Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 74
Текст из файла (страница 74)
17.3.6. Она носит характер убывающих по амплитуде колебаний с рядом узлов, в которых функция обра. щается и нуль. Конкретный вид графика, очевидно, зависит от значений ио ии Представляет интерес предельный вид функции ге(т) при и, оо. Очевидно, прн из=и, =и спектр случайной функции обращается в дискретный с одной-едииственяой линией, соответствующей частоте кб при этом корреляционная функции обращается в простую косинусоиду: то (.) ==- соз мт.
посмотрим, какой вид в этом случае имеет сама случачиая функция ло(т). При дискретном спектре с одной-единственной линией спектральное разложение стационарной случайной функции Х (т) имеет вид: Х(1) = У солит+ )гз!и ей (17.33 о) ттл! спектвлльное нлзложвнне нл весконечном т лотке 437 где (7 и г' — некоррелироваиные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и равными дисперсиями: В((г)=В(Р)=О, Покажем, что случайная функция типа (17,3.14) может быть представлена как одно гармоническое колебание частоты ч со случайной амплитудой н случайной фазой. Обозначая У сов Ф= =, з!пФ= ~"(7~+ 1Ж' )г(гз+ 171 ' приводим выражение (17.3.14) з виду: Х (!) = )' У'+ Ъ' (соз Ф соз чг+ з!и Ф з!и эт) = г (7ч+ Ъ™ соз (ч! — Ф).
В агом выражении )' У'+ Рт — случайная амплатуда; Ф вЂ” случайная фаза гармонического колебания. До сих пор мы рассматривали только тот случай, когда распределение дисперсий по частотам является непрерывным, т. е. ко!дз на бесконечно малый участок частот прикодится бесконечно малая дисперсия. На практике иногда встречаются случаи, когда случайная Рис. !7й,б, функция имеет в своем составе чисто периоднческу!о составляющую частоты юл со случайной амплитудой. Тогда в спектральном разложении случайной функции, помимо.
непрерывного спектра частот. будет фигурировать еще отдельная частота юа с конечной дисперсией Рю В общем случае таких периодических составляющих может ныть несколькщ Тогда спектрллыю разлом нп корреляционной фушгцнн будет состоять из двух частей: дискретного и непрерывного спектра: Д (т)= — ~) )Олсозю т+ ~ 5„(ы)созютг(ю. (17.3.15) л з 438 ствциоилгиыв слтчлниые эвикции 1гл. ж 17.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме В ряде случаев с точки зрения простоты математических преобразований оказывается удобным пользоваться не действительной, а комплексной формой записи как спектрального разложения случайной функции, так и ее характеристик: спектральной плотности и корреляционной функции.
Комплексная форма записи удобна, в частности, потому, что всевозможные линейные операции над функциями, имеющими внд гармонических ко.тебаний (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. д.), осуществляются гораздо проще, когда эти гармонические колебания записаны не в виде синусов и косинусов, а в комплексной форме, в виде показательных функций. Комплексная форма записи корреляционной функции и спектрзльной плотности применяется и в тех случаях, когда сама случайная функция (а следовательно, н ее корреляционная функция и спектральная плотность) действительна.
Покажем, как можно в спектральном разложении случайной функции чисто формально перейти от действительной формы К комплексной. рассмотрим спектральное разложение (!7.2.8) случайной функции Х(Е) на участке (О, 7): Л(О ~~ (Оасоача) т газшшае), агщ (1 7.4.1) где (7а, 1'„ — некоррелированные случайные величины, причем для каждой пары (/ю Ра с одинаковыми индексамн дисперсии равны: О(()а] = 7)(~'„~ = 0а.
Учитывая, что аа=Ье,; ма=О, перепишем выражение (17,4.1) в виде: Х (1) = (I .+ ~, ((7„соз м„1+ 1' сйп м 1). (17,4,2) а=! Случаи стационарных случайных функций с таким «смешанным» спектром на практике встречаются довольно редко. В этих случаях всегда имеет смысл разделить случайную функцию на два слагаемых — с непрерывным и дискретным спектром' — и исследовать эти слагаемые в отдельности.
