Mol_Phys (1083894), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî xí.â. , ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàêñèìàëüíà, ìîæíî íàçâàòü íàèáîëåå âåðîÿòíûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû(ñì. Ðèñ. 6.3), òàê êàê âåðîÿòíîñòü δP (xí.â. ) = f (xí.â. ) dx ñàìàÿ áîëüøàÿ (ïðèôèêñèðîâàííîì dx).Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìååìî÷åâèäíîå ïðàâèëîxZZmaxhxi = x δP (x) =x f (x) dx.(6.19)xminÁîëåå òîãî, ìîæíî óñðåäíÿòü ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ(x). Òàê êàêïðè ïîïàäàíèè x â áåñêîíå÷íî ìàëûé èíòåðâàë (x, x + dx) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ϕïðèíèìàåò çíà÷åíèå ϕ(x), òîxZmaxhϕ(x)i =ϕ(x) f (x) dx.(6.20)xmin47 Ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà x ìîæåò áûòü ðàçìåðíîé (ñêàæåì, ñêîðîñòü ìîëåêóëû v ). Âýòîì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î ðàçìåðíîì åäèíè÷íîì èíòåðâàëå. Íàïðèìåð, äëÿ ñêîðîñòè∆v = 1 ì/ñ.
Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå f (x) èìååò ðàçìåðíîñòü x−1 .60Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, ñèòóàöèþ, êîãäà íàñ èíòåðåñóþò íåñêîëüêî íåïðåðûâíûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äëÿ ïðîñòîòû ìû îïÿòü îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ âåëè÷èíàìè x èy , îñòàâëÿÿ îáîáùåíèå ÷èòàòåëþ. Ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äâóõíåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí F (x, y) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì(6.21)δP (x, y) = F (x, y) dx dy,ãäå δP (x, y) åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè èçìåðåíèè çíà÷åíèå ïåðâîé âåëè÷èíûïîïàäåò â èíòåðâàë (x, x + dx), à çíà÷åíèå âòîðîé â èíòåðâàë (y, y + dy). Åñëèâåëè÷èíû x è y ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû, ÿñíî, òî(äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí).F (x, y) = f1 (x) f2 (y)(6.22)Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ f1 è f2 èìåþò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûé âèä.Äëÿ ïîëíîòû ïðèâåäåì ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñîâìåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ îòäåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (íå îáÿçàòåëüíîíåçàâèñèìûõ):yZmaxxZmaxF (x, y) dy,f1 (x) =F (x, y) dx.f2 (y) =(6.23)xminyminÝòè ñîîòíîøåíèÿ àíàëîãè÷íû ôîðìóëå (6.14) è ÿâëÿþòñÿ, î÷åâèäíî, ñëåäñòâèåìòåîðåìû î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé.6.2.Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ìîëåêóëÆèçíü ìîëåêóë â âåùåñòâå ïîëíà ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, à èõ äâèæåíèå è âçàèìîäåéñòâèå ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Íàèáîëåå èíòåðåñíûìè ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè ìîëåêóë. Ýòè âåëè÷èíû ïðèíèìàþòíåïðåðûâíûå çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó ìû äîëæíû èñïîëüçîâàòü ÿçûê ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ.  çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîãî ðîäà èíôîðìàöèÿ î ìîëåêóëàõ íàñ èíòåðåñóåò,ìîæíî ââåñòè ìíîãî ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íàíåêîòîðûõ, íàèáîëåå âàæíûõ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû õîòèì íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ìîäóëÿ ñêîðîñòè ìîëåêóëû v , êîòîðàÿ íåñîìíåííî ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, òàê êàêìåíÿåòñÿ ïðè êàæäîì ñòîëêíîâåíèè. Ìèíèìàëüíîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòèìîëåêóëû ðàâíî íóëþ. ×òî êàñàåòñÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ, òî, ñòðîãîãîâîðÿ, ñêîðîñòü ìîëåêóëû íå äîëæíà ïðåâûøàòü ñêîðîñòè ñâåòà c. Òàê êàê ïðè ðàçóìíûõ çíà÷åíèÿõ òåìïåðàòóðû âåðîÿòíîñòü âñòðåòèòü ìîëåêóëó ñ v ≈ c íè÷òîæíîìàëà, äëÿ ïðîñòîòû ìû ìîæåì ïîçâîëèòü ñêîðîñòè ìåíÿòüñÿ îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ìîäóëÿ ñêîðîñòè F (v) ââîäèòñÿ òàê æå, êàê ìûýòî äåëàëè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû. Îïðåäåëåíèåì äëÿ F (v) ñëóæèò ñîîòíîøåíèåδP (v) = F (v) dv,61(6.24)ãäå δP (v) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñêîðîñòü ìîëåêóëû ïîïàäàåò â èíòåðâàë îò v äîv + dv . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû íàøëè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (v). Êàê åå èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ãàçà? Ïðåäñòàâèì, ÷òî óäàëîñü îäíîâðåìåííî èçìåðèòüñêîðîñòè âñåõ N ìîëåêóë.
