kkvant (1083120), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. от значения квантового числа MJ ) в силу сферическойсимметрии самосогласованного поля в атоме. В присутствии магнитного поля вырождение по MJ должно сниматься, так как сферическая симметрия нарушается.Таким образом, чтобы найти новые уровни энергии, мы должны применить теорию возмущений для случая вырождения невозмущенных уровней. С этой цельюнужно вычислить матричные элементы оператора (13.80) по волновым функциям с различными MJ .
Эти матричные элементы пропорциональны матричнымэлементам оператора магнитного моментаˆ | LSJMJ . LSJMJ |µ(13.83)Задача осложняется тем, что явный вид волновых функций ψLSJMJ неизвестен;мы знаем лишь, что они являются собственными функциями операторов L̂ 2 , Ŝ 2 ,ˆ + 2S,ˆJˆ2 и Jˆz , т. е. удовлетворяют соотношениям (13.56).
К сожалению, оператор Lˆˆ матричныеˆ + S,входящий в выражение (13.81) не совпадает с оператором J = Lэлементы которого можно найти, не зная волновых функций ψLSJMJ . Мы изложимизящный прием, который позволяет обойти эту трудность.Попробуем представить оператор магнитного момента атома в виде произведенияˆµˆ = K̂ J,(13.84)где K̂ — пока неизвестный оператор. Выберем его таким, чтобы получались правильные выражения для матричных элементов (13.83). Умножим справа равенˆˆ Используя затем формулу (13.81),ˆ + S.ство (13.84) скалярно на оператор J = Lнаходим, что22eˆ ˆ−L̂ + 2Ŝ + 3 L · S = K̂ Jˆ2 .2meЭто операторное равенство с помощью тождества (11.54) записывается в виде22221e−3Jˆ − L̂ + Ŝ = K̂Jˆ .(13.85)2 2meЕсли теперь подействовать операторами, стоящими справа и слева на волновуюфункцию ψLSJMJ , то с учетом соотношений (13.56) получимJ(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)e1+K̂ψLSJMJ = −(13.86)ψLSJMJ .2me2J(J + 1)168Видно, что действие оператора K̂ на волновые функции ψLSJMJ сводится к умножению на одно и то же число.
Это очень важное обстоятельство, так как насинтересуют матричные элементы оператора магнитного момента именно по этимфункциям. Таким образом, все матричные элементы (13.83) будут точно вычислены, если считать, чтоe ˆJ,(13.87)µˆ = −g2meгде величинаJ(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)g =1+(13.88)2J(J + 1)называется множителем Ланде1 . Подчеркнем, что представление операторамагнитного момента в виде (13.87) не является абсолютно точным; оно справедливо, как говорят, только в подпространстве квантовых состояний атома, которыеявляются суперпозицией состояний |LSJMJ с фиксированными значениями квантовых чисел L, S, J и с различными значениями MJ .
Этого, однако, достаточнодля изучения свойств атомов в достаточно слабом магнитном поле.Подстановка выражения (13.87) в формулу (13.80) даетŴмаг = ge ˆ J · B.2me(13.89) то операторЕсли направить ось квантования момента z вдоль магнитного поля B,Ŵмаг принимает простой видŴмаг = geB ˆJ,2me z(13.90)который очень удобен для применения теории возмущений.
Заметим, что отличныот нуля только диагональные элементы этого оператора по невозмущенным волновым функциям ψLSJMJ . Поэтому сразу находим уровни энергии атома в первомприближении теории возмущений:(0)(0)ELSJMJ = ELSJ + LSJMJ |Ŵмаг | LSJMJ = ELSJ + g µB B MJ ,(13.91)где µB = e/2me — магнетон Бора; MJ = ±J, ±(J −1), . . . — всего (2J +1) значений.Подведем итоги. Из формулы (13.91) следует, что в магнитном поле каждыйуровень энергии атома расщепляется на (2J + 1) уровней симметрично относи(0)тельно невозмущенного уровня ELSJ . Иначе говоря, теперь квантовые состояния с имеют различразличными проекциями полного момента на направление поля Bную энергию. Расстояние между соседними расщепленными уровнями∆E = g µB B(13.92)пропорционально индукции магнитного поля и множителю Ланде, который зависит от квантовых чисел L, S, J невозмущенных атомных состояний.Расщепление атомных уровней, определяемое формулой (13.92), называетсяаномальным эффектом Зеемана.
С этим эффектом связана одна из интересных станиц истории квантовой механики. Дело в том, что расщепление уровней1Часто используется также название g-фактор (“же”-фактор)169энергии атома в магнитном поле, которое проявляется, например, в расщепленииспектральных линий, было обнаружено экспериментально еще до открытия спинаэлектрона. Теория предсказывала, что расстояние между соседними расщепленными уровнями должно быть равно∆E = µB B.(13.93)Такое расщепление получило название нормального эффекта Зеемана.
Между тем, эксперимент показывал гораздо более сложную и запутанную картину.Например, в атоме водорода все уровни расщеплялись “неправильно”. В сложныхатомах с четным числом электронов (в атомах цинка, кадмия и др.) некоторыеуровни расщеплялись согласно формуле (13.93), а расщепление других уровней неописывалось этой формулой. Физики затратили много усилий на поиски причинстоль непонятного поведения атомов в магнитном поле, но объяснение эффектаЗеемана удалось найти только после открытия спина.Вернемся к формуле (13.92), определяющей расщепление атомных уровнейэнергии в магнитном поле.
