a, b].Доказательство равенства остальных функций проводится аналогично.Теорема 3.5.1 доказана.3.5. Построение линейного уравнения по его решениям85Рассмотрим теперь вопрос о существовании линейного дифференциального уравнения, решением которого являлась бы заданная системафункций.Теорема 3.5.2.
Пусть n раз непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b] функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) таковы, что составленный изних определитель Вронского W [y1 , y2 , . . . , yn ](t) не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b].Тогда существует линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка такое, что функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) являютсяего фундаментальной системой решений.Доказательство. Рассмотрим на отрезке [a, b] линейное однородноедифференциальное уравнение n-го порядка для неизвестной функцииy(t)y1 (t)y2 (t)...yn (t)y(t)0000 y1 (t)y (t) y2 (t)...yn (t) y100 (t)y 00 (t) y200 (t)...yn00 (t)........det .. = 0.
(3.36)..... (n−1)(n−1)(n−1) y1(t) y (n−1) (t) (t) y2(t) . . . yn(n)y1 (t)(n)y2 (t)...(n)yn (t)y (n) (t)Для того, чтобы убедиться в том, что уравнение (3.36) действительнопредставляет собой линейное дифференциальное уравнение n-го порядка, достаточно разложить определитель по последнему столбцу. Коэффициент при старшей производной y (n) (t) представляет собой определитель Вронского, составленный из заданных функций y1 (t), y2 (t), .
. .yn (t), и по условию теоремы отличен от нуля на [a, b]. Поделив на этотопределитель, мы получим дифференциальное уравнение вида (3.35) снепрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами. Все функции y1 (t),y2 (t), . . . yn (t) являются решениями полученного уравнения, так какпри подстановке функции y(t) = yk (t) в уравнение (3.36) мы имеемслева определитель с двумя одинаковыми столбцами. Теорема 3.5.2 доказана.Пример 3.5.1. Составить линейное однородное дифференциальноеуравнение наименьшего порядка, у которого решениями являютсяфункцииy1 (t) = t,y2 (t) = exp{t2 },y3 (t) = t2 ,y4 (t) = 3t − 2t2 .86Глава 3.
Общая теория линейных дифференциальных уравненийДля решения этой задачи прежде всего заметим, чтоy4 (t) = 3y1 (t) − 2y3 (t),а функции y1 (t), y2 (t) и y3 (t) имеют отличный от нуля определительВронскогоtW [y1 , y2 , y3 ](t) = det 10exp{t2 }t22t exp{t2 }2t =2222 exp{t } + 4t exp{t } 2= −2 exp{t2 }(2t4 − t2 + 1) 6= 0, ∀t ∈ R.Согласно теореме 3.5.2, искомое уравнение третьего порядка имеетвидtexp{t2 }t2 y 112t exp{t2 }2t y 0 = 0.det 22 0 (2 + 4t ) exp{t }2 y 00 W [y1 , y2 , y3 ](t)320000 (12t + 8t ) exp{t } 0 yПример 3.5.2. Составить на отрезке [1, 2] линейное однородноедифференциальное уравнение наименьшего порядка, у которого решениями являются функцииy1 (t) = 1,y2 (t) = cos(t),y3 (t) = sin2 (t/2).Для решения этой задачи прежде всего заметим, чтоy3 (t) = 0.5(y1 (t) − y2 (t)),а функции y1 (t) и y2 (t) имеют отличный от нуля определитель Вронского1 cos tW [y1 , y2 ](t) = det= − sin t 6= 0, ∀t ∈ [1, 2].0 − sin tСогласно теореме 3.5.2, искомое уравнение второго порядка имеет вид1cos t y1= 0,или y 00 − ctg(t) y 0 = 0.det 0 − sin t y 0 W [y1 , y2 ](t)000 − cos t y3.5.
Построение линейного уравнения по его решениям873.5.2. Формула Остроградского-ЛиувилляИспользуя представление линейного дифференциального уравненияв виде (3.36), можно получить формулу для определителя Вронского.При выводе этой формулы мы используем следующее правило дифференцирования функциональных определителей.Пусть D(t) – определитель n-го порядка, элементами которого являются функции, непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b]. Производная D0 (t) определителя D(t) равна сумме n определителей, каждыйиз которых получен из D(t) путем замены одной из его строк на строкуиз производных.Из этого правила следует простая формула для производной определителя Вронского ∆(t) = W [y1 , y2 , . .
. , yn ](t), составленного из системы n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функцийy1 (t), y2 (t), . . . , yn (t),y1 (t)y10 (t)...y2 (t)y20 (t)............yn−1 (t)0yn−1(t)...yn (t)yn0 (t)...∆ (t) = det (n−2)(n−2)(n−2)(n−2) y1(t)(t) y2(t) . . . yn−1 (t) yn(n)(n)(n)(n)y1 (t)y2 (t). .
. yn−1 (t)yn (t)0.Действительно, применим правило вычисления производной функционального определителя к определителю Вронского ∆(t). Все определители, в которых на производные заменяется любая строка, кроме последней, будут равны нулю, как определители, имеющие одинаковыестроки.