Òàê êàê â ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìå N î÷åíü âåëèêî (ïîðÿäêà ÷èñëà Àâîãàäðî, ò.å. N ≈ 1023 ), òî ýòîò ãèïîòåòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò ìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê N èñïûòàíèé (ïðè÷åì N 1) è îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü êàêîòíîøåíèåδN (v)δP (v) =,(6.25)Nãäå δN (v) ÷èñëî ìîëåêóë, ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â èíòåðâàëå (v, v + dv).
Ñðàâíèâàÿ ðàâåíñòâà (6.1) è (6.2), íàõîäèì, ÷òîδN (v) = N F (v) dv.(6.26)Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F (v) îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî çíà÷åíèÿì ìîäóëÿ ñêîðîñòè. Íàø ðåçóëüòàò (6.26) ÷àñòíûé ñëó÷àé òàêíàçûâàåìîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë, ñîãëàñíî êîòîðîìó âåðîÿòíîñòü P (A) ðàâíàäîëå áîëüøîãî ÷èñëà îäíîòèïíûõ îáúåêòîâ, íàõîäÿùèõñÿ â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ èîáëàäàþùèõ íåêîòîðûì ñâîéñòâîì A. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ñòàòèñòèêè ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ê èññëåäîâàíèþ áîëüøèõ êîëëåêòèâîâ ñàìîé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû.Îñòàíîâèìñÿ íà îáùèõ ñâîéñòâàõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (v). Âî-ïåðâûõ, ïîîïðåäåëåíèþ, îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íîðìèðîâêèZ∞F (v) dv = 1.(6.27)0Âî-âòîðûõ, ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé ôóíêöèè ñêîðîñòè ϕ(v) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïðàâèëóZ∞hϕ(v)i =ϕ(v) F (v) dv.(6.28)0 ÷àñòíîñòè, ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû hεi âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì â âèäåhεi ≡mv 22m=2Z∞v 2 F (v) dv.(6.29)0Íåòðóäíî ñêîíñòðóèðîâàòü è äðóãèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ñêîðîñòè ìîëåêóë.
Íàïðèìåð, åñëè íàñ èíòåðåñóåò íå òîëüêî òî, ñ êàêèì ìîäóëåì ñêîðîñòè äâèæóòñÿ ìîëåêóëû, íî è êàê îíè ðàñïðåäåëåíû ïî íàïðàâëåíèÿì äâèæåíèÿ,62åñòåñòâåííî ââåñòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (vx , vy , vz ), çàâèñÿùóþ îò ïðîåêöèéñêîðîñòè. Ñìûñë ýòîé ôóíêöèè çàêëþ÷àåòñÿ â ñîîòíîøåíèèδN (vx , vy , vz )= F (vx , vy , vz ) dvx dvy dvz ,N(6.30)ãäå δN (vx , vy , vz ) ÷èñëî ìîëåêóë, ïðîåêöèè ñêîðîñòè êîòîðûõ íà îñè êîîðäèíàòçàêëþ÷åíû â èíòåðâàëàõ (vx , vx + dvx ), (vy , vy + dvy ) è (vz , vz + dvz ). Òàê êàê êàæäàÿèç ïðîåêöèé ñêîðîñòè ìîëåêóëû ìîæåò èìåòü ëþáîå èç çíà÷åíèé îò −∞ äî +∞, òîóñëîâèå íîðìèðîâêè äëÿ F (vx , vy , vz ) çàïèøåòñÿ â âèäåZ∞Z∞dvx−∞Z∞dvy−∞dvz F (vx , vy , vz ) = 1.(6.31)−∞Ìû ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ ñàìîìó äàòü îïðåäåëåíèå è çàïèñàòü óñëîâèå íîðìèðîâêè äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî îòäåëüíûì ïðîåêöèÿì ñêîðîñòè f1 (vx ), f2 (vy ), f3 (vz ).
Ðåêîìåíäóåì òàêæå óáåäèòüñÿ, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèéðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ôóíêöèè F (vx , vy , vz ). Íàïðèìåð,Z∞Z∞f1 (vx ) =dvz F (vx , vy , vz ).dvy−∞(6.32)−∞Íàäååìñÿ, ÷òî ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ìîëåêóë ÷èòàòåëþÿñåí.6.3.Ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ðàâíîâåñíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿìÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (vx , vy , vz ) ìîëåêóë ðàâíîâåñíîãî ãàçà ïî ïðîåêöèÿì ñêîðîñòè è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (v) ìîëåêóë ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè áûëè ïîëó÷åíûàíãëèéñêèì ôèçèêîì Äæåéìñîì Ìàêñâåëëîì â 1859 ãîäó. Çàìå÷àòåëüíî òî, ÷òîÌàêñâåëë ðåøèë ýòó çàäà÷ó ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèì ïóòåì, èñïîëüçóÿ òåîðåìû òåîðèèâåðîÿòíîñòåé è íåêîòîðûå "ðàçóìíûå ñîîáðàæåíèÿ" î õàðàêòåðå äâèæåíèÿ ìîëåêóëâ ðàâíîâåñíîì ãàçå.
