Кроль В.М. - Психология и педагогика (1083737), страница 24
Текст из файла (страница 24)
По одной можно рассматривать Л'-мерноепространство, оси которого соответствуют отдельным параметрам илифакторам. Каждая строка при этом имеет смысл вектора в пространстве параметров. При этой интерпретации мы имеем возможР и с. 44. Основная идея методов факторного анализа — выявление малого числа базисных (существенных) факторов на основании измерения и обработкибольшого числа косвенных параметров. А.
«Косвенные», легко измеряемые характеристики представляют собой группы параметров с сильно и слабокоррелирующими свойствами. Б. «Базисные» параметры (факторы) появляются после «сжатия» исходной информации109ность сравнивать близость реакций всех испытуемых в пространствеN параметров./По другой интерпретации можно рассматривать TV-мерное пространство, оси которого соответствуют отдельным объектам (испытуемым). В таком пространстве объектов каждый параметр (т.
е. тест)представляется вектором. Это пространство является пространствомобъектов и удобно в связи с тем, что в нем имеется возможность сравнения близости отдельных тестов в «пространстве испытуемых».Т а б л и ц а 4. Структура матрицы экспериментальных данныхПараметр (тест)•—•Объект (испытуемый)2...J...nгиz21z„лг„Znв%iZ221Z»уNZNI<?N27ZNI-z2„zmZfinВажным шагом в моделях и методах факторного анализа являетсяпереход от стандартизированной матрицы данных X размерностиN* п к квадратной корреляционной матрице R, размерности пхп.Элементы матрицы R представляют собой коэффициенты корреляциимежду соответствующими параметрами (результатами тестирования)где—векторы, обозначающие у и к столбцы матрицы X.Факт близости коэффициента корреляции к 1 говорит о малом отличии значений параметров в среднем на различных объектах, что неисключает, конечно, того, что значения параметров на некоторых объектах могут отличаться значительно.
Факт близости величины к 0 говорит, в свою очередь, о малой связи параметров и о малой предсказуемости значений одного параметра, исходя из величин другого. Вообще, чем меньше величина(абсолютное значение коэффициентакорреляции), тем меньше связаны параметры(т.
е. соответствующие тесты) между собой и, следовательно, тем в меньшей степенипомо>кно предсказать по результатам тестирования одним тестом результаты тестирования другим.В свете сказанного основная идея факторного анализа может бытьсформулирована следующим образом. Решение задачи сжатия информации при переходе от большого количества поддающихся измерениюпараметров к существенно меньшему количеству «скрытых» базисных параметров-факторов сводится к нахождению небольшого количества векторов с N компонентами (где N — число строк матрицы данных). Другими словами, решение задачи означает приписывание к исходной матрице небольшого числа новых столбцов, с помощью которых можно хорошо описать все столбцы исходной матрицы. В ходеэтой процедуры, естественно, происходит снижение размерностиiV-мерного пространства параметров.Какова же связь между измеряемыми в эксперименте параметрамии факторами.
Другими словами, какова связь между измеряемымифункциями и их «глубинными» аргументами. В факторном анализе,как правило, эта связь предполагается линейной:где — измеряемые параметры, число которых равно п,— коэффициенты, подлежащие определению и определяющие нагрузку у'-гопараметра на к-тл фактор (факторные нагрузки), — общие факторы,определяющие базис и участвующие, таким образом, в представлениивсех параметров измерения, причем число факторов т всегда меньше,чем— «характерные» факторы, каждый из которых участвует в определении только одного, своего параметра. Характерныефакторы имеют смысл помехи.Заметим, что предположение линейности связи между измеряемыми параметрами и «глубинными» базисными факторами является существенным. Как правило, в факторном анализе общие факторы являются ортогональными.
В любой модели факторного анализа цель работы заключается в определении общих факторов и факторных нагрузок, причем геометрически факторные нагрузки являются проекциямипараметров на соответствующие общие базисные факторы.Важно отметить, что в рамках факторного анализа отсутствует однозначное определение набора общих (базисных) факторов, удовлетворяющих данному эмпирическому материалу. В общем случае общиефакторы определяются косвенным образом. Вначале непосредственновычисляются факторные нагрузки, затем ищутся такие линейные комбинации измеряемых параметров, которые в каком-либо смысле являются «хорошими» оценками общих факторов.IllИсходя из сказанного, актуальной является задача выбора из множества наборов общих факторов некоторого набора, удовлетворяющего целям исследования и интуиции исследователя. Переход от одногонабора ортогональных общих факторов (одного базиса) к другомуможно представить геометрически как процесс «вращения» первоначального базиса.
В результате этой процедуры, естественно, изменяются величины факторных нагрузок, т.е. величины проекций результатов тестирования на оси базисных факторов (рис. 45).Близкими к методам факторного анализа являются методы многомерного шкалирования. Основой этих методов в применении к рассматриваемым нами задачам также является цель понижения размерности пространства измеряемых параметров и выделения «первичных» интеллектуальных способностей. Главное отличие метода заключается в том, что при многомерном шкалировании вместо корреляционной матрицы используется матрица сходства объектов. Процедура составления такой матрицы заключается в том, что испытуемый интуитивно оценивает степень различия (сходства) между теми или иными объектами.
