Mol_Phys (1083894), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. , 6) ïðè áðîñàíèèêàæäîé êîñòè ðàâíà P (i) = 1/6. Íàéäåì âåðîÿòíîñòü P (1, 3) òîãî, ÷òî ïðè áðîñàíèèäâóõ êîñòåé íà ïåðâîé âûïàäåò 1 î÷êî, à íà âòîðîé 3 î÷êà. Äàííîå ñîáûòèå îäíîâðåìåííîå ïîÿâëåíèå äâóõ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ñ èçâåñòíûìè âåðîÿòíîñòÿìè,ïîýòîìó P (1, 3) = P (1)P (3) = 1/36. Âû÷èñëèì òåïåðü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A,êîòîðîå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñóììà î÷êîâ íà äâóõ êîñòÿõ ðàâíà 4. Ñîáûòèå A ìîæíîðàçëîæèòü íà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ (îáîçíà÷èì èõ ÷èñëîì î÷êîâ íà ïåðâîéè âòîðîé êîñòÿõ): (1,3), (2,2), (3,1). Âåðîÿòíîñòü êàæäîé èç àëüòåðíàòèâ ðàâíà,î÷åâèäíî, 1/36. Ïîýòîìó P (A) = 3 · (1/36) = 1/12.Äëÿ ïðèëîæåíèé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ê ôèçè÷åñêèì ïðîáëåìàì íàèáîëåå âàæíîå çíà÷åíèå èìååò ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ýòîôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà x, ïðè èçìåðåíèè êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå çíà÷åíèåèç íåêîòîðîãî íàáîðà x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xk . Ïðèìåðàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóòñëóæèòü êîîðäèíàòû ìîëåêóëû, åå ñêîðîñòü èëè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ. Çàìåòèì,îäíàêî, ÷òî â ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêå íàèáîëåå èíòåðåñíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èìåþò, ê ñîæàëåíèþ, íåïðåðûâíûé íàáîð çíà÷åíèé, êîòîðûé íåâîçìîæíî çàíóìåðîâàòüêàêèì-òî èíäåêñîì.
Äëÿ ïðîñòîòû ìû ñíà÷àëà ðàññìîòðèì äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ò.å. âåëè÷èíû ñ äèñêðåòíûì íàáîðîì âîçìîæíûõ çíà÷åíèé xi , àïîòîì ïîêàæåì, êàê ïåðåéòè ê íåïðåðûâíîìó ñëó÷àþ.Âåðîÿòíîñòü P (xi ) ïîÿâëåíèÿ ïðè èçìåðåíèè íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ xi äèñêðåòíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíà, î÷åâèäíî,N (xi ),N →∞NP (xi ) = lim(6.5)ãäå N (xi ) ÷èñëî èçìåðåíèé, â êîòîðûõ ïîÿâëÿåòñÿ ýòî çíà÷åíèå, ê ïîëíîìó ÷èñëóèçìåðåíèé. Ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí P (xi ) íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé. Îíî ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ñâîéñòâà äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Ïîÿâëåíèÿ çíà÷åíèé xi ïðè èçìåðåíèè îáðàçóþò, î÷åâèäíî, ïîëíóþ ñèñòåìó ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþXâñåP (xi ) = 1,(6.6)xiêîòîðîå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì íîðìèðîâêè äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.Çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, ìîæíî âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå èç çíà÷åíèé,ïîëó÷åííûõ â áîëüøîì ÷èñëå èçìåðåíèé45 :x̄ ≡ hxi =1 Xx N (xi ).N x iâñå45 Èìåííîiñðåäíèå çíà÷åíèÿ èìåþò ñìûñë îáúåêòèâíûõ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èçìåðåíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.56Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó N → ∞ è âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå (6.5), ïîëó÷àåìXx̄ ≡ hxi =âñåxi P (xi ).(6.7)xi òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñðåäíåå çíà÷åíèå, âû÷èñëåííîå ïî ýòîé ôîðìóëå, ÷àñòî íàçûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
 ôèçèêå, îäíàêî,ýòîò òåðìèí íå ïðèæèëñÿ.Ñ ïîìîùüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ìîæíî òàêæå âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ(xi ) (ïðîâåðüòå ñàìè!):hϕi =Xϕ(xi ) P (xi ).(6.8)xiÍàïðèìåð,hx2 i =Xx2i P (xi ).xiÏðèâåäåì åùå îäèí ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Âû÷èñëèìâåðîÿòíîñòü P (a < x < b) òîãî, ÷òî ïðè èçìåðåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x ïîëó÷èòñÿçíà÷åíèå, ëåæàùåå â èíòåðâàëå îò a äî b. Ýòî ñîáûòèå ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïîïàðíîíåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ Ai (x = xi ; a < xi < b). Ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå î ñëîæåíèèâåðîÿòíîñòåé,XP (a < x < b) =P (xi ).(6.9)a<xi <bÎáû÷íî ïðè èçó÷åíèè ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ íåñêîëüêèìèñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.
Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêèõ âåëè÷èí âñåãî äâå;îáîçíà÷èì èç x è y . Àíàëîãîì ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ îäíîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåéP (xi , yj ). Âåëè÷èíà P (xi , yj ) åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè èçìåðåíèè äëÿ x áóäåòïîëó÷åíî çíà÷åíèå xi , à äëÿ y çíà÷åíèå yj . ßñíî, ÷òî ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèåâåðîÿòíîñòåé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íîðìèðîâêèXâñåP (xi , yj ) = 1.(6.10)xi ,yjÎáîáùåíèå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé (6.11) íà ñëó÷àé äâóõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí î÷åâèäíî.
Åñëè Φ(xi , yj ) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ýòèõ âåëè÷èí, òîhΦi =XΦ(xi , yj ) P (xi , yj ).(6.11)xi ,yjÑòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè åñòåñòâåííî íà-çûâàòü òàêèå âåëè÷èíû, äëÿ êîòîðûõP (xi , yj ) = P (xi ) P (yj ).57(6.12)Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí ñîáûòèÿ, ñîñòîÿùèå â òîì, ÷òî x = xi èy = yj , äîëæíû áûòü íåçàâèñèìûìè ñîáûòèÿìè.Äîêàæåì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àåhxyi = hxihyi(äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí).(6.13)Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì ñðåäíåå çíà÷åíèå hxyi ñëåäóþùèì îáðàçîì:XXhxyi ≡xi yj P (xi , yj ) =xi yj P (xi ) P (yj ) =xi ,yjxi ,yjXX= xi P (xi ) yj P (yj ) = hxihyi,xiyjãäå ìû èñïîëüçîâàëè ñîîòíîøåíèå (6.12) äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî, çíàÿ ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé P (xi , yj ),ìîæíî íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P (xi ) è P (yj ) (ïðè ýòîì âåëè÷èíû x èy íå îáÿçàíû áûòü íåçàâèñèìûìè). Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ñîáûòèå A(x = xi ),âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà P (xi ), ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ Aj (x = xi , y = yj ), ãäå yj ëþáîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå y .
Òîãäà, ñîãëàñíîòåîðåìå î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé, èìååìP (xi ) =XâñåP (xi , yj ).(6.14)yjÀíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äëÿ y .Äî ñèõ ïîð âñå áûëî ïðîñòî, òàê êàê ïðèâåäåííûå âûøå ïîíÿòèÿ äëÿ äèñêðåòíûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí î÷åâèäíûå îáîáùåíèÿ ïîíÿòèé ýëåìåíòàðíîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ìíîãèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ò.å. îíè èìåþò íåïðåðûâíûé íàáîð âîçìîæíûõçíà÷åíèé (íàïðèìåð, êîîðäèíàòû èëè ñêîðîñòü ìîëåêóëû). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå îòíåêîòîðîãî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ xmin äî ìàêñèìàëüíîãî xmax .
Ðàçáåðåìñÿ, ïî÷åìó íàøè ïðåäûäóùèå ïîñòðîåíèÿ òåïåðü íå ñïðàâåäëèâû. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì,÷òî ñàìî ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòü P (x) òîãî, ÷òî ïðè èçìåðåíèè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëó÷èòñÿ çíà÷åíèå x òåïåðü íå èìååò ñìûñëà. Òî÷íåå, ýòà âåðîÿòíîñòü äëÿ ëþáîãî xmin ≤ x ≤ xmax ðàâíà íóëþ! Äåëî â òîì, ÷òî ÷èñëî èçìåðåíèéN (äàæå åñëè îíî î÷åíü âåëèêî) âñåãäà ïðåíåáðåæèìî ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ êîëè÷åñòâîì âîçìîæíûõ çíà÷åíèé x â èíòåðâàëå îò xmin äî xmax . Äàæå åñëè äîïóñòèòü, ÷òîïðîâåäåíî áåñêîíå÷íî ìíîãî èçìåðåíèé N , ïîäàâëÿþùåå ÷èñëî çíà÷åíèé x âîîáùåíå ïîÿâèòñÿ46 ! Ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ x íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû [ò.å. ÷àñòîòà åãî ïîÿâëåíèÿ, âû÷èñëåííàÿ ïî ôîðìóëå(6.5)] ðàâíà íóëþ.46 Äåéñòâèòåëüíî,ëþáàÿ ñåðèÿ èçìåðåíèé äàåò äèñêðåòíûé íàáîð çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, â òî âðåìÿ êàê âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ x íåïðåðûâíû.
 ìàòåìàòèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äàæå áåñêîíå÷íûé íàáîð äèñêðåòíûõ òî÷åê íå ìîæåò"ïîêðûòü" íåïðåðûâíîå ìíîæåñòâî.58Êàê æå ðàçóìíî ââåñòè ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äëÿ çíà÷åíèé íåïðåðûâíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû? Ïîñêîëüêó ìû óæå çíàåì, êàê ïîñòóïàòü ñ äèñêðåòíûìèâåëè÷èíàìè, ïðåâðàòèì íàøó ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó x â äèñêðåòíóþ.Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì èíòåðâàë (xmin , xmax )Δxíà áîëüøîå ÷èñëî N èíòåðâàëîâ ∆x =x(xmax − xmin )/N è çàíóìåðóåì èõ èíäåêñîì i (ñì. Ðèñ. 6.1).
×òîáû âåðíóòüñÿ êxixmaxxminíåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, íóæíîÐèñ. 6.1áóäåò ïîòîì âûïîëíèòü ïðåäåë N → ∞.Òàê êàê ÷èñëî èíòåðâàëîâ N êîíå÷íî, ìîæíî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîïðè èçìåðåíèè çíà÷åíèå x ïîïàäåò â i-é èíòåðâàë:(6.15)δPi = P (xi < x < xi + ∆x).Ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí δPi ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåéäëÿ èíòåðâàëîâ i. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå óäîáíî èçîáðàæàòü ãðàôè÷åñêè â âèäå ãèñòîãðàììû (ñì.
Ðèñ. 6.2). Ïëîùàäü êàæäîé ïîëîñêè íà ãèñòîãðàììå ðàâíà âåðîÿòíîñòè δPi . Ïîýòîìó âûñîòà ïîëîñêè îïðåäåëÿåòñÿ êàê f (xi ) = δPi /∆x. Òàêèì îáðàçîì,f (xi ) åñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ x â åäèíè÷íûé èíòåðâàë.f(x)f(xi)xxminxixmaxÐèñ. 6.2Çàìåòèì, ÷òî âìåñòî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé δPi äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x ìîæíî èñïîëüçîâàòüíàáîð çíà÷åíèé f (xi ). Ïîñêîëüêó ïîïàäàíèå çíà÷åíèÿ x â ðàçíûå èíòåðâàëû ∆x ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ, òî ìûèìååì óñëîâèå íîðìèðîâêèXXδPi =f (xi ) ∆x = 1.(6.16)iiÄàëüøå âñå ïðîñòî. Ïðè ñòðåìëåíèè èíòåðâàëîâ ∆x ê íóëþ ãèñòîãðàììà ïðåâðàùàåòñÿ â íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ f (x), ïîêàçàííóþ íà Ðèñ.
6.3.Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåéf(x)ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íà ïåðâûé âçãëÿäδP(x)ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî f (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü çíà÷åíèåx ïðè èçìåðåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îäíàêî, êàê ìû óæå âûÿñíèëè, òàêàÿâåðîÿòíîñòü äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíà íóëþ.xxmindxxmaxÐèñ. 6.3Äëÿ ïðàâèëüíîé èíòåðïðåòàöèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ çàìåòèì, ÷òî ðåàëüíûéñìûñë èìååò ëèøü âåðîÿòíîñòü δP (x) òîãî, ÷òî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîïàäàþò â ìàëûé èíòåðâàë dx îêîëî x (íà ïðàêòèêå âûáîð dx îïðåäåëÿåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ èçìåðåíèé, íî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü dx áåñêîíå÷íî59ìàëûì èíòåðâàëîì). Òàê êàê f (x) ïîëó÷àåòñÿ èç ãèñòîãðàììû êàê ïðåäåë âûñîòûïîëîñêè, òî ìîæíî çàïèñàòüδP (x) = f (x) dx.(6.17)Ýòî ðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî f (x) åñòü âåðîÿòíîñòü, îòíåñåííàÿ ê åäèíè÷íîìóÏî ýòîé ïðè÷èíå ôóíêöèþðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþò òàêæå ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè47 .Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûx ñëóæèò åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f (x), êîòîðàÿ çàìåíÿåò ñîáîé ðàñïðåäåëåíèåâåðîÿòíîñòåé P (xi ) äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âñåãäà íóæíî ïîìíèòü, ÷òî ñàìà ïî ñåáå f (x)íå ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ êàêîãî-òî ñîáûòèÿ. Ñâÿçü f (x) ñ âåðîÿòíîñòüþ äàåòñÿôîðìóëîé (6.17). Èíîãäà, äëÿ êðàòêîñòè, óïîòðåáëÿþò íåñòðîãèé òåðìèí âåðîÿòíîñòè çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. ßñíî, ÷òî â òàêèõ ñëó÷àÿõèìååòñÿ â âèäó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ çíà÷åíèé.Åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èçâåñòíà, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6.17), ìîæíîëåãêî îáîáùèòü âñå âàæíûå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷åííûå äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí, íà íåïðåðûâíûé ñëó÷àé. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íîðìèðîâêèèíòåðâàëó çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.xZmaxf (x) dx = 1,(6.18)xminêîòîðîå ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ (6.16) â ïðåäåëå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà èíòåðâàëîâ íàãèñòîãðàììå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
