Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 79
Текст из файла (страница 79)
37 а! опгеделение хлиактевистик эягодическои эгнкции 463 Вычислим при заданном т мзтематическое ожидание случайной функции Х(г) Х(!+т) как среднее по времени. При этом, очевидно, нам придется учитывать не весь участок времени от О до Т, а несколько меньший, так как второй сомножитель Х(7+ с) известен нам не для всех 7, а только для тех, для которых !+т (Т. Вычисляя среднее по времени указанным выше способом, получим: г-т й,(т)= — „! х(!)х(И+т)«г. 1 е Вычислив интеграл (17.8А) для ряда значений т, можно приближенно воспроизвести по точкам весь ход корреляционной функции.
На практике обычно интегралы (17.8.!) и (17.8А) заменяют конечными суммами. Покажем, как это делается. Разобьем интервал Рнс. 178 !. записи случайной функции на и равных частей длиной ог и обозначим середины полученных участков !н !т, ..., 1„(рис. 17.8Л). Представим интеграл (17.8.1) как сумму интегралов по элементарным участкам АГ и на каждом нз ннх вынесем функцию х (!) из-под знака интеграла средним значением, соответствующим центру интервалах (!!). Получим приближенно: л 1 Т~кч гл = — — т х(!), Тл тг ~=1 нлн лг, = — У х (1;). 1=1 Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для значений т. равных О, А7, 2 ог,... Придаднм, например, величине т значение тТ т=т а!=в и и вычислим интеграл (!7.8.4!.
деля интервал интегрирования тТ л — т Т вЂ” т=Т вЂ” — = — Т л л 464 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 1гл 11 на и — т равных участков длиной б( и вынося на каждом из ннх функцию х (1) х(7+ т) за знак >штеграла средним значением. Получим: ь. ( л )=(, )7 Х ('~)"(71 1=1 или окончательно й„( — „)= „' ~~ х®х(7„), (!7.8.6) 1=1 Вычисление корреляционной функции по формуле (17.8.6) производят для и = О, 1, 2, ... последовательно вплоть до таких значений т, при которых корреляционная функция становится практически равной нулю или начинает совершать небольшие нерегулярные колебания около нуля.
Общий ход функции л (т) воспроизводится по отдельным точкам (рис. 17.8.2). Для того чтобы математическое ожидание лг и корреляционная функция л (т) были определены с удовлетворительной точностью, нужно, чтобы число точек л было Мл Гт) достаточно велико (порядкз сотни, а в некоторых случавх даже нескольких сотен).
Выбор длины элементарного участка б1 опредеа ляется характером изменения случайной функции. Если случайная функция изменяется сравнительно плавно, участок М можно выби- лГ ллт т рать ббльшим, чем когда она совершает резкие и частые колебаРие. 17.8.2. ния. Чем более высокочзстотный состав имеют колебания, обрззующие случайную функцию, тем чаще нужно располагать опорные точки прн обработке. Ориентировочно можно рекомендовать выбирать элементарный участок йг так, чтобы нз полный период самой высоьо ыао1ноц 1,:811онскн в со 1аве са юнпои ф)~»;ции нрнлид11лось порядка 5 — 10 опорных точек. Часто выбор опорных точек вообще не зависит от обрабатывающего, а диктуется темпом работы записывающей аппаратуры. В этом случае следует вести обработку непосредственно полученного из опыта материала, не пытаясь вставить между наблюдсннымн значениями промежуточные, так как это не может повысить точности результата, а излишне осложнит обработку.
П р и и е р. В условиях горизонтального полета самолета произведена запись вертикальной перегрузки, действующее на самолет. Перегрузка ревстрнревзлась на участке времене 200 сек с интервалом 2 сгк. Результаты (т.а) опрнднлниив хлндктрристик нргодичвскои пункции 465 приведены в таблице 17.8.1.
