Mol_Phys (1083894), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Èòàê, ìû ïîëó÷àåì ïðîñòûå âûðàæåíèÿ äëÿðàâíîâåñíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì:2f (vx ) = C e−αvx ,22f (vy ) = C e−αvy ,22f (vz ) = C e−αvz ,(6.40)2(6.41)F (vx , vy , vz ) = C 3 e−α(vx +vy +vz ) .Îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü ïîñòîÿííûå C è α. Ïîêà ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî îáå îíèïîëîæèòåëüíû. Óñëîâèå C > 0 ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé (6.40) è (6.41) êàêïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè. ×òî êàñàåòñÿ ïîñòîÿííîé α, òî îíà äîëæíà áûòü ïîëîæèòåëüíîé, ÷òîáû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íå ïðèâîäèëè ê àáñóðäó íåîãðàíè÷åííîìóðîñòó ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïðè âîçðàñòàíèè ñêîðîñòè ìîëåêóëû.Ïîêàæåì, ÷òî ïîñòîÿííóþ C ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç α. Äëÿ ýòîãî âñïîìíèì, ÷òîêàæäàÿ èç ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ íîðìèðîâêè.Íàïðèìåð, ýòî óñëîâèå äëÿ ôóíêöèè f (vx ) èìååò âèäZ+∞Z+∞2f (vx ) dvx = Ce−αvx dvx = 1.−∞(6.42)−∞√Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ y = α vx . ßñíî, ÷òî ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî y è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî vx ñîâïàäàþò.
Åñëè òåïåðü âûðàçèòüäèôôåðåíöèàë dvx ÷åðåç√ äèôôåðåíöèàë íîâîé ïåðåìåííîé ñ ïîìîùüþ î÷åâèäíîãîñîîòíîøåíèÿ dvx = dy/ α, òî óñëîâèå íîðìèðîâêè (6.42) çàïèøåòñÿ òàê:Z+∞2e−y dy = 1.C√α(6.43)−∞ÈíòåãðàëZ+∞√2e−y dy = π(6.44)−∞õîðîøî èçâåñòåí â ìàòåìàòèêå è íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà. Ïîäñòàâëÿÿ åãîçíà÷åíèå â (6.43), íàõîäèì, ÷òîrαC=.(6.45)πÈòàê, îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü ëèøü ïîñòîÿííóþ α. Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì.Èç òåîðåìû î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû ìîëåêóë(ñì.
§ 2.2.) èçâåñòíî, ÷òî ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû, ñâÿçàííàÿ ñäâèæåíèåì âäîëü îñè x, ðàâíàm hvx2 i1= kT.2249 Âîîáùå(6.46)ãîâîðÿ, ϕ(x) íå îáÿçàíà áûòü ýêñïîíåíòîé; ïîäõîäèò ëþáàÿ ôóíêöèÿâèäà añ ïðîèçâîëüíûìè a è α0 . Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî ëþáóþ ïîêàçàòåëüíóþôóíêöèþ ëåãêî ïðåâðàòèòü â ýêñïîíåíòó íóæíî ïðîñòî ïåðåîïðåäåëèòü ïîñòîÿííóþ α0 (äîêàæèòå ýòî ñàìè).−α0 x65Îòñþäà ñðåäíèé êâàäðàò ïðîåêöèè ñêîðîñòè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç òåìïåðàòóðó è ìàññóìîëåêóëû ãàçà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñðåäíåå çíà÷åíèå hvx2 i ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî òåîðèè âåðîÿòíîñòåér Z+∞Z+∞α2vx2 f (vx ) dvx =vx2 e−αvx dvx .π 2vx =−∞(6.47)−∞Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòû äëÿ hvx2 i äîëæíû ñîâïàäàòü, òî, âû÷èñëèâ èíòåãðàë, ìû íàéäåì α. Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (6.47) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì50 : +∞Z+∞Zd 22vx2 e−αvx dvx = −e−αvx dvx =dα−∞−∞√ √Z+∞d 1ππd−y 2√√= −= 3/2 .e dy = −dαdα2ααα−∞Ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â (6.47), ïîëó÷àåìhvx2 i =1.2αÑðàâíåíèå ñ (6.46) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü α, à çàòåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (6.45) è íîðìèðîâî÷íóþ ïîñòîÿííóþ C :rmm,C=.(6.48)α=2kT2πkTÒåïåðü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì (6.40) è (6.41) ìîæíî çàïèñàòü â îêîí÷àòåëüíîì âèäå:f (vx ) =F (vx , vy , vz ) = m 1/22e−mvx /2kT ,2πkT m 3/22e−mv /2kT ,2πkTv 2 = vx2 + vy2 + vz2 .(6.49)(6.50)Äëÿ êðàòêîñòè ìû ïðèâåëè âûðàæåíèå òîëüêî äëÿ îäíîé èç ôóíêöèé (6.40).Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (6.50) íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ìàêñâåëëà.
