Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 78

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 78)

Рис, 17.7.1. Для случайной функции Х, (г) характерна следующая особенность: каждая нз ее реализаций обладает одними и теми же характерными признаками: средним значением, вокруг которого происходят колебания, и средним размахом этих колебаний. Выберем произвольно одну из таких реализаций и продолжим мысленно опыт, в результате которого она получена, на некоторый участок времени Т.

О:евидно, Рис. 17.77Д 7 с::~ --. г -с"- достаточно хорошее представление о свойствах случайной функции в целом В частности, осредняя значения втой реализации вдоль оси абсцисс в по времени, мы должны получить приближенное значение математического ожидания случайной функции; осредняя квадраты отклонении от этого среднего, мы должны получить приближенное значение дисперсии, и т. д. Про такую случаиную функцшо говорят, что она обладает зрзодичегким гаодсглвом, Эргодическое свойство состоит в том, что каждая отдельная реализация случайной функции является как бы <полномочным представителем» всей совокупности возможных реализаций; 17Л эггодическое свонстзо стациондвных эвикции 459 одна реализация достаточной продолжительности может заменить при обработке множество реализаций той же общей продолжительности').

Рассмотрим теперь случайную функцию Ха(~). Выберем произвольно одну из ее реализаций, продолжим ее мысленно на достаточно большой участок времени и вычислим ее среднее аначение по времени на всем участке наблюдения. Очевидно. это среднее значение для каждой реализации будет свое и может существенно отличаться от математического ожидания случайной функции, построенного как среднее из множества реализаций. Про такую случайную функцию говорят, что она не обладает эргодическим свойством. Если случайнзя функция Х(г) обладает эргодическим свойством, то для нее среднее по времени (на достаточно большом участке наблюдения) приближенно равно среднему по множеству наблюдений.

То же будет верно и для Ха(Г), Х(!) Х(Г+т) и т. д. Следовательно, все характеристики случайной функции (математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию) можно будет приближенно определять по одной достаточно длинной реализации. Какие же стационарные случайные функции обладают, а какие не обладают эргодическим свойством? Поясним этот вопрос наглядно, исходя из примера. Рассмотрим случайную функцию а(г) — колебания угла атаки самолета на установившемся режиме горизонтального полета. Предположим, что полет происходит в каких-то типичных средних метеорологических условиях.

Колебания угла атаки вызваны случайными возмущениями, связанными с турбулентностью атмосферы. Среднее значение угла атаки, около которого происходят колебания, зависит от высоты полета Н. Зависит от этой высоты и размах колебаний: известно, что в нижних слоях атмосферы турбулентность сказывается сильнее, чем в верхних. Рассмотрим случайную функцию а(~) — колебания угла атаки нз заданной высоте Н. Каждая из реализациИ этой случайной функции осуществляется в результате воздействия одной и той же группы случайных факторов и облздает одними и теми же вероятностнымн характеристиками; случайная функция а(г) обладает эргодическим свойством (рис.

17.7.3\. !!Релсгазим сеое 1«п«77ь, что РассматРнвае1сЯ слУчайнаа фУнкЦиа а(г) не для одной высоты Н, а для целого диапазона, внутри которого задан какой-то закон распределения высот (например, закон равномерной плотности). Такая случайная функция, оставаясь стационарной, очевидно, уже не будет обладать эргодическим свойством; ее возможные реализации, осуществляющиеся с какими-то вероятностями, имеют различный характер (рнс. 17.7,4). ') Строго говоря, следовало бы с«звать не «каждая отдельная реализац ы», а «77о«1« «зждая».

Ке,ю в том, что з отделы ы«случаях могут появляться реализации, не обладающие таким свойством, но вероятность по««лмнж 1««ой р" лазац. л раз:и нулю 48О СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЯНЫЕ ФУНКЦИИ 1гл. 11 Для этого случайного процесса характерно то, что он как бы «разложим> на более элементарные случайные процессы; каждый из них осуществляется с некоторой вероятностью и имеет свои индивидуальные характеристики. Таким образом, р а з л о ж и м о с т ь, Ряс. 17.7.3.

внутренняя неоднородность случайного процесса, протекающего с некоторой вероятностью по тому или другому типу, есть физическая причина неэргодичности этого процессз. Ряс. ! 7.7.4. В частности, неэргодичность случайного процесса может быть связана с наличием в его сосзаве слагаемого в виде обычной случайной величины (т. е. наличие я спектре слуРюйпого процесса, помимо непрерывной части, конечной дисперсии пря частоте О). Действительно, рассмотрим случайную функцию 2(г) = Х(~)+ 1', (17.7,1) где Х(() — эргодическая стационарная случайная функция с характеристиками лг, и (т), г' — случайная велнча:а с характеристиками т х' М и Й„; предположим к тому же, что Х(7) и г' некоррелированны. Определим характеристики случайной функции я. (Г).