Ìû âîñïðîèçâåäåì â óïðîùåííîì âèäå àðãóìåíòû Ìàêñâåëëà.Åñëè ãàç íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîåêöèè ñêîðîñòèìîëåêóëû vx , vy è vz ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè48 . Òîãäà ìûìîæåì çàïèñàòü äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâîF (vx , vy , vz ) = f1 (vx ) f2 (vy ) f3 (vz ).(6.33)Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî â ðàâíîâåñíîì ãàçå âèä ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âñåõ êîîðäèíàòíûõ îñåé äîëæåí áûòü îäèíàêîâ, òàê êàê âñå íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ìîëåêóëâ ðàâíîâåñèè ýêâèâàëåíòíû.
Ïîýòîìó ìû ìîæåì ïèñàòü ïðîñòî f (vx ) è ò.ä., îïóñêàÿ48 Ôàêòè÷åñêèíàøå ïðåäïîëîæåíèå ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå íàèáîëåå õàîòè÷íîå èç âñåõ âîçìîæíûõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé.63èíäåêñ ïðîåêöèè ñêîðîñòè. Äàëåå, èñõîäÿ îïÿòü-òàêè èç òîãî, ÷òî ãàç íàõîäèòñÿ âðàâíîâåñèè, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî f (vx ) = f (−vx ), ò.å. ïîëîæèòåëüíîå è îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèè ñêîðîñòè ðàâíîâåðîÿòíû. Äðóãèìè ñëîâàìè, êàæäàÿ èõôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ïðîåêöèÿì ñêîðîñòè ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ.
Ýòîñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ, åñëèf (vx ) = Cϕ(vx2 ),f (vy ) = Cϕ(vy2 ),f (vz ) = Cϕ(vz2 ),(6.34)ãäå ϕ(w) íîâàÿ, ïîêà íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ. Ìû âûäåëèëè èç íåå ïîñòîÿííûéè ïîêà íåèçâåñòíûé ìíîæèòåëü C . Îáðàòèìñÿ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â ëåâîé÷àñòè ðàâåíñòâà (6.33). ßñíî, ÷òî îíà ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ êàæäîãî èõ àðãóìåíòîâ,ò.å. ôàêòè÷åñêè çàâèñèò îò vx2 , vy2 è vz2 . Âñå àðãóìåíòû äîëæíû âõîäèòü â ôóíêöèþðàñïðåäåëåíèÿ F (vx , vy , vz ) ñèììåòðè÷íûì îáðàçîì, ïîñêîëüêó â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè âñå íàïðàâëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî F ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îòêâàäðàòà ñêîðîñòè |~v |2 = vx2 + vy2 + vz2 , íî íå îò åå íàïðàâëåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì,ðàâåíñòâî (6.33) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåC 0 ϕ0 (vx2 + vy2 + vz2 ) = C 3 ϕ(vx2 ) ϕ(vy2 ) ϕ(vy2 ),(6.35)ãäå ìû èñïîëüçîâàëè òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèè F :F (vx , vy , vz ) = C 0 ϕ0 (vx2 + vy2 + vz2 ).(6.36)C 0 åùå îäíà ïîñòîÿííàÿ. Ìåæäó íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè, âõîäÿùèìè â ñîîòíîøåíèå (6.35), èìååòñÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü.
Ïîëàãàÿ, íàïðèìåð, vy = vz = 0, ìû âèäèì,÷òî ϕ0 (vx2 ) ïðîïîðöèîíàëüíà ϕ(vx2 ), òàê êàê ϕ(0) íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.Ìîæíî ðàñïîðÿäèòüñÿ êîýôôèöèåíòàìè C 0 è C òàê, ÷òîáû ôóíêöèè ϕ è ϕ0 áûëèíå ïðîñòî ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñîâïàäàëè. Âçãëÿíóâ åùå ðàç íà ðàâåíñòâî (6.35),íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ, ÷òîáû C 0 = C 3 è ϕ(0) = 1.
Òîãäàâìåñòî (6.36) ïîëó÷àåìF (vx , vy , vz ) = C 3 ϕ(vx2 + vy2 + vz2 ).(6.37)Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ôóíêöèè ϕ ìû èìååì óðàâíåíèåϕ(vx2 + vy2 + vz2 ) = ϕ(vx2 ) ϕ(vy2 ) ϕ(vy2 ).(6.38)Ðåøèâ åãî, èç ôîðìóë (6.34) è (6.37) ìîæíî íàéòè âñå èíòåðåñóþùèå íàñ ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ. ìàòåìàòèêå ðàçðàáîòàíû ñïåöèàëüíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé, ïîäîáíûõ (6.38), íî â äàííîì ñëó÷àå âèä ðåøåíèÿ íåòðóäíî óãàäàòü. Äåéñòâèòåëüíî,ìû èùåì ôóíêöèþ, êîòîðàÿ îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî åå çíà÷åíèå îò ñóììûàðãóìåíòîâ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ òàêèõ æå ôóíêöèé îò êàæäîãî èç àðãóìåíòîâ.Êðîìå òîãî, ϕ(0) = 1. Ýòèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò òîëüêî ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿâèäàϕ(x) = e−αx ,(6.39)64ãäå α ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ49 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