Åñëè÷èòàòåëü âñïîìíèò õîä ðàññóæäåíèé, êîòîðûå ïðèâåëè íàñ ê ýòîìó ðàñïðåäåëåíèþ,50 Ñîâåòóåì÷èòàòåëþ âíèìàòåëüíî ðàññìîòðåòü è çàïîìíèòü ïðèâåäåííûå íèæåïðåîáðàçîâàíèÿ, òàê êàê îíè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîëåçíîãî ïðèåìà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìíîãèõ èíòåãðàëîâ ñ ýêñïîíåíòîé è äðóãèìè ôóíêöèÿìè òàê íàçûâàåìîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.66òî îí çàìåòèò, ÷òî íèãäå íå èñïîëüçîâàëñÿ òîò ôàêò, ÷òî ðàâíîâåñíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èìåííî ãàç.
Âñå àðãóìåíòû â ðàâíîé ñòåïåíè ìîãóò áûòü ïðèìåíåíûê æèäêîñòÿì è òâåðäûì òåëàì! Òàêèì îáðàçîì, ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ðàâíîâåñíîé ñèñòåìû51 .6.4.Ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî ìîäóëþ ñêîðîñòèÂî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòåé ìîëåêóë íå ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñà èìîæíî ïåðåéòè îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (6.50) ê ìåíåå ïîäðîáíîìó îïèñàíèþòåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ìîäóëþñêîðîñòè F (v), êîòîðàÿ áûëà ââåäåíà â § 6.2.Ñâÿçü ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ F (vx , vy , vz ) è F (v) ëåãêî íàéòè, åñëèâñïîìíèòü èõ ñòàòèñòè÷åñêèé ñìûñë.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (6.30) âèäíî, ÷òî âåëè÷èíóN F (vx , vy , vz ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáúåìíóþ ïëîòíîñòü òî÷åê, èçîáðàæàþùèõ ìîëåêóëû ãàçà â ïðîñòðàíñòâå ñêîðîñòåé (ñì. Ðèñ. 6.4), ãäå íà îñÿõ êîîðäèíàòîòëîæåíû ïðîåêöèè ñêîðîñòè.Ïîýòîìó ÷èñëî ìîëåêóë ñ ìîäóëåì ñêîðîñòè,vzçàêëþ÷åííûì ìåæäó v è v + dv , ìîæíî çàïèdvñàòü â âèäå N F (vx , vy , vz ) dΩ, ãäå vx2 +vy2 +vz2 =v 2 è dΩ = 4π v 2 dv îáúåì áåñêîíå÷íî òîívêîãî øàðîâîãî ñëîÿ ñ ðàäèóñîì v è òîëùèíîé0dv .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ñìûñëó ôóíêöèèvyðàñïðåäåëåíèÿ F (v), ýòî æå ÷èñëî ìîëåêóëðàâíî N F (v) dv . Òàê êàê N F (vx , vy , vz ) dΩ =vxN F (v) dv , òî ìû ñðàçó ïîëó÷àåìÐèñ. 6.4F (v) = 4πv 2 F (vx , vy , vz ),vx2 + vy2 + vz2 = v 2 .Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèÿ (6.50) äëÿ F (vx , vy , vz ) äàåòF (v) = 4π m 3/22v 2 e−mv /2kT .2πkT(6.51)Ãðàôèê ôóíêöèè F (v) ïðèâåäåí íà Ðèñ.
