Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Реакцию на воздействие Х (Г) мы уже умеем находить. Воздействие (7о мы рассмотрим как гармоническое колебание нулевой частоты а = О; согласно формуле (17.5.11) реакция на него будет равна (1 7.5. 29) о — ао Слагаемое Ъ'о просто прибавится к реакции системы на воздействие Х(!). !7.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом В предыдущем и' был рассмотрен вопрос о преобразовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой и получены простые математические приемы решения этой задачи. !!реобразование случайной функции свелось к простейшему преобразованию (умножению на квадрат молуля частотной характеристистота спектральной теории стационарных случайных процессов делает ее нозаиешгиын аппарзгом прн исследовании линейных динамических систем, работающих в условиях наличия случайных возмущений (помех).
!7«1 пянмвнвния твоими стлцнонлвных пвоцвссов 455 Обычно при решении практических задзч нас интересует не сама по себе корреляционная функция Ь (т) на выходе системы, а связанная с нею дисперсия О =Ь 10), которая характеризует ошибки системы, вызванные поступающими на нее случайными возмущениями, и во многих случаях может служить критерием точности работы системы.
При исследовании динамических систем методами теории случайных функций решаются два вида задач, которые можно назвать «прямыми» и «обратными». Прямая задача состоит в следующем. Анализируется заданная линейная динамическая система с вполне определенными параметрами, работа которой описывается линейным дифференциальным уравнением: (а„р" + а„,р"-'+ ... + а,р+ а ) у (г) = =(Ь р" +Ь рм — 1+ ...
+Ь1р+Ьа) х(Г). (17.6.1) Требуется исследовать точность работы системы при наличии на ее входе стационарного случайного воздействия — так называемой «стационарной помехи». Для этого прежде всего исследуется случайная помеха. определяются ее корреляционная функция и спектральный состав. Далее, описанными выше методами находятся спектр и дисперсия случайной функции на выходе системы. Дзсперсия на выходе, очевидно, зависит как от характеристик случайного возлействия на входе, так и от коэффициентов уравнения.
Решая такую задачу, можно оценить точность работы ааданной системы в условиях различного рода помех. Обратная задача состоит в том, чтобы так выбрать коэффициенты уравнения (17.6.1), чтобы при заданном спектральном составе помехи ошибки на выходе системы были мннимальнымн. При заданных характеристиках случайной функции (помехи) на входе системы дисперсия на выходе зависит от всей совокупности коэффициентов уравнения: В =В„(а„. а„„..., ап ао " Ьт-г ° ° Ь1 Ьо). системы, и некоторымн из них при проектировании системы можно в достаточно широких пределах распоряжаться, Задача выбора рациональных значений этих параметров может быть решена исходя из того требования, чтобы дисперсия О, была минимальна. Слелует оговор жься, что на практике часто не удается полностью удовлетворить этому требованию.
Депе~вительно, вывсдекные рамн выражения Лля карр«ляпни.-.: ой функцш; и дисперси.. нз ычоде систелгы справелливы только дла значений времени Ф, достаточно улаленных от начала случайного процесса, кчгда все переходные процессы в системе, связанные с ее свободными колебаниями, успели СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ (гл н уже затухнуть. В действительности же часто приходится применять линейные динамические системы (прицелы. счетно-решающие механизмы, следящие системы и т. п.) на ограниченном участке времени; при этом быстрота затухания переходных процессов в системе существенно зависит от ее конструктивных параметров, т.
е. от тех же коэффициентов уравнения (17.6.1). Если выбрать эти коэффициенты так, чтобы они обращали в минимум дисперсию на выходе (для достаточно удаленных моментов времени), это, как правило, приводит к тому, что на выходе системы появляются другие ошибки, связанные с тем, что переходные процессы в системе еще не успели аатухнуть. Эти ошибки обычно называют динамическими ошибками. В связи с ограниченностью времени применения линейных систем и наличием динамических ошибок на практике обычно приходится решать задачу о рациональном выборе параметров системы не на чистом принципе минимума дисперсии, а с учетом динамических ошибок.