Из сравнения этой формулы с (13.93) ясно, что нормальный эффект Зеемана должен наблюдаться для тех состояний, для которыхмножитель Ланде равен единице. Поскольку при фиксированных L и S квантовоечисло J может принимать значения от |L − S| до L + S, из определения (13.88)следует, что g = 1 только для состояний с полным спином S = 0 (синглетныетермы). Такие состояния имеются в атомах с четным числом электронов; поэтомув них наблюдается как нормальный, так и аномальный эффект Зеемана. Ватоме водорода один электрон, т.
е. в любом квантовом состоянии полный спинатома S = 1/2. Поэтому для всех квантовых состояний водорода g = 1 и у негонаблюдается только аномальный эффект Зеемана.Напомним, что формула (13.91) для уровней энергии атома в магнитном полебыла получена методом теории возмущений, поэтому она справедлива для такихзначений индукции B, при которых величина расщепления (13.92) значительноменьше, чем разность энергий соседних уровней в свободном атоме. Как отмечалось в разделе 13.5., благодаря спин-орбитальному взаимодействию атомные уровни образуют тонкую структуру — мультиплеты, причем для разности энергийсоседних уровней в мультиплете была получена оценка (13.58), где постоянная Aхарактеризует интенсивность спин-орбитального взаимодействия.
Поэтому формула (13.91) применима для достаточно слабого магнитного поля, когда(13.94)µB B ∆EJ,J−1 .Например, для первых возбужденных состояний атома водорода оценка показывает, что слабыми магнитными полями можно считать поля с величиной индукцииB < 0, 1 Тл.Если расщепление, вызванное магнитным полем, сравнимо по величине с разностью соседних уровней в мультиплете, то задачу о вычислении новых уровней энергии решить не удается. Однако решение снова становится возможным для сильныхполей, когда энергия взаимодействия электронов с магнитным полем значительнопревышает спин-орбитальное взаимодействие1 . В этом случае спин-орбитальноеПредполагается, что энергия взаимодействия с магнитным полем все же значительно меньше, чем расстояние между термами с различными значениями L и S, котороеопределяется сильным кулоновским взаимодействием между электронами.1170взаимодействие является самым слабым взаимодействием и в главном приближении им можно пренебречь.
Гамильтониан атома по-прежнему записывается в виде (13.79), но теперь Ĥ (0) включает только кулоновскую энергию электронов.При учете только кулоновского взаимодействия сохраняются по отдельностиорбитальный и спиновый моменты электронов, поэтому в качестве волновых функций нулевого приближения удобно взять функции ψLML SMS , где ось квантования а квантовые числа M и M определяютz направлена вдоль магнитного поля B,LSзначения проекций орбитального и спинового моментов на эту ось: Lz = ML ,Sz = MS .
В первом порядке теории возмущений по Ŵмаг [см. (13.80) и (13.81)]находим уровни энергии(0)ELML SMS = ELS + µB B (ML + 2MS ) ,(13.95)(0)где ELS — энергия невозмущенного терма1 .Расщепление уровней атома в сильном магнитном поле, которое описываетсяформулой (13.95), называется эффектом Пашена-Бака. Оно наблюдается,например, для некоторых уровней атомов Li и Na в полях B ≈ 4 Тл.Упражнения13.1. Вычислить интегралы (13.23) и (13.24) с координатной волновой функцией (13.20). Убедиться, что значения этих интегралов даются формулами (13.26).Указание: Волновая функция (13.20) есть произведение двух функций, каждаяиз которых зависит от координат одного электрона и нормирована на единицу.
Сучетом этого обстоятельства интегралы I1 и I2 нетрудно вычислить, используя приинтегрировании по dV1 и dV2 сферическую систему координат.13.2. Вычислить средние значения в формулах (13.35) и (13.36) и убедиться,что в нулевом приближении по взаимодействию между электронами справедливы(0)(0)равенства E↑↓ = E↑↑ = −5EH .Указание: Невозмущенный гамильтониан (13.3) есть сумма двух операторов:(0)Ĥ = ĥ(1) + ĥ(2), где ĥ — гамильтониан водородоподобного иона He+ , а аргументы (1) и (2) показывают, что ĥ действует на переменные первого или второгоэлектрона. При вычислении средних значений следует учесть, что волновые функции ϕ1s , ϕ2s ортогональны друг к другу и являются собственными функциями ĥ,причем ĥϕ1s = ε1 ϕ1s и ĥϕ2s = ε2 ϕ2s .13.3. Доказать, что у атомов бериллия (Be) и магния (Mg) основным термомявляется терм 1S 0 .13.4.
Вывести выражение (13.73) для среднего дипольного момента атома водорода в основном состоянии.Указание: Записав матричный элемент ψосн |z | ψосн с точностью до первойпоправки по внешнему электрическому полю E, учесть, что 100 |z | nlm = nlm |z | 100 ∗ .13.5. Доказать, что при выборе векторного потенциала однородного магнитногополя в виде (13.77) оператор импульса коммутирует с A.(0)На самом деле ELS — средняя энергия мультиплета, так как в формуле (13.95) пренебрегается расщеплением терма, вызванного спин-орбитальным взаимодействием.1171 = 0, гдеУказание: Достаточно доказать, что pˆ · AЭто можно проверить непосредственно, записав = p̂x Ax + p̂y Ay + p̂z Az = −i ∂Ax +pˆ · A∂xpˆ действует только на A.∂Ay ∂Az+∂y∂zи убедившись, что каждое из слагаемых в скобках равно нулю.14.Стационарные состояния молекулМолекулы являются квантовыми системами, состоящими из нескольких ядер иэлектронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
