Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики (1083078), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В данном разделе мы рассмотрим влияние постоянногоэлектрического поля на энергетические уровни атома. Это явление называетсяэффектом Штарка.Предположим, что атом, содержащий Z электронов, находится в постоянном Прежде всего нужно пои однородном электрическом поле с напряженностью E.строить гамильтониан атома с учетом взаимодействия электронов с электрическимполем. Очевидно, что гамильтониан есть сумма двух операторов:Ĥ = Ĥ (0) + W,(13.59)где Ĥ (0) — гамильтониан свободного атома, а W — потенциальная энергия всехэлектронов во внешнем электрическом поле. Вспоминая электростатику, запишемW = −eZϕ(rk ),(13.60)k=1где ϕ(rk ) электрический потенциал в точке расположения k-го электрона. Потенциал для однородного поля E дается хорошо известной формулойϕ(r ) = − E · r,(13.61)поэтому выражение (13.60) принимает видW = − E · d,где введен векторd = −eZrk .k=1Напомним, что для произвольной системы частиц с зарядами qk вектор d =(13.62)(13.63)kqkrkназывался электрическим дипольным моментом.
Формула (13.62) есть не чтоиное как частный случай общего выражения для энергии заряженных частиц воднородном электрическом поле.Найти точные собственные значения гамильтониана (13.59), т. е. точный спектрэнергии атома в электрическом поле, невозможно, так как для сложных атомов этазадача не решается даже в случае, когда E = 0. Будем предполагать, что электрическое поле является достаточно слабым, т. е. дополнительная энергия электроновв этом поле мала по сравнению с разностью между соседними уровнями энергиисвободного атома1 . Тогда для вычисления поправок к уровням энергии можно воспользоваться теорией возмущений, изложенной в параграфе 10. В данном случае1Количественную оценку для напряженности “слабого” поля мы получим позже.162роль оператора малого возмущения играет энергия электронов во внешнем поле(13.62).Естественно начать с атома водорода, для которого известны точные уровниэнергии при E = 0 и волновые функции стационарных состояний.
В атоме водорода всего один электрон, поэтому в системе координат, центр которой совпадает с потенциальную энергию электронаядром атома, а ось z направлена вдоль поля E,W можно записать в видеW = e Ez = e Er cos ϑ,(13.64)где r — расстояние электрона до ядра, ϑ — полярный угол (Рис. 8.1.).Рассмотрим сначала, как меняется энергия основного состояния атома водорода во внешнем электрическом поле. Если E = 0, то основным состоянием атома(0)водорода является 1s-состояние с энергией Eосн = −R (R — постоянная Ридберга). Нормированная на единицу волновая функция электрона в невозмущенномосновном состоянии дается формулой [см.
(9.29)]e−r/rB(0)= ψ100 (r, ϑ, ϕ) = 3 .ψоснπrB(13.65)Основной уровень атома водорода является невырожденным, поэтому в первомприближении теории возмущений имеем 0/ (0)Eосн = Eосн + ψ100 W ψ100 .(13.66)Вычисляя среднее значение с помощью выражений (13.64) и (13.65), легко убедиться, что оно равно нулю. Таким образом, главная поправка к энергии основногосостояния пропорциональна, по крайней мере, квадрату напряженности электрического поля. Для того, чтобы найти эту поправку, нужно вычислить сумму повозбужденным состояниям в формуле (10.27). Мы не будем заниматься этой техни(0)чески сложной задачей, а оценим разность ∆Eосн = Eосн − Eосн , используя простыесоображения.
Во-первых, заметим, что эта разность отрицательна, так как для(0)(0)данного случая в формуле (10.27) En — это энергия основного состояния, а Em— уровни энергии возбужденных состояний, которые лежат выше. По порядку ве(0)(0)личины матричные элементы оператора возмущения (13.64) и разности Em − Eоснможно оценить как| m |W | n | ≈ e ErB ,(0)(0)Em− Eосн≈ R,(13.67)где rB = 0, 51 Å — боровский радиус для атома водорода1 .
Тогда для ∆Eосн получаем оценку2e2 E 2 r B.(13.68)|∆Eосн | ≈RБоровский радиус — единственный параметр с размерностью длины в интегралах,которые определяют матричные элементы m |W | n оператора (13.64). Поэтому из соображений размерности следует, что все эти матричные элементы пропорциональны rB .1163Чтобы найти числовой множитель в этом выражении, нужно вычислить суммув (10.27). Поправку к энергии основного состояния можно считать малой, если(0)|∆Eосн | |Eосн | или, что то же самое,ER.e rB(13.69)Подставляя сюда значения заряда электрона, боровского радиуса и энергии ионизации атома водорода R = 13, 6 эВ, получаем условиеE 1011 В/м,(13.70)которое с большим запасом выполняется для реально достижимых в экспериментеэлектрических полей.Хотя внешнее электрическое поле (разумной величины) мало изменяет энергиюосновного состояния, оно приводит к вполне наблюдаемому эффекту — поляризации газообразного водорода.