Считая процесс изменения перегрузки стационар. ным, определить приближенно математическое ожидзиие перегрузки гл дисперсию Р и нормированную корреляционную функцию р (е). Апвроксймировать р (е) какой-либо аналитической функцией, найти и построить спектральную плотность случайного процесса. Таблица 1781 Перегрузка р)(Г) (еек) Перегрузка 1 )у Ио ~ (еек) Перегрузке л((0 Перегрузка )т (г) (еек) (еек) 1,0 1,1 1,5 1,0 0,8 100 !02 104 106 108 1,1 110 11 П2 1,2 114 Р е ш е н и е.
1!о формуле (17.8.5) имеем: Центрируем случайную функцию (табл. !7.8.2). Возводя в квадрат все значения Уеч(() и деля сумму на и =100, позу(им приближенно дисперсию случайной функции Д((()( ЮО ;". (д ((())з Р = — ') — — = 0,1045 )ч 100 30 е. о. Векгкель 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 1,0 1,3 1,1 0,7 0,7 1,1 1,3 0,8 0,8 0,4 0,3 0,3 0,6 0,3 0,5 0,5 0,7 0,8 0,6 1,0 0,5 1,0 0,9 1,4 1,4 50 . 52 54 56 58 60 62 64 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 96 98 1,0 0,8 0,8 1,2 0,7 0,7 1,1 1,5 1,0 0,6 0,9 0,8 0,8 0,9 0,9 0,6 0,4 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 142 144 146 148 1,2 1,4 0,8 0,9 1,0 0,8 0,8 1,4 1,6 1,7 1,3 1,6 0,8 1,2 0,6 1,0 0,6 0,8 0,7 0,9 1,3 1,5 1,1 0,7 1,0 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 182 184 186 188 190 192 194 196 198 0,8 0,6 0,9 1,2 1,3 0,9 1,3 1,5 1,2 1,4 1,4 0,8 0,8 1,3 1,0 0,7 1,1 О,Я 0,9 1,! 1,2 1,3 1,3 1,6 1,5 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ФУНКЦИИ !ГЛ, !7 Таблица 1782 е( 07 ( (сек) ~ )т )6(г) „' (сек) )6(е) Н) (сек) (сек) 52 54 58 64 66 68 72 74 — 0,68 76 — 0,48 78 — 0,48 80 — 0,28 82 — 0,18 84 — 0,38 86 0,02 88 — 0,48 90 — 0,38 178 0,02 180 — 0,38 182 — 0,18 184 — 0,28 186 — 0,08 188 0,32 190 0,52 192 0,12 194 — 0,28 )~ 196 0,02 ).
198 002 ) 92 — 0,08 94 0,42 ) 96 0,42; 98 / — ксс и среднее квадратическое отклонение: к . = 0,323. Перемножая значения )тс'((), разделенные интервалом т = 2, 4, 6, ..., и деля сумму произведение соответственно нз т си и (т) и — 1=99; и — 2=98; л — 3=97,..., получим значения корреляционной функции А,(т). Нормируя корреляционную е()рак)т! функцн)о делением нз к) =0,1045, получим таблицу значений функции р (к) (табл. 17.8.3).
График функции р (к) представлен чм на рис. 17.8.3 в виде точек, соединенных пунктиром. Не вполне гладкий ход кор() Т яснев нелостаточным объемом вкспернмги сальных данных (недостаточной проРис. 17.83, должнтельностью опытз), в связи с чем случайные неровности н ходе функции не успевжот сгладиться. Вычисление р . (т) продолжено до таких значений т, при которых фактически корреляпяонная свнзь пропадает.
