ОДУ - 1 (1086549), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Сопоставим каждой скалярной функции ϕj (t) рассматриваемого семействавектор-функцию ϕj (t), j = 1, . . . , m, составленную из самой функции иее производных до порядка m − 1 включительно:(m−1)ϕj (t) = (ϕj (t), ϕ0j (t), . . . , ϕj(t))> ,j = 1, . . . , m.(B.1)Лемма B.1.1. Система ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t), состоящая из (m−1)раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] скалярных функций, является линейно зависимой на этом отрезка тогда и толькоB.1.
Общая теория линейных уравнений с точки зрения систем113тогда, когда соответствующая система построенных согласно (B.1)вектор-функций ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t) является линейно зависимой наотрезке [a, b].Доказательство. Из определения (3.17) линейной зависимости скалярных функций вытекает существование такого нетривиального наборакомплексных констант c1 , c2 , . .
. , cm , что на отрезке [a, b] выполненыровно m равенствc1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) + · · · + cm ϕm (t) = 0,c1 ϕ01 (t) + c2 ϕ02 (t) + · · · + cm ϕ0m (t) = 0,...(m−1)(m−1)(m−1)c1 ϕ1(t) + c2 ϕ2(t) + · · · + cm ϕm(t) = 0,(B.2)первое из которых есть в точности (3.17), а остальные получаютсяпочленным дифференцированием (3.17) соответствующее число раз. Спомощью (B.1) уравнения (B.2) можно записать в векторном видеc1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) + · · · + cm ϕm (t) = 0,(B.3)который согласно (4.5) означает линейную зависимость вектор-функцийϕ1 (t), ϕ2 (t), .
. . , ϕm (t).Обратно, из линейной зависимости построенных в (B.1) векторфункций ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t) следуют векторное равенство (B.3) и покоординатные равенства (B.2). Первое из равенств (B.2) есть в точности(3.17).Установленная связь между свойствами линейной зависимости скалярных функций и вектор-функций позволяет получить доказанное ранее в теореме 3.3.1 необходимое условие линейной зависимости скалярных функций как простое следствие соответствующей теоремы 4.2.1 длявектор-функций.Теорема B.1.1.
Если система (m − 1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] скалярных функций ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t),является линейно зависимой на отрезке [a, b], то определитель Вронского этой системы тождественно равен нулю на этом отрезке:W [ϕ1 , . . . , ϕm ](t) = 0,∀ t ∈ [a, b].114Приложение BДоказательство. Из линейной зависимости скалярных функцийϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕm (t)согласно лемме B.1.1 вытекает линейная зависимость соответствующихвектор-функцийϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕm (t).В силу (B.1) определитель Вронского построенной системы векторфункций в точности совпадает с определителем Вронского исходнойсистемы скалярных функций:∆(t) = det(ϕ1 (t), ϕ2 (t), . .
. , ϕm (t)) =ϕ1 (t)ϕ2 (t)...ϕm (t)0 ϕ01 (t)ϕ(t)...ϕ0m (t)1= det ............(m−1)(m−1)(m−1)(t)ϕ1(t) ϕ2(t) . . . ϕm = W [ϕ1 , . . . , ϕm ](t).Поэтому равенство нулю определителя Вронского W [ϕ1 , . . . , ϕm ](t) естьследствие векторной теоремы 4.2.1, согласно которой ∆(t) = 0.B.2. Линейная зависимость решений линейногооднородного дифференциального уравненияРассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n c произвольными непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами aj (t) ∈ R, j = 0, . .
. , n, a0 (t) 6= 0:a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = 0.(B.4)Уравнение (B.4) эквивалентно линейной однородной системе дифференциальных уравненийdy(t)= A(t)y(t),dt(B.5)B.2. Общая теория линейных уравнений с точки зрения систем115гдеA(t) = 00...10...01...0an (t)−a0 (t)0an−1 (t)−a0 (t)0an−2 (t)−a0 (t)......00......,...1a1 (t) ... −a0 (t)в следующем смысле: если y(t) – решение уравнения (B.4), то векторфункция y(t) = (y(t), y 0 (t), .
. . , y (n−1) (t))> является решением системы(B.5). И наоборот, если вектор-функция y(t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t))>является решением системы (B.5), то первая компонента y1 (t) являетсярешением уравнения (B.4).Рассмотрим систему скалярных функций y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t), являющихся решением линейного однородного уравнения (B.4) порядка n.Имея в виду установленную выше связь между скалярными функциямии вектор-функциями, приведем доказательство теоремы об альтернативе для определителя Вронского для решений линейного однородногоуравнения (B.4) как следствие соответствующей теоремы для системы(B.5).Теорема B.2.1.