Дело в том, что во внешнем поле у каждого атомапоявляется средний дипольный момент d , направленный вдоль поля. Вообщеговоря, причину появления дипольного момента у любого атома, находящегося вэлектрическом поле, легко понять и не обращаясь к квантовой механике.
Электрическое поле действует на электроны и ядро силами, направленными в противоположные стороны. В результате центры положительного и отрицательного зарядовв атоме смещаются и появляется дипольный момент, величина которого растет сростом поля. Если поле выключить, дипольный момент тут же исчезнет. Интересно проследить, как объясняет явление поляризации атома квантовая механика.Для определенности будем говорить об атоме водорода.Заметим, что под действием электрического поля изменяются не только уровни энергии атома водорода, но и волновые функции стационарных состояний1 . Вновых стационарных состояниях электрон движется немного иначе.
В первом порядке теории возмущений новые волновые функции даются формулой (10.30). Вчастности, волновая функция основного состояния атома водорода в электрическом поле записывается какψосн = ψ100 + nlm |W | 100 n>1 l,m= ψ100 + e E(0)(0)Eосн − Enψnlm = nlm |z | 100 n>1 l,m(0)(0)Eосн − Enψnlm ,(13.71)где n, l, m — хорошо знакомые квантовые числа электрона в атоме водорода, аψnlm — волновые функции стационарных состояний в отсутствие поля. СреднийДля простоты мы не будем учитывать спин-орбитальное взаимодействие и связаннуюс ним тонкую структуру спектра энергии возбужденных состояний свободного атома.Такое упрощение оправдано при достаточно больших значениях напряженности E, когдаэнергия электрона в электрическом поле превышает расстояние между уровнями тонкойструктуры. Оценки показывают, что для водорода можно пренебречь спин-орбитальнымвзаимодействием, если E > 10 5 В/м.1164дипольный момент атома dz в основном состоянии дается формулой1dz = −e z = −e ψосн |z | ψосн .(13.72)Вычислим теперь среднее значение, используя выражение (13.71) для волновойфункции основного состояния.
При этом нужно учесть, что само выражение(13.71) справедливо с точностью до первой поправки по возмущению. Поэтому, чтобы не превышать точности, при вычислении dz члены, квадратичные поE, должны быть опущены. Так как 100 |z | 100 = 0, получаем (см. упражнение 13.4.) | nlm |z | 100 |2.(13.73)dz = 2e2 E(0)(0)En − Eоснn>1 l,m(0)(0)Поскольку для всех возбужденных состояний En > Eосн , средний дипольный момент атома направлен вдоль поля (dz > 0), как и должно быть.
Порядок величины дипольного момента легко оценить, снова используя соображения размерности:e ErB.(13.74)dz ≈ e rBRДля полей, удовлетворяющих условию (13.70) [см. также(13.69)], выполняетсянеравенство dz e rB . Физически это означает, что внешнее электрическое полеслабо искажает движение электрона в основном состоянии. Действительно, в данном случае среднее смещение электрона значительно меньше боровского радиуса,который определяет размер области локализации электрона в основном состоянии.Задача о влиянии внешнего электрического поля на уровни энергии возбужденных состояний атома водорода является более сложной, чем рассмотренный намислучай основного состояния.
Дело в том, что все уровни энергии возбужденных состояний атома водорода вырождены по квантовым числам l и m. Например, уров(0)ню энергии E2 = −R/4 соответствуют четыре различных квантовых состояний:одно 2s-состояние (с волновой функцией ψ200 ) и три 2p-состояния (с волновымифункциями ψ210 и ψ21,±1 ). Даже для вычисления первых поправок от поля приходится применять теорию возмущений для вырожденных уровней энергии (см. раздел 10.3). Кратность вырождения n2 быстро растет с главным квантовым числомn, поэтому реально удается найти поправки только к уровням с небольшими значениями n. Как и следовало ожидать, в электрическом поле вырожденные уровниэнергии расщепляются на несколько уровней.
Величина расщепления оказываетсяпропорциональной напряженности электрического поля E (так называемый линейный эффект Штарка). В частности, первый возбужденный уровень (n = 2)расщепляется на три уровня: один из них остается двукратно вырожденным и име(0)ет энергию E2 = −R/4, а два других (невырожденных) уровня имеют энергии(0)E = E2 ± 3e rB E. Детали расчета читатель может найти, например, в книге [2].Расщепление уровней энергии возбужденных состояний атома водорода приводит Поэтому из соображенийНапомним, что ось z направлена вдоль внешнего поля E.симметрии следует, что средний дипольный момент будет также направлен вдоль оси z.Для сомневающегося читателя предлагаем полезное упражнение: следуя приводимомуниже выводу выражения для dz , доказать, что dx = dy = 0.1165к расщеплению спектральных линий, поэтому линейный эффект Штарка хорошопроверен с помощью оптических измерений.Кратко остановимся теперь на эффекте Штарка в сложных атомах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