Следовательно, только последний определитель, в котором напроизводные заменена последняя строка, и представляет собой производную ∆0 (t).Пусть y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) – фундаментальная система решенийуравнения (3.35). Из теоремы 3.5.1 следует, что это уравнение однозначно определяется своей фундаментальной системой. Значит, поделивуравнение (3.36) на определитель Вронского ∆(t), мы получим уравнение (3.35). Тогда из записи уравнения (3.36) следует, что коэффициентa1 (t) = −∆0 (t).∆(t)88Глава 3. Общая теория линейных дифференциальных уравненийИнтегрируя от t0 до t, получим формулу Остроградского-Лиувилляn Rto∆(t) = ∆(t0 ) exp − a1 (τ )dτ ,t ∈ [a, b].t0Следствие 3.5.1. Если коэффициент a1 (t) = 0, t ∈ [a, b], то определитель Вронского W [y1 , y2 , .
. . , yn ](t) постоянен на отрезке [a, b].4.1. Линейные однородные системы и матричные уравнения89Глава 4Общая теория линейных системобыкновенных дифференциальныхуравнений4.1. Линейные системы дифференциальных уравнений и матричные дифференциальные уравненияРассмотрим на отрезке [a, b] нормальную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в векторнойформе с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами ai,j (t) и непрерывными комплекснозначными fk (t):dy(t)= A(t)y(t) + f (t),dtt ∈ [a, b],(4.1)где· · · a1n (t)..
,.... an1 (t) · · · ann (t)a11 (t) ..A(t) = .f1 (t)f (t) = ... .fn (t)>Напомним, что решение y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) системы (4.1) является, вообще говоря, комплекснозначной вектор-функцией y(t) =u(t) + iv(t), гдеu(t) = (u1 (t), . . . , un (t))> ,v(t) = (v1 (t), . . . , vn (t))> ,а uj (t), vj (t) действительны, j = 1, .
. . , n, В дальнейшем, если не оговорено особо, речь пойдет именно о комплекснозначных решениях.4.1.1. Линейные однородные системыОпределение 4.1.1. Система (4.1) называется однородной, еслиf (t) ≡ θ на отрезке [a, b]. В противном случае система (4.1) называется неоднородной.90Глава 4. Общая теория линейных системЗдесь и далее θ = (0, . . . , 0)> обозначает нулевой вектор-столбец соответствующей размерности.Лемма 4.1.1. Если y(t) – решение линейной однородной системыдифференциальных уравнений, то αy(t) также решение однородной системы для любого α ∈ C. Если y 1 (t) и y 2 (t) – два решения линейнойоднородной системы, то y(t) = y 1 (t)+y 2 (t) также решение однороднойсистемы.Доказательство. Если dy(t)/dt = A(t)y(t), тоd{αy(t)}dy(t)=α= αA(t)y(t) = A(t){αy(t)}.dtdtЕсли dy ` (t)/dt = A(t)y ` (t), ` = 1, 2, тоdy(t)d{y 1 (t) + y 1 (t)}dy (t) dy 1 (t)== 1+=dtdtdtdt= A(t)y 1 (t) + A(t)y 2 (t) = A(t)y(t).Следствие 4.1.1.
Если y ` (t) – решения линейной однородной систеmPмы ` = 1, . . . , m, то y(t) =α` y ` (t) также решение однородной си`=1стемы для любых α` ∈ C.4.1.2. Однородные матричные дифференциальные уравненияРассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами ai,j (t), i, j = 1, 2, . . . , ndy(t)= A(t)y(t),dtt ∈ [a, b],(4.2)где· · · a1n (t)..
,.... an1 (t) · · · ann (t)a11 (t) ..A(t) = .y1 (t)y(t) = ... .yn (t)4.1. Линейные однородные системы и матричные уравнения91Пусть имеется n вектор-функцийy j (t) = (y1j (t), . . . , ynj (t))> ,j = 1, . . . , n.Составим матрицу Y (t), столбцами которой являются данные векторфункции:· · · y1n (t)..
..... yn1 (t) · · · ynn (t)y11 (t) ..Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) = .(4.3)Сопоставим системе (4.2) матричное однородное дифференциальноеуравнениеdY (t)= A(t)Y (t),(4.4)dtгде производная матричной функции равна матрице, состоящей из производных элементов исходной матрицы, то есть dY (t)/dt = dyij (t)/dt .По определению, решением матричного дифференциального уравнения (4.4) на отрезке [a, b] называется непрерывно дифференцируемаяна данном отрезке матричная функция вида (4.3), обращающая уравнение (4.4) в тождество.
Уравнение (4.4) имеет по сравнению с системой (4.2) более симметричную форму записи, напоминающую скалярное уравнение первого порядка: и "коэффициент"A(t) уравнения и искомая функция Y (t) являются объектами одинаковой природы – матричными функциями. Связь между решениями системы (4.2) и матричнымуравнением (4.4) устанавливает следующая теорема.Теорема 4.1.1. Вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) являются решениями однородной системы (4.2) на отрезке [a, b] тогда и толькотогда, когда составленная из этих функций матрица Y (t) вида (4.3)является решением матричного дифференциального уравнения (4.4).Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим решения y 1 (t), y 2 (t), .
. . , y n (t) системы (4.2) и составим из них матрицуY (t) вида (4.3). Посколькуdy j (t)= A(t)y j (t),dtj = 1, . . . , n,92Глава 4. Общая теория линейных системто для соответствующей матричной производной, элементы которойсгруппированы по столбцам, получаем равенстваdY (t)=dtdy 1 (t) dy 2 (t)dy (t),,..., ndtdtdt== (Ay 1 (t), Ay 2 (t), . . . , Ay n (t)) = A(t)Y (t).То есть выполнено матричное уравнение (4.4). Аналогично, расписываяматричное уравнение (4.4) по столбцам, доказывается достаточность.Теорема 4.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
