Н.И. Войтович, А.Н. Соколов - Вибраторные антенны (1083411), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Конкретный вид возбуждающей функции задается из физических соображений с учетом конкретных особенностей конструкции области питания вибратора. Для узких зазоров b << l1 , l2 , λ функцияEB(z) обычно считается постоянной.Сформулированные предположения математически могут быть записаны в следующей форме. Неизвестное распределение токов Iz(z) будет создавать на воображаемойбоковой поверхности вибратора векторный потенциал(рис.2.2) с единственной составляющей Az. Через векторный потенциал касательная составляющая вектора напряженности электрического поля по формуле (1.4) в своюочередь будет выражаться в виде1  2d 2 Az  k Az +,Ez =(2.2)jωε dz 2 где k — волновое число в среде, окружающей вибратор.Согласно второму и третьему предположениямвеличина в круглых скобках в правой части (2.2) должнаРис.2.2.

К выводубыть равной:интегральногоуравненияГалленаbz>0,при,2d Az2+ k 2 Az = (2.3)2bBdziωεE (z ), при z ≤ .2Соотношение (2.3) представляет собой линейное дифференциальноеуравнение второго порядка для векторного потенциала на боковой поверхностивибратора. В общей форме решение этого уравнения может быть записано в видесуммы общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решениянеоднородного уравнения, т.е.CCAz (z ) = 1 exp(ikz ) + 2 exp(− ikz ) −4π4πbz2iωε BB′ )exp(ikz′)dz′ + exp(ikz )∫ E (z′ )exp(− ikz′)dz′ ,−−expikzEz(2.4)()(∫2ik bz−2где C1 и С2 — произвольные постоянные.Полное выражение (2.4) справедливо для центральной области − b 2 ≤ z ≤ b 2 .Для области z b > 2 в правой части автоматически выпадает последний, а дляобласти z < − b 2 предпоследний интеграл. Убедиться в справедливости (2.4)можно, например, путем непосредственной подстановки этого выражения вдифференциальное уравнение (2.3).27Величина Az на боковой поверхности вибратора, стоящая в левой части (2.4),согласно (1.11) выражается через неизвестную функцию распределения тока ввидеl1 1exp(− ikr )Az (z ) =I z (z ′ )dz′ ,(2.5)∫r4π z′=−l2где r = (z − z′ ) + a 2 .Подставляя это выражение в левую часть (2.4) и учитывая очевидноеωε a 1соотношение=получаем следующее, так называемое интегральноеkWуравнение Галлена для неизвестной функции распределения тока Iz(z):2l1∫ I (z′)Κ (z − z′)dz′ = C exp(ikz ) + C1z2exp(− ikz ) −z ′ = − l2bz22π BB′)exp(ikz′)dz′ + exp(ikz )∫ E (z′)exp(− ikz′)dz′ .−−expikzEz(2.6)()(∫W bz−2Находящаяся под интегралом функция2exp − ik (z − z′) + a 2Κ (z − z ′ ) =(2.7)(z − z′)2 + a 2носит название ядра этого уравнения.

Произвольные постоянные C1 и С2 определяются из граничных условий (2.1), накладываемых на поведение электрическоготока на концах вибратора. При малой ширине возбуждающего зазора b << lфункция EB(z) может быть принята постоянной и определенные интегралы в правой части (2.6) легко вычисляются с помощью приближенной замены экспоненциальных функций под интегралами на единицу:)(b2∫ E (z′)exp(± ikz′)dz′ ≈ EBBbприb << λ .(2.8)bz ′= −2Если далее предположить, что вибратор питается идеальным генераторомнапряжения с нулевым внутренним сопротивлением и величиной ЭДС V, тосогласно закону Кирхгофа о равенстве нулю суммы напряжений в любомзамкнутом контуре электрической цепи получаем соотношение:E Bb = −V .(2.9)С учетом (2.9) интегральное уравнение Галлена для тонкого электрическоговибратора, питаемого сосредоточенным генератором ЭДС V, принимает болеепростой вид:l12πV′′′()()()()IzzzdzCikzCikzΚ−=+−+(2.10)expexpexp(# ikz ),12∫zW−l 228где в последней экспоненте верхний знак минус относится к области z ≥ b 2 инижний знак плюс — к области z ≤ − b 2 .С физической точки зрения правая часть выражения (2.10) можетрассматриваться как наложение трех бегущих волн векторного потенциала(умноженного на 4π) вдоль боковой поверхности вибратора.