6.5. Íàïîìíèì, ÷òî îíà óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ íîðìèðîâêè (6.27).Ñêîðîñòü ví.â. , ïðè êîòîðîé F (v) ìàêñèìàëüíà, íàçûâàåòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíîé ñêîðîñòüþ ìîëåêóëû.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ví.â. âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì ïðàâèëîì íàõîæäåíèÿ ìàêñèìóìà ôóíêöèè.Äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (6.51) ïî v è ïðèðàâíèâàÿðåçóëüòàò ê íóëþ, ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîF(v)0vн.в.vrÐèñ. 6.551 Ñví.â.=2kT.m(6.52)îãîâîðêîé, ÷òî äâèæåíèå ìîëåêóë îïèñûâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêîé.67Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî (6.28), ìîæíî òåïåðü âû÷èñëèòü â ÿâíîì âèäå ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé ôóíêöèè ñêîðîñòè v .
 ÷àñòíîñòè, ñðåäíÿÿ èëè ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ìîëåêóëû ðàâíîâåñíîãî ãàçà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéZ∞hvi =v F (v) dv.(6.53)0Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå (6.51) äëÿ F (v) è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåìrhvi =8kT.πm(6.54)Ïðèâåäåì åùå îäíó õàðàêòåðèñòèêó òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ñðåäíþþêâàäðàòè÷íóþ ñêîðîñòürvêâp= hv 2 i =3kT.m(6.55)Îíà îïðåäåëÿåò ñðåäíþþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìîëåêóëû (ñì. § 2.2.):mv 23= kT.22êâ(6.56)Âñå òðè ñêîðîñòè, ví.â. , hvi è vêâ , îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ÷èñëåííûìè ìíîæèòåëÿìè ïîðÿäêà åäèíèöû.
Äëÿ îöåíî÷íûõ ðàñ÷åòîâ ëþáàÿ èç ýòèõ ñêîðîñòåé ìîæåòáûòü èñïîëüçîâàíà â êà÷åñòâå õàðàêòåðíîé ñêîðîñòè òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë.6.5.Ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî êîîðäèíàòàìâ ïîòåíöèàëüíîì ïîëå ýòîì ïàðàãðàôå ìû îáñóäèì åùå îäèí èíòåðåñíûé ïðèìåð ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, îïèñûâàþùåé ðàâíîâåñíûå ñâîéñòâà èäåàëüíîãî ãàçà.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàâíîâåñíûé ãàç íàõîäèòñÿ âî âíåøíåì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå(íàïðèìåð, â ïîëå ñèëû òÿæåñòè). ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóëíå áóäåò âñþäó îäèíàêîâà, òàê êàê íà ìîëåêóëû äåéñòâóþò âíåøíÿÿ ñèëà è ñîñòîÿíèå ñ ïîñòîÿííîé êîíöåíòðàöèåé íåóñòîé÷èâî.
Íàéäåì ðàâíîâåñíóþ êîíöåíòðàöèþìîëåêóë n(x, y, z) ≡ n(~r), åñëè çàäàíà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû U (~r) âîâíåøíåì ïîëå.Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà n(x, y, z)/N èìååò ñìûñë ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî êîîðäèíàòàì, òàê êàêδN (x, y, z) = n(x, y, z) dx dy dz,ãäå δN (x, y, z) ÷èñëî ìîëåêóë, êîîðäèíàòû êîòîðûõ çàêëþ÷åíû â èíòåðâàëàõ(x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz).68Ðàññìîòðèì îáúåì ãàçà, çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè (ñì. Ðèñ. 6.6). Åñëè ðàññòîÿíèå (âäîëü íîðìàëè)ìåæäó ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ðàâíî dl, à ðàçíîñòü ïîòåíöèàëüíûõýíåðãèé ìîëåêóëû íà ýòèõ ïîâåðõíîñòÿõ ðàâíà dU , òî âåëè÷èíà ñèëû, äåéñòâóþùåéêàæäóþ ìîëåêóëó â âûäåëåííîì îáúåìå, ñâÿçàíà ñ dU î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåìdU = F dl.(6.57)U+dUSU→dl2F1Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûäåëåííûé îáúåì ãàçà íàõîäèëñÿâ ìåõàíè÷åñêîì ðàâíîâåñèè, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñóììàðíàÿ âíåøíÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âñå ìîëåêóëûâ ýòîì îáúåìå, áûëà óðàâíîâåøåíà ñèëàìè äàâëåíèÿñî ñòîðîíû ñîñåäíèõ îáúåìîâ.
