Mol_Phys (1083894), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Èíòåðåñíî, ÷òî ñòðîãàÿòåîðèÿ äèôôóçèè, â êîòîðîé ó÷èòûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö ïðèìåñè è ìîëåêóëîñíîâíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì, äàåò òàêóþ æå ôîðìóëó äëÿ êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè,ïðè÷åì ñ òåì æå ñàìûì ìíîæèòåëåì 1/3.Èç âûðàæåíèÿ (7.26) ìîæíî âûâåñòè èíòåðåñíûå ñëåäñòâèÿ, êîòîðûå äîïóñêàþòýêñïåðèìåíòàëüíóþ ïðîâåðêó. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìîëåêóëû ïðèìåñèè ìîëåêóëû îñíîâíîãî ãàçà ïðèìåðíî îäèíàêîâû ïî ìàññå è ýôôåêòèâíîìó ñå÷åíèþ59 .
 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íå ðàçëè÷àòü âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ ê ïðèìåñíûì÷àñòèöàì è ê ìîëåêóëàì îñíîâíîãî ãàçà. Ïîäñòàâëÿÿ â (7.26) âûðàæåíèÿ (6.54)è (7.5) äëÿ ñðåäíåé ñêîðîñòè è äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà è îïóñêàÿ âñå êîýôôèöèåíòû, íàõîäèì, êàê êîýôôèöèåíò äèôôóçèè çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿãàçà:T 3/2.(7.27)D∼pÊîíöåíòðàöèþ ìîëåêóë n ìû èñêëþ÷èëè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ p = nkTè ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå ìîëåêóëû σ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Çàâèñèìîñòü (7.27) õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè ïî äèôôóçèèâ ãàçàõ60 .7.3.Òåïëîïðîâîäíîñòü ãàçîâÐàññìîòðèì òåïåðü ïåðåíîñ òåïëà â ãàçå, â êîòîðîì èìååòñÿ ñòàöèîíàðíûé ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû dT /dx. Ýêñïåðèìåíòàëüíî òàêóþ ñèòóàöèþ ìîæíî ðåàëèçîâàòü,íàïðèìåð, â ïëîñêîì ñëîå ãàçà, âåðõíÿÿ ÷àñòü êîòîðîãî ïîääåðæèâàåòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå T1 , à íèæíÿÿ ÷àñòü ïðè òåìïåðàòóðå T2 6= T1 .
Äëÿ íàáëþäåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ÷èñòîì âèäå, ãàç â âåðõíåé ÷àñòè äîëæåí áûòü ãîðÿ÷åå, ÷åì âíèçó,59 Ïðîöåññäèôôóçèè ìîëåêóë â ãàçå, ñîñòîÿùåì èç òàêèõ æå ìîëåêóë, íàçûâàåòñÿñàìîäèôôóçèåé. ×òîáû íàáëþäàòü ñàìîäèôôóçèþ, ïðèìåñíûå ìîëåêóëû íóæíîêàêèì-òî ñïîñîáîì "ïîìåòèòü". Íàïðèìåð, ìîæíî íàáëþäàòü äèôôóçèþ ìîëåêóëðàäèîàêòèâíîãî èçîòîïà â ãàçå.60 Êàê óæå îòìå÷àëîñü, íà ñàìîì äåëå σ ñëåãêà çàâèñèò îò T , ïîýòîìó çàâèñèìîñòüêîýôôèöèåíòà äèôôóçèè îò òåìïåðàòóðû îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé (7.27) ìåíåå òî÷íî, ÷åì åãî çàâèñèìîñòü îò äàâëåíèÿ.79ïîòîìó ÷òî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîãóò âîçíèêíóòü èäóùèå ââåðõ êîíâåêòèâíûå ïîòîêè ãàçà (òàêèå ïîòîêè âîçäóõà îò íàãðåòîé çåìëè, ìîæíî çàìåòèòü â æàðêèé ëåòíèéäåíü).Àíàëèç ÿâëåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ãàçîâ âî ìíîãîì íàïîìèíàåò àíàëèç äèôôóçèè, ïîýòîìó íàøè ðàññóæäåíèÿ áóäóò áîëåå êðàòêèìè.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç qx ïëîòíîñòü ïîòîêà òåïëà âäîëü îñè x. Ïî îïðåäåëåíèþ, ýòà âåëè÷èíà ðàâíà êîëè÷åñòâóòåïëà, ïåðåíîñèìîìó çà îäíó ñåêóíäó ÷åðåç ïëîùàäêó ñ åäèíè÷íîé ïëîùàäüþ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x. Ðàçìåðíîñòü ïëîòíîñòè ïîòîêà òåïëà î÷åâèäíà Äæ/ì2 · ñ. Ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà òåìïåðàòóðà T (x) ìåíÿåòñÿîò òî÷êè ê òî÷êå äîñòàòî÷íî ïëàâíî, âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåqx = −κdT,dx(7.28)êîòîðîå íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Ôóðüå. Ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìå çàêîí Ôóðüå íàïîìèíàåò çàêîí Ôèêà (7.21) äëÿ äèôôóçèè. Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè κ(ãðå÷åñêàÿ áóêâà "êàïïà") ìåæäó ïëîòíîñòüþ ïîòîêà òåïëà è ãðàäèåíòîì òåìïåðàòóðû íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì òåïëîïðîâîäíîñòè61 .Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè ãàçîâ ïðîâîäèòñÿ ïðèìåðíî òàêæå, êàê âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè.
