kkvant (1083120), страница 39
Текст из файла (страница 39)
СреднийДля простоты мы не будем учитывать спин-орбитальное взаимодействие и связаннуюс ним тонкую структуру спектра энергии возбужденных состояний свободного атома.Такое упрощение оправдано при достаточно больших значениях напряженности E, когдаэнергия электрона в электрическом поле превышает расстояние между уровнями тонкойструктуры. Оценки показывают, что для водорода можно пренебречь спин-орбитальнымвзаимодействием, если E > 10 5 В/м.1164дипольный момент атома dz в основном состоянии дается формулой1dz = −e z = −e ψосн |z | ψосн .(13.72)Вычислим теперь среднее значение, используя выражение (13.71) для волновойфункции основного состояния.
При этом нужно учесть, что само выражение(13.71) справедливо с точностью до первой поправки по возмущению. Поэтому, чтобы не превышать точности, при вычислении dz члены, квадратичные поE, должны быть опущены. Так как 100 |z | 100 = 0, получаем (см. упражнение 13.4.) | nlm |z | 100 |2.(13.73)dz = 2e2 E(0)(0)En − Eоснn>1 l,m(0)(0)Поскольку для всех возбужденных состояний En > Eосн , средний дипольный момент атома направлен вдоль поля (dz > 0), как и должно быть. Порядок величины дипольного момента легко оценить, снова используя соображения размерности:e ErB.(13.74)dz ≈ e rBRДля полей, удовлетворяющих условию (13.70) [см.
также(13.69)], выполняетсянеравенство dz e rB . Физически это означает, что внешнее электрическое полеслабо искажает движение электрона в основном состоянии. Действительно, в данном случае среднее смещение электрона значительно меньше боровского радиуса,который определяет размер области локализации электрона в основном состоянии.Задача о влиянии внешнего электрического поля на уровни энергии возбужденных состояний атома водорода является более сложной, чем рассмотренный намислучай основного состояния.
Дело в том, что все уровни энергии возбужденных состояний атома водорода вырождены по квантовым числам l и m. Например, уров(0)ню энергии E2 = −R/4 соответствуют четыре различных квантовых состояний:одно 2s-состояние (с волновой функцией ψ200 ) и три 2p-состояния (с волновымифункциями ψ210 и ψ21,±1 ). Даже для вычисления первых поправок от поля приходится применять теорию возмущений для вырожденных уровней энергии (см. раздел 10.3). Кратность вырождения n2 быстро растет с главным квантовым числомn, поэтому реально удается найти поправки только к уровням с небольшими значениями n.
Как и следовало ожидать, в электрическом поле вырожденные уровниэнергии расщепляются на несколько уровней. Величина расщепления оказываетсяпропорциональной напряженности электрического поля E (так называемый линейный эффект Штарка). В частности, первый возбужденный уровень (n = 2)расщепляется на три уровня: один из них остается двукратно вырожденным и име(0)ет энергию E2 = −R/4, а два других (невырожденных) уровня имеют энергии(0)E = E2 ± 3e rB E. Детали расчета читатель может найти, например, в книге [2].Расщепление уровней энергии возбужденных состояний атома водорода приводит Поэтому из соображенийНапомним, что ось z направлена вдоль внешнего поля E.симметрии следует, что средний дипольный момент будет также направлен вдоль оси z.Для сомневающегося читателя предлагаем полезное упражнение: следуя приводимомуниже выводу выражения для dz , доказать, что dx = dy = 0.1165к расщеплению спектральных линий, поэтому линейный эффект Штарка хорошопроверен с помощью оптических измерений.Кратко остановимся теперь на эффекте Штарка в сложных атомах.
Наши рассуждения будут основаны на методе самосогласованного поля. Напомним, чтов этом методе предполагается, что каждый электрон (в нулевом приближении)независимо движется в сферически симметричном самосогласованном поле U (r),создаваемом всеми остальными электронами и ядром. Из одноэлектронных волновых функций ϕnlm затем строится волновая функция всего атома, а уровни энергииатома находятся как сумма энергий отдельных электронов.
Как уже отмечалось,самосогласованное поле U (r) в сложных атомах отличается от кулоновского, по(0)этому невозмущенные одноэлектронные уровни εnl , относящиеся к разным значениям орбитального квантового числа l, имеют разную энергию. Иначе говоря,в сложных атомах нет вырождения одноэлектронных уровней по l. Таким образом, согласно теории возмущений значение энергии электрона в состоянии |nlm(с точностью до членов порядка E 2 ) дается формулой(0)εnlm = εnl + e E nlm |z| nlm + e2 E 2 | nlm |z| n l m |2n l(0)(0)εnl − εn l,(13.75)где матричные элементы вычисляются по волновым функциям электрона ϕnlmв отсутствие внешнего электрического поля.
