Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Наши рассуждения будут основаны на методе самосогласованного поля. Напомним, чтов этом методе предполагается, что каждый электрон (в нулевом приближении)независимо движется в сферически симметричном самосогласованном поле U (r),создаваемом всеми остальными электронами и ядром. Из одноэлектронных волновых функций ϕnlm затем строится волновая функция всего атома, а уровни энергииатома находятся как сумма энергий отдельных электронов.
Как уже отмечалось,самосогласованное поле U (r) в сложных атомах отличается от кулоновского, по(0)этому невозмущенные одноэлектронные уровни εnl , относящиеся к разным значениям орбитального квантового числа l, имеют разную энергию. Иначе говоря,в сложных атомах нет вырождения одноэлектронных уровней по l. Таким образом, согласно теории возмущений значение энергии электрона в состоянии |nlm(с точностью до членов порядка E 2 ) дается формулой(0)εnlm = εnl + e E nlm |z| nlm + e2 E 2 | nlm |z| n l m |2n l(0)(0)εnl − εn l,(13.75)где матричные элементы вычисляются по волновым функциям электрона ϕnlmв отсутствие внешнего электрического поля. Вспомним теперь, что состояния сзаданным l обладают определенной четностью при инверсии координат (см.
раздел 8.2.). Отсюда сразу следует, что линейная по полю поправка к уровням энергии в формуле (13.75) равна нулю1 . Мы приходим к выводу, что в сложных атомах поправка к уровням энергии пропорциональна квадрату электрического поля(квадратичный эффект Штарка).13.7.Атом в постоянном магнитном полеПредположим теперь, что атом находится в постоянном магнитном поле, вектор Магнитное поле действует независимо на каждыйиндукции которого равен B.электрон, поэтому гамильтониан атома в данном случае имеет вид21 ˆe ˆ Ĥ =S · B + V̂ ,pk + eA(rk ) +2me kme k k(13.76)где суммирование ведется по всем электронам атома. Символом V̂ обозначен оператор взаимодействия электронов с ядром и друг с другом; он включает кулоновское и спин-орбитальное взаимодействия.
При записи (13.76) мы использоваливыражение (11.74) для гамильтониана одного электрона в магнитном поле. однородного магнитного поля возьмем следуюДля векторного потенциала Aщее представление : r) = 1 B × r .A((13.77)2При вычислении матричного элемента nlm |z| nlm легко заметить, что |ϕnlm |2 —четная функция координат, а z — нечетная функция. Поэтому интеграл по всему пространству равен нулю.1166 выполняется основноеОставляем читателю проверку того, что при таком выборе Aсоотношение B = ∇ × A.Работать непосредственно с гамильтонианом (13.76) очень сложно, поэтомупредварительно приведем его к более удобной форме. Рассмотрим оператор (номерэлектрона на время опустим)22ˆˆˆp + eA = p̂ + e p · A + A · p + e2 A2 . = A · pˆ , так как векторный потенциал зависит от координат,Вообще говоря, pˆ · Aˆ согласно правилам алгебры операторов, действуета оператор импульса p = −i∇,на все, что стоит справа от него. Если, однако, выбрать векторный потенциал в можно переставить местами (см.
упражнение 13.5.). Поэтомувиде (13.77), то pˆ и A2 = p̂ 2 + e2 A2 + e B × r · pˆ.pˆ + eAЭто выражение можно записать иначе, если воспользоваться известным свойством × B) ·C =A · (B × C). Мы получаемсмешанного произведения векторов: (A2 = p̂2 + e2 A2 + eB · r × pˆ .pˆ + eA(13.78)Виден результат проведенных преобразований: в последнее слагаемое входит хорошо знакомый оператор орбитального момента импульса электрона.
Прежде чемподставить выражение (13.78) в гамильтониан (13.76), заметим, что e2 A2 имеетвторой порядок по полю, в то время как последний член линеен по B. При достаточно малых полях (а именно этим случаем мы ограничимся) можно пренебречьe2 A2 . После этого гамильтониан атома в магнитном поле (13.76) записывается ввиде, удобном для применения теории возмущений:Ĥ = Ĥ (0) + Ŵмаг ,(13.79)где Ĥ (0) — гамильтониан свободного атома, а оператор Ŵмаг описывает взаимодействие электронов с внешним магнитным полем:ЗдесьŴмаг = −µˆ · B.(13.80)e ˆˆL + 2Sµˆ = −2me(13.81)— оператор магнитного момента атома1 , который выражается через полныйорбитальный момент электронов и их полный спиновый момент:ˆ k,ˆ =LLZk=1ˆˆ = k.SSZ(13.82)k=1Формула (13.80) напоминает выражение для энергии магнитного диполя с моментом Поэтому оператор (13.81) естественноµ · B.µ во внешнем магнитном поле: Wмаг = −назвать оператором магнитного момента атома.1167Отметим, что в формуле (13.81) коэффициент при спиновом моменте в два разабольше, чем коэффициент при орбитальном моменте.
Это легко понять, вспомнив,что гиромагнитное отношение для спина в два раза больше, чем для орбитальногомомента (см. раздел 11.5.).Рассмотрим теперь влияние магнитного поля на уровни энергии атома. Если = 0, то, как известно из раздела 13.5., стационарные состояния атома |LSJM BJхарактеризуются квантовыми числами L, S, J и MJ , которые определяют, соответственно, значения квадрата орбитального момента, квадрата спинового момента,ˆˆ и его проекции J на произвольно выбранˆ + Sквадрата полного момента J = Lz(0)ную ось квантования момента. Невозмущенные уровни энергии ELSJ не зависят отзначения проекции Jz (т.