Согласно общим правилам сложения случайных функций (см. и' 15.8) имеем: я сч я г~т ~ ъ с( )="х( )-1-~-'у (17.7.3) Из формул (17.7.2) и (17.7.3) видно, что случайная функция 2(С) является стационарной. Но обла1юет ля она зргод1п~ескнм свойствому Очевидно, нет. Каждая ее реализация будет по характеру отличаться от других, будет обладать тем илч и!Рыгг средним по я нюня и гт т1 эРГОдическое сВОйстВО стАггионАРных Функция 46! чением в зависимости от того, какое значение приняла случайнал величина У(рис.

17.7.5). Об эргодичности или неэргоднчности случайного процесса может непосредственно свидетельствовать вид его корреляционной функции. действительно, рассмотрим корреляционную функцию неэргодической случайной функции (17.7.1). Она отличается от корреляционной функции случайной функции Л'(1) наличием постоянного слагаемого 7) Рнс. 1 7.7.5 (рис. 1 7 . 7.6). В то время как корреляционная функция л (т) стремится к нулю п ри т -Р ОО (кор реляционнзя связь между значениями случайной функции неограниченно убывает по мере увеличения расстояния между ними), функция й, (т) уже не стремится к нулю при 7 — ь Оо, а приближается к постоянному значе- М/ нлю О.

На практике мы не л„ имеем возможности исследовать случайный процесс и его корреляционную функцию на бесконечном участке времени; участок значений т, с которым мы р имеем дело. всегда ограничен. Если при этом корреляционная функция л (гу стационарного случайного процесса при увеличении т Ряс. 1 7.7.6.

не убывает, а, начиная с некоторОГО ., Остае1сч нрнблчзнттльно иостоянной, это Обычно есть нрнзнзк того, что з составе случайной фу«кции имеется слагаемое в виде обычной случайной величины и что процесс не является эрго- дн Р сккм, Отрсмлен..е же корреляционной. функник к пулю нчн г — ь Оз говорит в пользу эргодичности процесса. Во всяком случае оно 462 стлцнонлвныв слкчлпныв экнкцнн 1гл, 1т 17.8.

Определение характеристик эргодической стационарной случайной функции по одной реализации Рассмотрим стационарную случайную функцию Х(Г), обладающую эргодическим свойством, и предположим, что в нашем распоряжении имеется всего одна реализация этой случзйной функции, но зато на достаточно большом участке времени Т.

Для эргодической стационарной случайной функции одна реализация достаточно большой продолжительности практически эквивалентна (в смысле объема сведений о случайной функции) множеству реализаций той же общей продолжительности; характеристики случайкой функции могут быть приближенно определены не как средние по множеству наблюдений, а как средние по времени г. В частности, при достаточно большом Т математическое ожидзние т» может быть приближенно вычислено по формуле Т / р (17.8.!) о Аналогично может быть приближенно найдена корреляционная функция й (т) при любом т.

Действительно, корреляционная функция. по определению, представляет собой не что иное, кзк математическое ожидание случайной функции Х(г) Х(с+ «): й (т) = М (Х (Г) Х (г+ т)1. (1 7.8.2) Это чзтенатнческое щянллщ:е зкжс. очгзнл~ о. но::.ет бы. приближенно вычислено как среднее по времени.

Фиксируем некоторое значение т и вычислим указанным способом корреляционную функцию )г (:). Для этого удобно предварительно «центрировать» данную реализацию х(г), т. е. вычесть из нсе математическое ожидание (17.8.1): х(г) = х(1) — т», ') Для простоты записи мы здесь опускаем знак прн хаоактернстяках с»учаяноя функции, означающий, по мы имеем дело не с самими характеристиками, а с нх оценками.

достаточно для того, чтобы математическое ожидание функция можно было определять как среднее по времени. При решении прзктических задач часто суждение об эргоднчности случайного процесса выносятся не на основе исследования поведения корреляционной функции при т -ь оо, а на основании физических соображений, связанных с существом процесса (его предположительной «разложимостью» или «неразложимостью» на элементарные процессы различного типа, появляющиеся с некоторыми вероятностями).

Характеристики

Список файлов книги