Вспомним теперь, что состояния сзаданным l обладают определенной четностью при инверсии координат (см. раздел 8.2.). Отсюда сразу следует, что линейная по полю поправка к уровням энергии в формуле (13.75) равна нулю1 . Мы приходим к выводу, что в сложных атомах поправка к уровням энергии пропорциональна квадрату электрического поля(квадратичный эффект Штарка).13.7.Атом в постоянном магнитном полеПредположим теперь, что атом находится в постоянном магнитном поле, вектор Магнитное поле действует независимо на каждыйиндукции которого равен B.электрон, поэтому гамильтониан атома в данном случае имеет вид21 ˆe ˆ Ĥ =S · B + V̂ ,pk + eA(rk ) +2me kme k k(13.76)где суммирование ведется по всем электронам атома. Символом V̂ обозначен оператор взаимодействия электронов с ядром и друг с другом; он включает кулоновское и спин-орбитальное взаимодействия.
При записи (13.76) мы использоваливыражение (11.74) для гамильтониана одного электрона в магнитном поле. однородного магнитного поля возьмем следуюДля векторного потенциала Aщее представление : r) = 1 B × r .A((13.77)2При вычислении матричного элемента nlm |z| nlm легко заметить, что |ϕnlm |2 —четная функция координат, а z — нечетная функция. Поэтому интеграл по всему пространству равен нулю.1166 выполняется основноеОставляем читателю проверку того, что при таком выборе Aсоотношение B = ∇ × A.Работать непосредственно с гамильтонианом (13.76) очень сложно, поэтомупредварительно приведем его к более удобной форме. Рассмотрим оператор (номерэлектрона на время опустим)22ˆˆˆp + eA = p̂ + e p · A + A · p + e2 A2 . = A · pˆ , так как векторный потенциал зависит от координат,Вообще говоря, pˆ · Aˆ согласно правилам алгебры операторов, действуета оператор импульса p = −i∇,на все, что стоит справа от него.
Если, однако, выбрать векторный потенциал в можно переставить местами (см. упражнение 13.5.). Поэтомувиде (13.77), то pˆ и A2 = p̂ 2 + e2 A2 + e B × r · pˆ.pˆ + eAЭто выражение можно записать иначе, если воспользоваться известным свойством × B) ·C =A · (B × C). Мы получаемсмешанного произведения векторов: (A2 = p̂2 + e2 A2 + eB · r × pˆ .pˆ + eA(13.78)Виден результат проведенных преобразований: в последнее слагаемое входит хорошо знакомый оператор орбитального момента импульса электрона. Прежде чемподставить выражение (13.78) в гамильтониан (13.76), заметим, что e2 A2 имеетвторой порядок по полю, в то время как последний член линеен по B.
При достаточно малых полях (а именно этим случаем мы ограничимся) можно пренебречьe2 A2 . После этого гамильтониан атома в магнитном поле (13.76) записывается ввиде, удобном для применения теории возмущений:Ĥ = Ĥ (0) + Ŵмаг ,(13.79)где Ĥ (0) — гамильтониан свободного атома, а оператор Ŵмаг описывает взаимодействие электронов с внешним магнитным полем:ЗдесьŴмаг = −µˆ · B.(13.80)e ˆˆL + 2Sµˆ = −2me(13.81)— оператор магнитного момента атома1 , который выражается через полныйорбитальный момент электронов и их полный спиновый момент:ˆ k,ˆ =LLZk=1ˆˆ = k.SSZ(13.82)k=1Формула (13.80) напоминает выражение для энергии магнитного диполя с моментом Поэтому оператор (13.81) естественноµ · B.µ во внешнем магнитном поле: Wмаг = −назвать оператором магнитного момента атома.1167Отметим, что в формуле (13.81) коэффициент при спиновом моменте в два разабольше, чем коэффициент при орбитальном моменте.
Это легко понять, вспомнив,что гиромагнитное отношение для спина в два раза больше, чем для орбитальногомомента (см. раздел 11.5.).Рассмотрим теперь влияние магнитного поля на уровни энергии атома. Если = 0, то, как известно из раздела 13.5., стационарные состояния атома |LSJM BJхарактеризуются квантовыми числами L, S, J и MJ , которые определяют, соответственно, значения квадрата орбитального момента, квадрата спинового момента,ˆˆ и его проекции J на произвольно выбранˆ + Sквадрата полного момента J = Lz(0)ную ось квантования момента. Невозмущенные уровни энергии ELSJ не зависят отзначения проекции Jz (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
