Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 73
Текст из файла (страница 73)
тем полнее будут наши сведения о случайной функции. Естественно поэтому в спектральном разложении попытаться перейти к пределу прн Т вЂ > оо и посмотреть, во что при этом обратится спектр случай- 2» ной функции. Прн Т-»со м = — — »О; поэтому расстояния между 2Т частотами ию на которых строится спектр, будут при Т-+со неограниченно уменьшаться. При этом дискретный спектр будет прибли:каться к непрерывному, в котором каждому сколь угодно малому ип:ерзз,',сс.ог д«будет соотзс.стзшт.ь этеиентзриая диспер,сия М>(е). Попробуем изобразить непрерывный спектр графически.
Для этого мы должны несколько перестроить график дискретного спектра при конечном Т. А именно, будем откладывать по оси ординат уже не самую дисперсию йь (которая безгранично уменьшается при Т вЂ” «со), а среднюю плотность дисперсии, т. е. дисперсию, приходяшуюся на единицу длины данного интервала частот. Обозначим расстояние между соседними частотами Ьм: "» 2Т 432 стлциаиьаиыа слгчаииыв екикции 1гл.
и и на каждом отрезке Ьы, как на основании, построим прямоугольник с плошадью 7)ь (рис. 17.3.1). Получим ступенчатую диаграмму, напоминающую по принципу построения гистограмму статистического распределения. Высота диаграммы на участке ды, прилежащем к точке юь, равна с („) ~й и представляет собой среднюьо плотность дисперсии на этом участке.
Суммарная плошадь всей Зк(тл.1 диаграммы, очевидно, рав- на дисперсии случайной Д„ функции. Будем неограниченно увеличивать интервал Т. При этом Ьм-+О, и ступенчатая кривая будет неограниченно приближаться к плавной кривой 8 (и) (рис. 17.3.2). Эта кривая изображает плотность 0 ье» лге «% распределения дисперсий Рис.
17.3.1, по частотам непрерывного спектра, а сама функция 8„(м) называется спектральной плотностью дисперсии, или, короче, спектральной плотностью стационарной случайной функции Х(1). Очевидно, плошадь, огра- л ниченная кривой Я (е), по- прежнему должна равняться дисперсии 7) случайной функции Х(7): Ю В = ) 5„(м)сЪ. (17.3.2) Формула (17.3.2) есть пе что иное, как разложение дисперсии сл на сумму элементарных слагаемых 0 «7 с(се «7 8 (ы)дш, каждое из кото- Рнс.
17.3.2. рых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный участок частот с(ы. прилежащий к точке и (рис. 17.3,2), Таким образом, мы ввели в рассмотрение новую дополнительную хаоактеристику стационарного случайного процесса — спектральную тт.з1 спектРАльнОе РАзложение ИА Бесконечном учАстке 433 (17.3.3) где дисперсия, соответствующая частоте оьа, выражается формулой т ()„= — 1 й„(~) сов~ те(~. 2 Т о Перед тем как переходить к пределу при Т -ьоо, перейдем в формуле (17,3.3) от дисперсии ОА к средней плотности дисперсии — Так как эта плотность вычисляется еще при конечном значе- ))А дьь нии Т и зависит от Т, обозначим ее: 8, (ма)= д и, в„ (17.3.5) Разделим выражение (17.3.4) на Дм= —; получим: =Т' т ~» (ша) = ~ йе (т) соз мьт е(е.
о (17.3.6) Из (1 7.3.5) следует, что 0А=5йм ) Д, (17.3.7) Подставим выражение (17.3.7) в формулу (17.3.3); получим: й (г) = е~~ 5 . (ыь) соз нет ды. е=о (17.3.8) Посмотрим, во что превратится выражение (!7.3.8) при Т вЂ” ьсо. Очевидно, при этом Деь-ьО; дискретный аргумент еьа переходит в непрерывно меняЮщийся аргумент кп сумма переходит в интеграл по переменной; средняя плотность дисперсии О, (мл) стремится ~т1 28 е. с. веетцель плотность, описывающую частотный состав стационарного процесса. Однако эта характеристика не является самостоятельной; она полностью определяется корреляционной функцией данного процесса. Подобно тому, как ординаты дискретного спектра 7)е выражаются формулами (17.2.4) через корреляционную функцию л (т), спектральная плотность 3 (ы) также может быть выражена через корреляционную функцию. Выведем это выражение.
Для этого перейдем в каноническом разложении корреляционной функции к пределу при Т -+ ОО и посмотривк во что оно обратится. Будем исходить из разложения (17.2.1) корреляционной функции в ряд Фурье на конечном интервале ( — Т, Т): 7г„(е) = ~а Оа соз нет, А о 434 стлционляныя слтчлпныв скнкции ггл. 17 к плотности дисперсии Б„(и), и выражение (17.3,8) в пределе принимает вид: А„(т) = ) 8„(м) соя мтбы, (1 7.3.