При этом считается, что в своих суждениях человек неявно использует базисные признаки.Например, при сравнении множества людей по их способности крешению задач может быть получена матрица близости, на основаниианализа которой появляется возможность выявления факторов интеллекта. Другой пример — выявление степени различия (сходства) между разными типами животных и птиц. Испытуемые на основании своих интуитивных правил оценивают попарное сходство между исходными объектами. В итоге в результате формирования матрицы сходства становится возможным, как и в первом случае, ввести некоторуюметрику, количественно описывающую близость исходных объектов.Причем такая метрика будет описывать близость между объектами вРис.
45. Вращение ортогонального базиса факторов. Результаты тестирования (значения параметров) показаны в пространстве двух факторов/] и/2.Исходные факторы представлены сплошными линиями, вторичные — пунктиром. Проекции результатов тестирования на исходные факторы показаныкак незаполненные и на повернутые факторы — какзаполненные кружки.
Из рисунка видно, что в результате поворота уменьшились значения нагрузокна фактор/i, т.е. он теперь имеет меньшее значение при интерпретации результатов тестирования(6, 124)112некотором многомерном пространстве, в котором исходные объектыбудут представлены точками, расстояния между которыми определяются в соответствии со степенью их интуитивной близости.Рассмотрим несколько подробнее процедуру построения такогопространства и процедуру выделения на нем отдельных факторов илишкал. Допустим, имеется матрица сходства между Лоточками.
Возьмем любые три из Лги проверим, лежат ли они на одной прямой, т. е.,другими словами, могут ли они быть объединены одним фактором(осью, шкалой).Идея проверки заключается в проведении через две точки (А и В)оси и измерении расстояний АВ, АС и СВ. Если при этом АВ=АС+СВ,то точка С лежит на оси, если АВ<АС+СВ, то нет. В этом случае можнооценить величину перпендикуляра СК от С до оси и, если СК большенекоторого порогового значения, ввести вторую ось, ортогональнуюпервой (рис.
46). Введение последующих осей-факторов проводитсяаналогичным образом путем перебора точек из N. Расчетные процедуры при этом, естественно, усложняются, а степень наглядности уменьшается.Приведенная процедура, несмотря на упрощенность и неуниверсальность, ясно показывает, про крайней мере, одну существеннуюособенность анализа — необходимость проведения смысловой интерпретации полученных осей или факторов. Действительно, пустьв результате работы мы смогли описать множество тестов в двухфакторном пространстве, как линейные комбинации этих факторов.
Однако процедура факторного анализа (или равно многомерного шкалирования) ничего не говорит нам о том, чем являются выделенныеоси (рис. 47).Предположим, что в рассмотренном выше примере с животнымиразных типов все точки, т. е. все объекты сравнения, удалось расположить на плоскости. Таким образом, в результате проведенной процедуры исходное неопределенно большое количество параметров, на основании которыхлюди обычно описывают животных, удалосьсвести к двум гипотетическим базиснымфакторам (любая точка плоскости описывается в пространстве двух осей — х , у). Однако теперь возникает вопрос о том, как интер Р и с . 46.
Геометрическая илпретировать содержательный смысл оси х и люстрация идеи выявленияотдельных шкал (базисныхоси У? В данном примере ось х может, напри факторов) в процессе многомер, иметь смысл размера животного, а ось у мерного шкалирования (по40, 7-33)— смысл длины передних конечностей.113Этап интерпретациисовершенно автономен итребуетпсихологической интуиции. Дело вЭтап 2том, что существуетПолучение матрицы сходстваили матрицы корреляциимножество разных орто•гональных базисов обЭтап 3Проведение процедур выявления кандидатовщих факторов одной ина базисные факторытойже размерности.
Пе•реходот одного набораЭтап 4Содержательная (неформальная) интерпретация исслеобщих факторов к другодователем степени пригодности полученных результатовму геометрически в этомР и с . 47. Основные этапы процедур понижения раз случае выглядит какмерности массивов экспериментальных данных«вращение»первоначального набора. Приэтом для определения «истинного» базиса необходимо проведение содержательного анализа групп измеряемых параметров, имеющихсильную корреляцию (или степень сходства). Отметим, что весьма естественной является ситуация, в которой в принципе удобно ввестинеортогональные, т.е. взаимозависимые, оси, так как именно при этомоси приобретают однозначную, осмысленную интерпретацию.Этап 1Выявление сходства, корреляционных отношений междурезультатами экспериментальных измеренийIМожно предположить, что в рассматриваемом примере поворотосей на определенный угол или же введение каких-то двух неперпендикулярных (неортогональных) осей даст возможность провести новую, более хорошую интерпретацию смысла этих осей.Подводя итог рассмотрения методов факторного анализа и многомерного шкалирования, заметим, что сущность этих методов сжатияинформации заключается в выявлении скрытых корреляционных отношений между различными измеряемыми параметрами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