0 2 4 б 8 10 12 14 16. 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 0,02 0,32 0,12 — 0,28 — 0,28 0,12 0,32 — 0,18 — 0,18 — 0,58 — 0,68 — 0,68 — 0,38 0,02 0,12 052 0,02 — О,!8 0,12 0,12 0,22 0,02 — 0,18 — 0,18 0,22 — 0,28 — 0,28 0,12 0,52 0,02 — 0,38 — 0,08 — 0,18 — 0,18 — 0,08 — 0,08 1 100 102 104 106 108 1!О 112 Н4 116 1Р3 120 122 124 128 136 138 140 142 144 146 148 0,22 )( 150 0,42 ) 152 — 0,18 ) 154 — 0,08 ( 156 0,02 158 — 0,18 !) 160 — 0,18 () 162 0,42 ~/ !64 0,62, 166 0,72 168 0,32 170 0,62 172 — 0,18 ! 174 0,22 ~ 176 — О,!8 — 0,38 — 0,08 0,22 0,32 — 0,08 0,32 0,52 0,22 0,42 0,42 — О,!8 — 0,18 0,32 0,02 — 0,28 0,12 — 0,08 — 0,08 О,!2 0,22 0,32 0,32 0,62 0,52 ткз! опнидилииив хдилктиоистик вигодичискои оникции 467 Для того чтобы сгладить явно незакономерные колебания экспериментально найденной функции Г, (т), заменим ее приближенно функцией вида: а„,(а) =В '!'1, где параметр а подберем методом наименьших ивадратов (см.
п' 14.5). Таблица 17.8.3 Применяя этот метод, находим а= 0,257. Вычисляя значения функции ргг(т) прн с=о, 2, 4, ..., построим график сглаживающей кривой. г(а рис. 17.8.3 он проведен сплошной линией. В последнем столбце таблицы 17.8.3 приве. дены значения функции рд(а). Рнс. 1 7.8.4. Пользуясь приближенным выражением корреляционной функции (17,8.б), получим (см. и' 17.4, пример 1) нормированную спектральную плопюсть случайного процесса в виде: а 0,257 5.(~ ) = к (ат+ ег) и (0,257а ',— еа) ' Рр.фик нормированной спектральной плотности пр дстгвлеи иа рис.
!7.8.4. ГЛАВА 18 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 18.1. Предмет и задачи теории информации Теорией информации называется наука, изучзющая количественные закономерности, связанные с получением, передачей, обработкой и хранением информации. Возникнув в 40-х годах нашего века из практических аадач теории связи, теория информации в настоящее время становится необходимым математическим аппаратом при изучении всевозможных процессов упрзвления. Черты случайности, присущие процессам передачи информации, заставляю~ обратиться прн изучении этих процессов к вероятностным методам. При этом не удается ограничиться классическими методами теории вероятностей, и возникает необходимость в создании новых вероятностнык категорий.
Поэтому теория информации представляет собой не просто прикладную науку, в которой применяются вероятностные методы исследования, а должна рассматриваться как раздел теории вероятностей. Получение, обработка, передача и хранение различного родэ информации — непременное условие работы любой управляющей системы. В этом процессе всегда происходит обмен информацией между различными звеньями системы.
Простейший случай — передача информации от управляющего устройства к исполнительному органу (передача команд). Более сложный случай — замкнутый контур управления, в котором информация о результатах выполнения команд передается управляющему устройству с помощью так называемой «обратной связи». Любав шформац л для тшо, чтобы быть переданной, должна быть соответственным образом «закодирована», т. е. переведена на язык специальных символов пли сягналоа.
Сигналамн. передающими информацию, могут быть электрические импульсы, световые нлн звуковые колебания, механические перемещения и т. д. Одной из задач теории информации является отыскание наиболее экономных методов кодирования, позволяющих передать заданнучо информацию с помощью минимального количества символов. Эта задача решается как при отсутствии, так и при наличия искажений (помех) в канале связи.
энтгопня 1В 2! Другая типичная задача теории нцформацни ставится следующим образом: имеется источник информации (передатчик), непрерывно вырабатывающий информацию, и канал связи, по которому эта информация передастся в другую инстанцию (приемник). Какова должна быть пропускная способность канала связи для того, чтобы канал «справлялся» со своей зздачей, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