Ðàññìîòðèì ñíîâà ïëîùàäêó S , ðàñïîëîæåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè x (ñì. Ðèñ. 7.3) è íàéäåì êîëè÷åñòâî òåïëà ∆Q,ïåðåíîñèìîãî ÷åðåç ïëîùàäêó S çà âðåìÿ, ðàâíîå ñðåäíåìó âðåìåíè ñâîáîäíîãî ïðîáåãà τ . Î÷åâèäíî, ÷òî ∆Q ðàâíî ðàçíîñòè çíà÷åíèé ýíåðãèè òåïëîâîãî äâèæåíèÿ,êîòîðóþ ïåðåíîñÿò ìîëåêóëû, ïåðåñåêàþùèå ïëîùàäêó â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ. Âåëè÷èíà ñðåäíåé ýíåðãèè ε̄ ìîëåêóëû ãàçà çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, ïîýòîìó ìîëåêóëà,ëåòÿùàÿ âäîëü îñè x, ïåðåíîñèò â ñðåäíåì ýíåðãèþ ε̄(x − λ), à ìîëåêóëà, ëåòÿùàÿ âïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, ïåðåíîñèò â ñðåäíåì ýíåðãèþ ε̄(x + λ).Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåäåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå (ñîâåòóåì ÷èòàòåëþ ñàìîìó ýòî ïðîäåëàòü), ïîëó÷àåì äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà òåïëà âûðàæåíèå1qx = − hvi n [ε̄(x + λ) − ε̄(x − λ)] .6(7.29)Äâà ÷ëåíà â ýòîì âûðàæåíèè ñîîòâåòñòâóþò âêëàäó ìîëåêóë, ëåòÿùèõ â ïîëîæèòåëüíîì è îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèÿõ îñè x. Çäåñü íóæíî ñäåëàòü îäíî çàìå÷àíèå.
Íàïîìíèì, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìîëåêóëû hvi è êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë nçàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû. Òàêèì îáðàçîì, åñëè òåìïåðàòóðà èçìåíÿåòñÿ âäîëü îñè x,òî êàæåòñÿ, ÷òî äëÿ ìîëåêóë, ëåòÿùèõ ñïðàâà è ñëåâà, âåëè÷èíà nhvi äîëæíà èìåòüðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ. Ìû, îäíàêî, ïðè çàïèñè ôîðìóëû (7.29) íå ó÷èòûâàëè ýòîðàçëè÷èå. Âîçíèêàåò âîïðîñ ïî÷åìó? Äåëî â òîì, ÷òî â íàøåì óïðîùåííîì àíàëèçå (1/6)nhvi èãðàåò ðîëü ñðåäíåãî ïîòîêà ÷àñòèö âäîëü îñè x. Åñëè ýòà âåëè÷èíàðàçëè÷íà ñëåâà è ñïðàâà îò ïëîùàäêè, òî, êàê íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, èìååòñÿ ñðåäíèé (êîíâåêòèâíûé) ïîòîê ãàçà ÷åðåç ïëîùàäêó.