е. от значения квантового числа MJ ) в силу сферическойсимметрии самосогласованного поля в атоме. В присутствии магнитного поля вырождение по MJ должно сниматься, так как сферическая симметрия нарушается.Таким образом, чтобы найти новые уровни энергии, мы должны применить теорию возмущений для случая вырождения невозмущенных уровней. С этой цельюнужно вычислить матричные элементы оператора (13.80) по волновым функциям с различными MJ . Эти матричные элементы пропорциональны матричнымэлементам оператора магнитного моментаˆ | LSJMJ . LSJMJ |µ(13.83)Задача осложняется тем, что явный вид волновых функций ψLSJMJ неизвестен;мы знаем лишь, что они являются собственными функциями операторов L̂ 2 , Ŝ 2 ,ˆ + 2S,ˆJˆ2 и Jˆz , т.
е. удовлетворяют соотношениям (13.56). К сожалению, оператор Lˆˆ матричныеˆ + S,входящий в выражение (13.81) не совпадает с оператором J = Lэлементы которого можно найти, не зная волновых функций ψLSJMJ . Мы изложимизящный прием, который позволяет обойти эту трудность.Попробуем представить оператор магнитного момента атома в виде произведенияˆµˆ = K̂ J,(13.84)где K̂ — пока неизвестный оператор.
Выберем его таким, чтобы получались правильные выражения для матричных элементов (13.83). Умножим справа равенˆˆ Используя затем формулу (13.81),ˆ + S.ство (13.84) скалярно на оператор J = Lнаходим, что22eˆ ˆ−L̂ + 2Ŝ + 3 L · S = K̂ Jˆ2 .2meЭто операторное равенство с помощью тождества (11.54) записывается в виде22221e−3Jˆ − L̂ + Ŝ = K̂Jˆ .(13.85)2 2meЕсли теперь подействовать операторами, стоящими справа и слева на волновуюфункцию ψLSJMJ , то с учетом соотношений (13.56) получимJ(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)e1+K̂ψLSJMJ = −(13.86)ψLSJMJ .2me2J(J + 1)168Видно, что действие оператора K̂ на волновые функции ψLSJMJ сводится к умножению на одно и то же число. Это очень важное обстоятельство, так как насинтересуют матричные элементы оператора магнитного момента именно по этимфункциям. Таким образом, все матричные элементы (13.83) будут точно вычислены, если считать, чтоe ˆJ,(13.87)µˆ = −g2meгде величинаJ(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)g =1+(13.88)2J(J + 1)называется множителем Ланде1 .
Подчеркнем, что представление операторамагнитного момента в виде (13.87) не является абсолютно точным; оно справедливо, как говорят, только в подпространстве квантовых состояний атома, которыеявляются суперпозицией состояний |LSJMJ с фиксированными значениями квантовых чисел L, S, J и с различными значениями MJ . Этого, однако, достаточнодля изучения свойств атомов в достаточно слабом магнитном поле.Подстановка выражения (13.87) в формулу (13.80) даетŴмаг = ge ˆ J · B.2me(13.89) то операторЕсли направить ось квантования момента z вдоль магнитного поля B,Ŵмаг принимает простой видŴмаг = geB ˆJ,2me z(13.90)который очень удобен для применения теории возмущений. Заметим, что отличныот нуля только диагональные элементы этого оператора по невозмущенным волновым функциям ψLSJMJ .
Поэтому сразу находим уровни энергии атома в первомприближении теории возмущений:(0)(0)ELSJMJ = ELSJ + LSJMJ |Ŵмаг | LSJMJ = ELSJ + g µB B MJ ,(13.91)где µB = e/2me — магнетон Бора; MJ = ±J, ±(J −1), . . . — всего (2J +1) значений.Подведем итоги. Из формулы (13.91) следует, что в магнитном поле каждыйуровень энергии атома расщепляется на (2J + 1) уровней симметрично относи(0)тельно невозмущенного уровня ELSJ . Иначе говоря, теперь квантовые состояния с имеют различразличными проекциями полного момента на направление поля Bную энергию.
Расстояние между соседними расщепленными уровнями∆E = g µB B(13.92)пропорционально индукции магнитного поля и множителю Ланде, который зависит от квантовых чисел L, S, J невозмущенных атомных состояний.Расщепление атомных уровней, определяемое формулой (13.92), называетсяаномальным эффектом Зеемана. С этим эффектом связана одна из интересных станиц истории квантовой механики.
Дело в том, что расщепление уровней1Часто используется также название g-фактор (“же”-фактор)169энергии атома в магнитном поле, которое проявляется, например, в расщепленииспектральных линий, было обнаружено экспериментально еще до открытия спинаэлектрона. Теория предсказывала, что расстояние между соседними расщепленными уровнями должно быть равно∆E = µB B.(13.93)Такое расщепление получило название нормального эффекта Зеемана. Между тем, эксперимент показывал гораздо более сложную и запутанную картину.Например, в атоме водорода все уровни расщеплялись “неправильно”.
В сложныхатомах с четным числом электронов (в атомах цинка, кадмия и др.) некоторыеуровни расщеплялись согласно формуле (13.93), а расщепление других уровней неописывалось этой формулой. Физики затратили много усилий на поиски причинстоль непонятного поведения атомов в магнитном поле, но объяснение эффектаЗеемана удалось найти только после открытия спина.Вернемся к формуле (13.92), определяющей расщепление атомных уровнейэнергии в магнитном поле. Из сравнения этой формулы с (13.93) ясно, что нормальный эффект Зеемана должен наблюдаться для тех состояний, для которыхмножитель Ланде равен единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