Относительно часто приходится иметь дело с частным случаем, когда конечная дисперсия в спектральном разложении случайной функции приходится на нулевую частоту (м = О). Это значит, что в состав случайной функции в качестве слагаемого входит обычная случайная величина с дисперсией ))а. В подобных случаях также имеет смысл выделить это случайное слагаемое и оперировать с ним отдельно.
спвктглльноя влзложвния в комплякснон поямя 439 «гл1 Придадим спектральному разложению (17.4.2) комплексную форму. Для этого воспользуемся известными формулами Эйлера: !"»' ° е +е соз м»1= ! ! -«в! «в»! †«в»! е — е е — е з!пм»г— 2! Подставляя эти выражения в формулу (17.4.2), имеем: ! !в»! ! „! — «в«1 Х (1) = У~+ ~ ~У» 2 — 1Ъ'„2 ), (17.4,3) т. е. разложение с координатными функциями е»', е Преобразуем разложение (17.4.3) так, чтобы в нем в качестве координатных функций фигурировали только функции е'"»!; для этого распространим условно область частот м«на отрицательные значения в и в качестве частот спектрального разложения будем рассматривать значения м«=йм! (й=+1, +2, ...), т. е.
будем считать, что А принимает не только положительные, но и отрицательные значения. Тогда формулу (17.4.3) можно переписать в виде: Ю вЂ” ОЬ Х(!)=И + ~ — «"— 2 —" е'"» + ~ «(2 " е "»', (17,4.4) » ! »=-! если положить Х(«)= ~ Ж'»е~ »«, (17 4,5) где 5! — !"г' 'ит = « ' прк й.»0, 1Г»= "2" при А<0. ~ (17,4.6) = ('»' 1' - = (' » Формула (17.4.4) представляет собой разложение случайной функции Х(1), в котором в качестве координатных функций фигурируют комплексные функции е "«', а коэффициенты представляют собой комплексные случайные величины.
Обоаначая эти комплексные слу:. ньыг ь»,л. л:ны ',,'» !/; .:1, -",...), прздсдчп разложению(17.4.4) форму: 440 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ФУНКЦИИ !Гл. !т Докажем, что разложение (!7А.5) является каноническим разложением случайной функции Х(1). Для этого достаточно показать, что случайные коэффициенты этого разложения не коррелнрованы между собой. Рассмотрим сначала коэффициенты двух различных членов разложенна в положительной части спектРа (Р~ и В'! пРи и чь1, л) О, 1) 0 и определим корреляционный момент этих величин. Согласно определению корреляционного момента для комплексных случайных величин (см, и' !5.9) имеем: Кы ™ (~'Р'с) где (р'! — комплексная сопряженная величина для В'и При л>0, 1>0 К мГ ('» !" » 17х гь1 1 мг (7» л/» и!+У!) 2 = 4! М !(7„(7,(+1М (и,У!! — 1М (и,У,)+М (И,! !)! = О.
так как случайные величины (7», У», фигурируюшне в разложении (!7.4.!), все не коррелированы между собой. Совершенно так же докажем некоррелированность величин )р'», %', при любых знаках индексов и н 1, если лчь+1, Остается доказать только некоррелнрованность коэффициентов при симметричных членах разложения, т. е. величин )р'» и В' » при любом й. Имеем: К», »=М((Р»(Р»)= =М((7 —" 17+" 1='М((и 1! )т)= 2 2 3 4 =- —,' (М (и',1 — И(У»~ — аМ (иР,)1. Учитывая, что величины (7», И», входяшие в один и тот же член разложения (!7.4.!), не коррелированы з имеют одинаковые дисперсии 1)», по.учни; К», „= — (О» — В» — 21 ° 0) = О. ! Таким образом, доказано, что разложение (!7.4.5) представляет собой не что иное, как каноническое разложение случайной функции Х(1) с комплексными координатными функциями е» и комплексными коэффициентами (У».