Рациональное решение задачи находится как компромиссное, при котором, с одной стороны, дисперсия на выходе системы достаточно мала, с другой стороны — динамические ошибки не слишком велики. В случае, когда и2цутся оптимальные параметры системы с учетом как дисперсии, так и систематических динамических ошибок, часто в качестве критерия точности работы системы выбирают второй начальный момент а на выходе системы: а =0„+т2„, 2 где 0 — дисперсия, т — систематическая ошибка на выходе системы.
При этом параметры системы выбирают так, чтобы они обращали в минимум величину а2. Иногда в качестве критерия для оценки системы выбирают не дисперсию и не второй начальный момент, а какую-либо другую величину, связанную с целевым назначением системы.
Например, при исследовании прицельных устройств и систем управления, предназначеннных для стрельбы, к выбору их параметров часто подходят, исходя из максимума вероятности поражения цели. Упомянем еще об одной типичной задаче, связанной с рациональным конструированием динамических систем. Ло сих пор мы рассматривали только аадачу о рациональном выборе коэффициентов уравнения (17.6.1), самый же вид уравнения считался заданным. При решении задач, связанных с так называемым синтезам динамических систелг, задача ставится более широко. В частности, ставится вопрос о рациональном выборе самого вида уравнения или, еще шире, задача об определении Оил2ииииьийаи ОЛГ22итори ДннаиичеСКОй СПСТСМЫ. Таного РОДА ЗалаЧИ Ь Настоашаа ВРЕМЯ УСПЕшно РЕШашши методами теории случайных функций.
При решинии пран2ических задач, связанных с а наливом н шштезом динамических систем, часто не удается ограничиться кругом э»годичпсков свойство стлцнонмвных Фкнкцип 457 ыгп стационарных случайных процессов и относящимся к нему аппаратом спектральной теории. Однако в ряде случаев, несколько видоизменив этот аппарат, можно применить его и для нестационарных процессов. На практике часто встречаются так называемые «квазистационарные» случайные функции и «квазистационарные» динамические системы; они характерны тем, что изменения характеристик случайных функций и параметров системы со временем протекают сравнительно медленно.
Для таких случайных процессов В. С. Пугачевым разработан метод, по структуре мало отличающийся от спектрального, но применимый в более широком диапазоне условий '). 17.7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций Рассмотрим некоторую стационарную случайную функцию ХЩ и предположим, что требуется оценить ее характеристики: мзтематическое ожидание гл и корреляционную функцию )г„(т). Выше (см. п' 15.4) были изложены способы получения этих характеристик из опыта. Для этого нужно располагать известным числом реализаций случайной функции Х(1).
05рабатывая эти реализации, можно найти оценки лля математического ожидания т,(1) и корреляционной функции Кх (1, Г'). В связи с ограниченностью числа наблюдений функция лг (1) не будет строго постоянной; ее придется осреднить н заменить некоторым постоянным т,; аналогично, осредняя значения К (Ф, У') для разных «=1' — г, получим корреляционную функцию Й„(т). Этот метод обработки, очевидно, является довольно сложным и громоздким н к тому же состоит из двух этапов: приближенного определения характеристик случайной функции и также приближенного осреднения этих характеристик.
Встественно возникает вопрос: нельзя ли для стационарной случайной функции этот сложный, двухступенчатый процесс обработки заменить более простим, который заранее базируется на предположении, что математическое ожидание не зависит ог времени, а корреляциоиьая функция — ог паза:ш отсчета? Кроме того, возникает вопрос: при обработке наблюдений над стационарной случайной функцией является ли сушественно необходимым располагать не скольки м и реализациями? Поскольку случайный процесс является сташюнарным и протекает однородно по времени, естественно н)л цьоложнзь. ' о одн -единстве» и за р ел л и ззц и я достаточнои поололжи1ельности может служить достаточныи опь тпым материалом для получения характеристик случайной функции, ') Си.
В. С. Пугачев. Теория случайных функций и ее применение н залачаи автоматического управления, Физматгиз, 1262. 458 стАцнонАРныя случАиныя Функции [ГЛ. 17 При более подробном рассмотрении этого вопроса оказывается, что такая возможность существует не для всех случайных процессов: не всегда одна реализация достаточной продолжительности оказывается эквивалентной множеству отдельных реализаций. Для примера рассмотрим две стационарные случайные функции Х,(1) и Х (7), представленные совокупностью своих реализаций на рис. 17.7.1 и 17,7.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