Одна из этих волн самплитудным множителем 2πV/W порождается генератором V и разбегается в обестороны от возбуждающего зазора. Волна с амплитудой C1 учитывает отражениеот верхнего конца вибратора и бежит в направлении уменьшения z. Волна самплитудой C2 учитывает отражение от нижнего конца вибратора и бежит всторону возрастания z.Правая часть уравнения (2.10) может быть преобразована к более удобномувиду путем замены экспонент на тригонометрические функции. Действительно,имеет место тождество:2πV exp(− ikz ) z >0  2πV(cos kz − i sin k z ).(2.11)=W  exp(ikz ) z <0  WРазлагая экспоненциальные функции с амплитудами C1 и С2 по формулеЭйлера и вводя новые произвольные постоянные С3 и С4, получаем следующуюнаиболее распространенную запись уравнения Галлена:l1i 2πV′′′Κ−=+−()()IzzzdzCkzCkzcossinsin k z ,(2.12)34z∫W−l 2где в член С3 cos kz включено также первое слагаемое из правой части (2.11).Пусть рассматриваемый вибратор является симметричным.

В таком вибраторераспределение тока, а, следовательно, и векторного потенциала, должно удовлетворять условию симметрии:I z (z ) = I z (− z ) и Az (z ) = Az (− z ).Отсюда с необходимостью вытекает, что в (2.12) С4= 0 и, таким образом, длясимметричного вибратора уравнение Галлена приобретает вид:li 2πV′′′Κ−=−IzzzdzCcoskzsin k z .(2.13)()()z∫W−lСтрогое решение интегральных уравнений Галлена в аналитическом виде неизвестно, и поэтому на практике для инженерных целей чаще всего используетсяупрощенное решение в так называемом первом приближении.2.3.Распределение тока и заряда вдоль вибратораОтличительной особенностью ядра интегрального уравнения Галлена являетсяярко выраженный “резонансный” характер в окрестности точки z = z'. Этаособенность продемонстрирована на рис.2.3, где построены графики функцийcos kr/kr и sin kr/kr, с помощью которых выражаются действительная и мнимаячасти ядра интегрального уравнения: cos kr sin kr 22Κ (z − z ′ ) = k −i ; r = (z − z′ ) + a .kr  kr29Благодаря “фильтрующему” действиювещественной части ядра интегральногоуравнениявеличинавекторногопотенциала нити электрического тока набоковой поверхности вибратора восновномопределяетсятоками,текущими вблизи точки z = z', и приa λ → 0 можно пренебречь влиянием навекторный потенциал всех остальныхучастков нити тока.

Таким образом, влевойчастиуравнения(2.12)интегрирование можно провести впределах от z' = z – h до z' = z + h, где h— постоянная величина, малая посравнению с длиной волны. При этомможно принять, чтоexp − ik (z − z′ ) + a 2 ≈ 1 ,а электрический ток можно считать впределах промежутка интегрированияпостоянным и равным току в точке z = z'.Следовательно,(Рис.2.3. Функции, входящие в ядроуравнения Галленаl1∫I z (z′)(z ′ = − l2гдеΩ=z +h(z − z′)2 + a 2(z − z′)2 + a 2exp − ikdz ′∫ (z − z ′ )22= ln))dz′ ≈ I (z )Ω ,a 2 + h2 + ha 2 + h 2 − h a<<hz≈ 2 ln2h.a(2.14)(2.15)+aИз (2.15) следует, что когда а стремится к нулю, величина Ω стремится кбесконечности и равенство (2.14) становится все более точным, посколькуотбрасываемая часть интеграла имеет при этом конечную величину.