Найдем дисперсии этих коэффнциентов, Прн и = 0 диснерюш О, осталась, очевидно, такой же. как была при действительной форме спектРАльное РАзлОжение в кОмплекснОЙ ФОРме 441 ПА1 спектрального разложения. Дисперсия каждой из комплексных величин (р'А (при й-„ьО) равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей: + 4 4 2 1) (иа) 11 (Ра) ю (иа) в, 4 Введем обозначение: В„*= — ' при йчьО; В„=7)е при А=О 2 и построим дискретный спектр случайной функции Х(1), распро.
страненный на частоты от — ОО до +со (рис. 17.4.1). АЗ А4 ы 17 аг аа Ау Рве. 17,4.1. Этот спектр симметричен относительно оси ординат; от ранее построенного спектра (рис. 17.2Л) он отличается тем, что определен не только для положительных, но и для отрицательных частот, но зато его ординаты при )а + О вдвое меньше соответствующих ординат прежнего спектра; сумма всех ординат по-прежнему равна дисперсии случайной функции Х (1)1 о,= Яп„, (17.4. 7) Определим корреляционную функцию случайной функции Х(1), представленной в виде комплексного спектрального разложения(17.4.5). Применяя формулу (16.2.15) для корреляционной функции комплексной случайной функции, заданной каноническим разложением, имеем: л.(1, 1')= Х Оае~ А' е1"а'=— а -со СО ОЭ Х 0ае' а' е ' а'= ~ 7)ае"АП А= -оэ А=-.. 442 стАнионАРныа случАяные Функцигг [гл.
~ нли, переходя к аргументу т=1' — 1, л„(т)= ~ 7)»ег»', (17.4.8) где г г с)» = 2 с)»= Т / д,(т)созм»тегт при А+О. (17.4,9) е Придадим выражению (17.4.9) также комплексную форму. По- лагая соам т= + 2 получим: г 72;=27 ~й„(т)'(е''+е '"')» = а г г =,— ', )~.(ч -"~ ~-/ а„ы.''~.~. е о Полагая во втором интеграле т= — и, имеем: -г ~ л (т)е~ » Ит= — ~ )г„(и)е» г7и= ) )г (т)е ~ «'»1т, е о -г откуда г -г (17.4.10) ~~» геп — 1|ш .—— и получить в пределе из формул (17.4.8), (17.4.10) интегральные соотношения, связывающие корреляционную функцию и спектральную плотность в комплексной форме. В пределе при Т- со формулы (17.4.8) Таким образом, мы построили комплексную форму спектрального разложения случайной функции на конечном интервале (О, Т).
Далее естественно перейти к пределу при Т-» со, как мы делали для действительной формы, т. е, ввести в рассмотрение спектральную плотность спектРАльнОе РАЗЛОженне в кОмплекснОН ФОРме 443 ттл! н (17.4 10) принимают вида д (ч)= ~ 3 (ал)ат т!аь (17.4.11) Ю,(Ф)= — / и (с)е ™тут. (17.4.12) Формулы (17,4.11) и (17А.12) представляют собой комплексную форму преобразований Фурье, связывающих корреляционную функцию и спектральную плотность'). Формулы (17.4.1!) и (17.4.12) могут быть и непосредственно получены из формул (17.3.9) и (17.3.10), если произвести в них замену Соз Фт = 2 положить о (Ф) = 28 (ю) и расширить область интегрирования на интервал от — со до + со. Полагая в формуле (17.4.11) т = О, получим выражение дисперсии случайной функции Х (г): 1)„= ( 3„(ю) с!еь (!7.4.13) Формула (17.4.13) выражает дисперсию случайной функции в виде суммы элементарных дисперсий, распределеннык с некоторой плотностью по всему диапазону л Гы/ ход частот от — Оо до + Оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