Для решений y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) линейного однородного уравнения (B.4) на отрезке [a, b] справедлива следующая альтернатива:• либо W [y1 , . . . , yn ](t) ≡ 0 на отрезке [a, b] и функции y1 (t), y2 (t),. . . , yn (t) линейно зависимы на этом отрезке;• либо W [y1 , . . . , yn ](t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b] и функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)линейно независимы на [a, b].Доказательство. Пусть в некоторой точке t0 ∈ [a, b] определительВронского равен нулю: W [y1 , .
. . , yn ](t0 ) = 0. Тогда составленная извектор-столбцов(n−1)y j (t) = (yj (t), yj0 (t), . . . , yj(t))> ,j = 1, . . . , n,являющихся решениями линейной однородной системы (B.5), функциональная матрицаY (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t))116Приложение Bвырождена при t = t0 : det Y (t0 ) = W [y1 , . . . , yn ](t0 ) = 0.
Согласно установленной в теореме 4.2.3 альтернативе для решений однородной системы дифференциальных уравнений заключаем, что det Y (t) ≡ 0 наотрезке [a, b], и вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) линейно зависимына этом отрезке. В силу леммы B.1.1 отсюда следует линейная зависимость скалярных функций y1 (t), y2 (t), .
. . , yn (t) на рассматриваемомотрезке и W [y1 , . . . , yn ](t) ≡ 0 на отрезке [a, b].Если же в некоторой точке t0 ∈ [a, b] определитель Вронского отличен от нуля, det Y (t0 ) = W [y1 , . . . , yn ](t0 ) 6= 0, то, согласно установленной в теореме 4.2.3 альтернативе для решений однородной системы дифференциальных уравнений, заключаем, что W [y1 , .
. . , yn ](t) =det Y (t) 6= 0 на отрезке [a, b], и вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)линейно независимы на этом отрезке. В силу леммы B.1.1 отсюда следует линейная независимость скалярных функций y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)на рассматриваемом отрезке.B.3. Фундаментальная система решений иобщее решение линейного однородногодифференциального уравненияНапомним, что фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения (B.4) порядка n на отрезке [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого уравнения.Теорема B.3.1.
У любого линейного однородного дифференциального уравнения (B.4) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентамиaj (t), j = 1, . . . , n, a0 (t) 6= 0, существует фундаментальная системарешений на [a, b].Доказательство. Рассмотрим эквивалентную уравнению (B.4) однородную систему (B.5). Согласно теореме 4.3.1 у этой системы существует фундаментальная матрица Y (t), ее вектор-столбцы составляют фундаментальную систему решений (B.5).
Тогда в силу леммы B.1.1 первыекомпоненты этих вектор-столбцов являются линейно независимыми решениями уравнения (B.4) и поэтому составляют его фундаментальнуюсистему решений.B.4. Общая теория линейных уравнений с точки зрения систем117Теорема B.3.2. Пусть y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) – фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения(B.4) на отрезке [a, b]. Тогда общее решение этого уравнения на рассматриваемом отрезке имеет видyOO (t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + · · · + cn yn (t),∀cj ∈ C,j = 1, .
. . , n. (B.6)Доказательство. Функция в (B.6) дает решение линейного однородного уравнения (B.4) как линейная комбинация его решений. Осталось показать, что выбором вектора констант в формуле (B.6) можно охватитьвсе решения (B.6). Действительно, зафиксируем произвольное решениеy(t) уравнения (B.6) и составим вектор-функциюy(t) = (y(t), y 0 (t), . . . , y (n−1) (t))> ,а также вектор-функции(n−1)y j (t) = (yj (t), yj0 (t), . . . , yj(t))> ,j = 1, . . .
, n,отвечающие фундаментальной системе решений. Построенные векторфункции являются решениями линейной однородной системы (B.5),причем по лемме B.1.1 система вектор-функций y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) линейно независима на отрезке [a, b] и поэтому составляет фундаментальную систему решений для системы уравнений (B.5) на рассматриваемомотрезке. Тогда по теореме 4.3.2 об общем решении линейной однородной системы для любого решения (B.5), а значит и для данного y(t),найдутся такие константы c1 , c2 , . . . , cn , что всюду на [a, b] выполненовекторное равенство y(t) = c1 y 1 (t) + c2 y 2 (t) + · · · + cn y n (t), первые компоненты которого дают равенствоy(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + · · · + cn yn (t).Отметим, что для фиксированного решения y(t) константы c1 , c2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