Ìû æå ðàññìàòðèâàåì ñèòóàöèþ,êîãäà êîíâåêòèâíûõ ïîòîêîâ íåò, à ïåðåíîñ ýíåðãèè ïðîèñõîäèò òîëüêî èç-çà ñòîëêíîâåíèé ìîëåêóë; èìåííî òàêîé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ òåïëîïðîâîäíîñòüþ. Ïîýòîìó61 ÇàêîíÔóðüå (7.28) ñïðàâåäëèâ íå òîëüêî äëÿ ãàçîâ, íî è äëÿ æèäêîñòåé è èçîòðîïíûõ êðèñòàëëîâ.80ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ñëåâà è ñïðàâà îò ïëîùàäêè òîëüêî ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëûèìååò ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.Âåðíåìñÿ ê ñîîòíîøåíèþ (7.29) è ïðåîáðàçóåì åãî â çàêîí Ôóðüå (7.28).
Ñíà÷àëàíóæíî âûðàçèòü ñðåäíþþ ýíåðãèþ ìîëåêóëû ÷åðåç òåìïåðàòóðó. Äëÿ ãàçà ýòî ñäåëàòü íåòðóäíî, ïîñêîëüêó ε̄ = (i/2) kT , ãäå i ýôôåêòèâíîå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäûìîëåêóëû. Äàëåå, ñ÷èòàÿ, ÷òî òåìïåðàòóðà ìàëî ìåíÿåòñÿ íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêàäëèíû ïðîáåãà ìîëåêóëû, ìîæíî çàïèñàòü T (x + λ) − T (x − λ) ≈ 2λ (dT /dx).
Ïîñëåýòîãî ôîðìóëà (7.29) äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà òåïëà ïðèíèìàåò âèä çàêîíà Ôóðüå:dTi.qx = − k n hvi λ6dxÎòñþäà íàõîäèì êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ãàçà:κ=ik n hvi λ.6(7.30)(7.31)Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ äîêàçàòü (ñì. Óïðàæíåíèå 7.2.), ÷òîýòî âûðàæåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî è â òàêîì âèäå:κ=1hvi λ% cv ,3(7.32)ãäå % = mn ïëîòíîñòü ìàññû â ãàçå, à cv óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðèïîñòîÿííîì îáúåìå.Ôîðìóëû (7.31) è (7.32) âàæíûå ðåçóëüòàòû êèíåòè÷åñêîé òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè ãàçîâ. Ìû, êîíå÷íî, íå ìîæåì ãàðàíòèðîâàòü ïðàâèëüíîñòü ÷èñëîâîãîêîýôôèöèåíòà, òàê êàê èñïîëüçîâàëè äîâîëüíî ãðóáûå ïðèáëèæåíèÿ, íî îæèäàåì,÷òî çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè îò õàðàêòåðèñòèê ìîëåêóë è òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ïåðåäàåòñÿ ïðàâèëüíî62 .Îáðàòèì âíèìàíèå íà îäíî èíòåðåñíîå è ñîâñåì íå î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå èç ôîðìóëû (7.31).
Åñëè âñïîìíèòü ñîîòíîøåíèå λ = 1/nσ , òî êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìîæíî çàïèñàòü â âèäåik hvi.(7.33)κ=6σÑðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìîëåêóëû, êàê èçâåñòíî, çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è íå çàâèñèòîò ïëîòíîñòè ãàçà. Ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå σ çàâèñèò îò ðàçìåðîâ ìîëåêóë è ñëåãêàçàâèñèò îò òåìïåðàòóðû. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî êîýôôèöèåíòòåïëîïðîâîäíîñòè íå çàâèñèò îò ïëîòíîñòè ãàçà ! Äåëî â òîì, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì ïëîòíîñòè óìåíüøàåòñÿ ÷èñëî ìîëåêóë, ïåðåíîñÿùèõ ýíåðãèþ, íî îäíîâðåìåííîóâåëè÷èâàåòñÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë.
Ýòè ôàêòîðû òî÷íî êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Âïðî÷åì, íàøè ðàññóæäåíèÿ íå ãîäÿòñÿ äëÿ ãàçîâ, â êîòîðûõ äëèíàñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è ðàçìåðû ñîñóäà63 .  òàêèõ62 Áîëååòî÷íûé ðàñ÷åò êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè äåéñòâèòåëüíî ïðèâîäèòê ôîðìóëå (7.31), íî ñ äðóãèì ÷èñëîâûì êîýôôèöèåíòîì.63 Ïðè âûâîäå ôîðìóëû (7.31) ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî òåìïåðàòóðà ìàëî èçìåíÿåòñÿíà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà.