Òàêèì îáðàçîì, äàâëåíèÿ ãàçà p1 è p2 íà ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòÿõ1 è 2 (ñì. Ðèñ. 6.6) äîëæíû áûòü ðàçëè÷íûìè.Ðèñ. 6.6Î÷åâèäíî, ÷òî çíàê èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ dp = p2 − p1 ïðè ïåðåõîäå ñ ýêâèïîòåíöèàëüíîé ïîâåðõíîñòè 1 íà ïîâåðõíîñòü 2 ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó dU . Åñëè ñðåäíÿÿêîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë â âûäåëåííîì îáúåìå ðàâíà n, à ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ðàâíà S , òî ñóììàðíàÿ âíåøíÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ìîëåêóëû, çàïèøåòñÿ â âèäåF nS dl = nS dU , ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ñîîòíîøåíèå (6.57). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçáûòî÷íàÿ ñèëà äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà âûäåëåííûé îáúåì, ðàâíà dp S . Òàêèìîáðàçîì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî çíàêè dp è dU ïðîòèâîïîëîæíû, ìû ìîæåì çàïèñàòü óñëîâèå ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ìàëîãî îáúåìà ãàçà â âèäådp = −n dU.(6.58)Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü, åñëè èñêëþ÷èòüäàâëåíèå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçàp = nkT,(6.59)ãäå T òåìïåðàòóðà ãàçà.
Çàìåòèì, ÷òî â ðàâíîâåñíîì ãàçå èç-çà òåïëîâîãî êîíòàêòà ìåæäó îòäåëüíûìè îáúåìàìè òåìïåðàòóðà âñþäó îäèíàêîâà, íåñìîòðÿ íà ïðèñóòñòâèå âíåøíåãî ïîëÿ. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (6.59) â (6.58) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûån è U , ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ Udn= −d.(6.60)nkTÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ëþáîé òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè x, y , zln n(x, y, z) = −U (x, y, z)+ ln C,kTãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Ïåðåõîäÿ îò ln n ê êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë, íàõîäèìn(x, y, z) = C e−U (x,y,z)/kT .Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà.69(6.61)Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííîé C , âõîäÿùåé â ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà, òðåáóåòñÿ îäíî äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå. Íàïðèìåð, åñëè èçâåñòíà êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóën0 â òî÷êå, ãäå U = 0, òî, î÷åâèäíî, C = n0 è ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà çàïèøåòñÿâ âèäån(x, y, z) = n0 e−U (x,y,z)/kT .(6.62)Äðóãîé ÷àñòî èñïîëüçóåìûé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ C îñíîâàí íà óñëîâèè íîðìèðîâêèäëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áîëüöìàíà. Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà n(x, y, z) dV ðàâíà ÷èñëóìîëåêóë â áåñêîíå÷íî ìàëîì îáúåìå dV îêîëî òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè x, y , z . Ïîýòîìóèíòåãðàë îò n(x, y, z) ïî âñåìó îáúåìó ãàçà V äîëæåí áûòü ðàâåí ïîëíîìó ÷èñëóìîëåêóë N . Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (6.61) äëÿ ðàâíîâåñíîé êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë,íàõîäèì, ÷òîN.(6.63)C=Ze−U/kT dVVÂî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò îòíîøåíèå êîíöåíòðàöèéìîëåêóë n1 è n2 â íåêîòîðûõ òî÷êàõ 1 è 2.
Èç ôîðìóëû (6.61) ñëåäóåò, ÷òî ýòîîòíîøåíèå ðàâíîn1= e−(U1 −U2 )/kT ,(6.64)n2ãäå U1 è U2 çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìîëåêóëû â òî÷êàõ 1 è 2. Ìû âèäèì,÷òî îòíîøåíèå ðàâíîâåñíûõ êîíöåíòðàöèé ìîëåêóë â äâóõ òî÷êàõ íå çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé C è, êðîìå òîãî, íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè, ãäå ïîòåíöèàëüíàÿýíåðãèÿ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé íóëþ.Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà ïðèìåíèìî äëÿ ëþáîãî âíåøíåãîïîòåíöèàëüíîãî ñèëîâîãî ïîëÿ, äåéñòâóþùåãî íà ìîëåêóëû ãàçà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîðàâíîâåñíûé ãàç íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè. Íàïðàâèì îñü z ñèñòåìûêîîðäèíàò ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ ñèëû òÿæåñòè F~ = m~g , ãäå ~g óñêîðåíèåñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