Уравнение(2.12) теперь можно записать так:i 2πV(2.16)I z (z )Ω ≈ C3 cos kz + C4 sin kz −sin k z .WИспользуя граничные условия для тока на концах вибратора I z (− l2 ) = 0 ,I z (l1 ) = 0 , находим постоянные С3 и С4:i 4πV sin kl1 sin kl2 C3 =,W sin k (l1 + l2 ) (2.17)i 2πV sin k (l1 − l2 ) C4 =,W sin k (l1 + l2 ) z ′= z − h30и, подставляя (2.17) в (2.16), получаем окончательные выражения для распределения тока на тонком вибраторе в первом приближении:sin k (l1 − z ) I z (z )при z ≥ b = I 0;2sin kl1(2.18)sin k (l2 + z ) I z (z )при z ≤− b = I 0,2sin kl2гдеi 4πV sin kl1 sin kl2I0 =WΩ sin k (l1 + l2 )— величина тока в точках питания.Для симметричного вибратора распределение тока получается симметричнымотносительно середины:sin k (l − z ).(2.19)I z (z ) = I 0sin klПомимо распределения тока в инженерном отношении представляет интерестакже и распределение электрического заряда вдоль вибратора (например, дляоценки величины предельной входной мощности, вызывающей электрическийпробой окружающей среды).

Распределение заряда в первом приближениинаиболее просто может быть определено с помощью уравнения непрерывности(1.3), которое для линейного тока запишется в видеdI z (z )+ iωQ(z ) = 0 ,(2.20)dzгде Q(z) — заряд, приходящийся на единицу длины вибратора.Применяя (2.20) к (2.18) и учитывая тождество k ω = µε = 1 c , где с —скорость света в окружающей вибратор среде, получаем следующий законраспределения заряда:I cos k (l1 − z )Q (z ) = 0, Кл/м; bic sin kl1при z ≥2(2.21)I 0 cos k (l2 + z )Q (z ) = −, Кл/м.bicklsin2при z ≤ −2В частности, для симметричного вибратора± I cos k (l − z )(2.22)Q (z ) = 0, Кл/м .icsin klЗдесь верхний знак плюс относится к положительным, а нижний знак минус —к отрицательным z.Таким образом, в тонком вибраторе ток и заряд приближенно распределяютсяпо закону кругового синуса. Однако, как следует из самого вывода выражений(2.18), распределение тока в вибраторе при стремлении радиуса провода к нулютолько стремится к синусоидальному распределению, никогда не становясь точносинусоидальным.

В частности, выражение (2.18) несправедливо для узлов тока,31где векторный потенциал определяется уже не локальным значением тока вданной точке вибратора, а суммарным действием токов, текущих по достаточноудаленным участкам вибратора. Следовательно, действительное распределениетока в узлах не может обращаться в нуль и в окрестности узла отличается отсинусоидального закона тем значительнее, чем толще вибратор. Поскольку впервом приближении векторный потенциал определяется только локальнымзначением тока в данной точке вибратора, то найденные законы распределениятока и заряда (2.18) и (2.21) остаются справедливыми и для изогнутыхвибраторов, например уголковых или свернутых в дугу.

При этом подкоординатой z следует понимать расстояние вдоль оси изогнутого проводника.На рис.2.4 приведено несколько характерных случаев распределений тока изаряда вдоль симметричных и несимметричных вибраторов, построенных всоответствии с формулами (2.18) и (2.21), а также (2.19) и (2.22).Здесь особый интерес представляет наиболее распространенный на практикеполуволновый вибратор, общая длина которого l1 + l2 равна половине длиныволны.

Характеристики

Список файлов книги