 ñèëüíî ðàçðåæåííûõ ãàçàõìîëåêóëà ìîæåò ïðîëåòåòü îò îäíîé ñòåíêè äî äðóãîé âîîáùå áåç ñòîëêíîâåíèé ñäðóãèìè ìîëåêóëàìè.81ãàçàõ êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè íà÷èíàåò óáûâàòü ïðè óìåíüøåíèè ïëîòíîñòè. Ýòîò ôàêò ó÷èòûâàåòñÿ ïðè èçãîòîâëåíèè ñîñóäîâ Äüþàðà è òåðìîñîâ.
Ïîêàðàññòîÿíèå ìåæäó äâîéíûìè ñòåíêàìè òåðìîñà d çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò äëèíóñâîáîäíîãî ïðîáåãà λ, îòêà÷êà ãàçà ìåæäó ñòåíêàìè íå ïðèâîäèò ê óëó÷øåíèþ òåïëîèçîëÿöèè. Åñëè, îäíàêî, ïëîòíîñòü ãàçà ïîíèçèòñÿ íàñòîëüêî, ÷òî d ≈ λ, îòêà÷êàñòàíîâèòñÿ ýôôåêòèâíîé.7.4.Âÿçêîñòü ãàçîâÕîðîøî èçâåñòíî, ÷òî, â îòëè÷èå îò òâåðäûõ òåë, æèäêîñòü èëè ãàç ëåãêî ïðèâåñòèâ äâèæåíèå, ïðèëîæèâ íàïðÿæåíèå ñäâèãà. Îáùåé òåîðèåé äâèæåíèÿ æèäêîñòåé èãàçîâ çàíèìàåòñÿ ñïåöèàëüíàÿ íàóêà ãèäðîäèíàìèêà 64 . Ìû îáñóäèì òîëüêî îäèíâîïðîñ, èìåþùèé íåïîñðåäñòâåííîå îòíîøåíèå ê êèíåòèêå, âîçíèêíîâåíèå ñèëâíóòðåííåãî òðåíèÿ â ãàçå, ò.å. âÿçêîñòè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ äâå ïëàñòèíû, ìåæäó êîòîðûìè íàõîäèòñÿ ãàç (ñì.Ðèñ. 7.4), ïðè÷åì îäíà èç ïëàñòèí íåïîäâèæíà, à äðóãàÿ äâèæåòñÿ ïàðàëëåëüíî åéñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 .→u0Åñëè èçìåðèòü ñèëó F , êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ê âåðõíåé ïëàñòèíå äëÿ ïîääåðæàíèÿ åå äâèæåíèÿ,òî îêàæåòñÿ, ÷òî ýòà ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè ïëàñòèíû S è îòíîøåíèþ u0 /d, ãäå d ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè.→FdÐèñ.
7.4Òàêèì îáðàçîì, ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òîF =ηu0S.d(7.34)Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè η íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì âÿçêîñòè.Åñëè ïåðåéòè ê îáùåìó ñëó÷àþ, òî ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü â ãàçå ìàëóþ ïëîùàäêó ∆S , ïàðàëëåëüíóþ ñêîðîñòè ïîòîêà ~u (ñì. Ðèñ.
7.5).yx→ΔFy+λy−λΔS→uÐèñ. 7.564 Ïîîòíîøåíèþ ê ãàçàì îáû÷íî óïîòðåáëÿåòñÿ òåðìèí "ãàçîäèíàìèêà".82Åñëè âáëèçè ïëîùàäêè ïðè ïåðåìåùåíèè íà ìàëîå ðàññòîÿíèå ∆y ïîïåðåê ïîòîêà ñêîðîñòü ïîòîêà èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó ∆ux , òî ñèëà ∆F , äåéñòâóþùàÿ íàïëîùàäêó, çàïèøåòñÿ â âèäå∆F = η∆uxdu∆S = η x ∆S.∆ydy(7.35)Ýòî ñîîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ íüþòîíîâñêèì çàêîíîì âÿçêîñòè.Ôèçè÷åñêàÿ ïðè÷èíà âîçíèêíîâåíèÿ ñèë âÿçêîñòè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Åñëèãàç äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ux (y), òî êàæäàÿ ìîëåêóëà îáëàäàåò èìïóëüñîì px = muxóïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ.  òî æå âðåìÿ ìîëåêóëû, ó÷àñòâóÿ â òåïëîâîì äâèæåíèè, ñîâåðøàþò ïåðåõîäû ìåæäó ñëîÿìè ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè óïîðÿäî÷åííîãîäâèæåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