9) о где Я (ш) — спектральная плотность стационарной случайной функции Переходя к пределу при Т-»оо в формуле (17.3.6), получим выражение спектральной плотности через корреляционную функцию: Я„(ы) = — г й (т) соз мтбе. 2 Р (17.3.10) о Выражение типа (17.3.9) известно в математике под названием интеграла Фурье. Интеграл Фурье есть обобщение разложения в ряд Фурье для случая непериодической функции, рассматриваемой на бесконечном интервале, и представляет собой разложение функции на сумму элементарных гармонических колебаний с непрерывным спектром '). Подобно тому кзк ряд Фурье выражает разлагаемую функцию через коэффициенты ряда, которые в свою очередь выражаются через разлагаемую функцию, формулы (17.3,9) и (17.3.10) выражают функции А„(т) и Л„(а) взаимно: одна через другую.
Формула (17.3.9) выражает корреляционную функцию через спектральную плотность; формула (17.3.10), наоборот, выражает спектральную плотность через корреляционную функцию. Формулы типа (17.3.9) и (17.3.10), связывающие взаимно две функции, назцзаются преобразованиями Фурье з). Таким образом, корреляционная функция и спектральная плотность выражаются одна через другую с помощью преобразований Фурье. Заметим, что из общей формулы (!7.3.9) при т=в0 получается ранее полученное разложение дисперсии по частотам (17.3.2). На практике вместо спектральной плотности 8„(м) часто пользуютсч пс "жи "осанной спгктралщ;ой плптптсть1о; (17.3,1 !) где глл — дисперсия случайной функции.
В Формула (!7.3.9) является частным зилом вптегрзла Фурье, обобщакщнм разложение в ряд Фурье четной функции по косинуснйм гармоникам. Анзлогичеое зыражепее иоа:ет быть написано и дая более общего случ»а. ») В данном случае мы имеем дело с частным случаем преобразовании Фурье — с так называемыми ккосинус-преобразованиями Фурье». 7731 спектРАльное РАзложенне нА БескОнечнОм УчАстке 435 Нетрудно убедиться, что нормированная корреляционная функция р, (т) и нормированная спектральная плотность з„(ю) связаны теми же преобразованиями Фурье: О р„(т) ~ з (ю) соз ю р «тю, о (17.3.12) 2 з„(~) = — ) р„(т) соз ~~ «р~.
Полагая з первом из равенств (17.3.12) 7=0 и учитывая, что р (0) =1. имеем: зл (и) «~м (17.3.13) т. е. полная плошадь, ограниченная графиком нормированной спектральной плотности, равна единице. П р и и е р 1. Нормированная корреляционная функция р„(«) случайной функции Х(Г) убывает по линейному закону от единицы до пула при О < ч < тр1 л«'ы) т, т тр Рнс.
1 7.3.3. Рис. 1 7.3.4. прн т ) тррл(т) =О (рис. 17.3.3). Определить нормированную спектральную плотность случайной функции Х (7), Решение. Нормированная корреляционная функции выражается форм' . «:««. Р « = 1 — — при О < т < еи рл 00 =О пр«««> тр. Из формул (17,332) имеем: р„(р«) = — / р„(т) СОЗ ит «гт = л,/ «« 1 ) соз ит «рт — — «(1 — соз акр), л7 « «« о 436 стлционлинып слтчлинып втнкции 1гл. и График нормированной спектральной плотности представлен на рис. 17.3.4.
Первый — абсолютный — максимум спектральной плотности достигается при и=О раскрытием неопределенности в втой точке убеждземся, что он то равен — . Йалее при возрастании и спектрааьиая плотность достигает ряда относительных максимумов, высота которых убывает с возрастанием об при и-ьоо з„(м)-ьО. )(араитер изменения спектральной плотности з„(и) (быстрое или медленное убывание) зависит от параметра то.
Полная площадь, ограниченнав кривой з (и), постоянна и равна единице. Измепение чо равносильно изменению масштаба кривой з (и) по обеим осям при сохранении ее площади. При увеличении то масштаб по оси ординат увеличивается, по осн абсцисс— уменьшается; преобладание в спектре случайной функций нулевой частоты становится более ярко выраженным. В пределе при то-ь со случайнзя функция вырождается в обычную случайную величину; при этом 7„(о) = 1, а спектр становится дискретным с одной-единственной частотой ио = О. П р и и е р 2. Нормированная спектральная плотность з (и) случайной функции Х(!) поРис.
!7.3.5, стоянна на некотором интервале частот иь ио и равна нулю вне етого интервала (рис. 17.3.5). Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции Х(т). Решение. Значение з (ч) при ьч < и < чо определаем нз условия, что площадь, ограниченная кривой з„(и), равна единицы 1 з.г (и) (чо — ич) — ! зл (и) ио — ио Из (!7.3.12) имеем: 3 р тл (т) = ~ зо(~) соз и. Ыи =. / соз ит ~тм- юо — но 1 2 7 и.+чч (ып нот — з!и кит) = соз (7 — о а!п ~,) т (ио — ки) с (ооо — кч) (, 2 ) Общий вид функции рл(т) изображен иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
