Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 70
Текст из файла (страница 70)
рассмотрим обобщение понятия канонического разложения на случай комплексной случайной функции. Элементарной комплексной случайной функцией называется функция вида: Х(Е) =У! (Е), (16.2.11) где как случайная величина У, так н функция 1Е(Е) комплексны. Определим корреляционную функцию элементарной случайной функции (16.2.11).
Пользуясь общим определением корреляционной функции комплексной случайной функции, имеем: к (е, е') = м 1У1р(е) Учл(е')), (16.2.12) где чертой вверху, как и ранее, обозначена комплексная сопряженная величина. Имея в виду, что УМО=У Е(Е) и вынося неслучайные величины 1Е(Е) и 1у(Е') за знак математического ожидания, получим: к„ (Е, Е') = Р (Е) р (Е') М (~ УР). Но, согласно п' 15.9, М((У)з) есть не что иное, как дисперсия комплексной случайной величины У: М(!У~э) =Е) следовательно, Е(" (Е, Е') = Е (Е) у (Е') Е> (16.2.13) Каноническим разложением комплексной случайной функции называется ее представление в виде: Х (Е) = Ллх (Е)+ ХУР1 (Е) (16.2.14) К„ (Е.
Е') = У, 'и, (Е) Ф, (Е') П, 1=1 (!6.2,15) где 01 — дисперсия величины У,: Е),= М1!У,Р). (16.2.16) гас Ул, У„.... ӄ— некоррелпрованные комплексные случзйпые величины с математическими ожиданиями, равнымн нулю, а лл„(Е), Фл(Е), 1Ет(Е), ..., 1Е„(Е) — комплексные неслучайные функции.
Если комплексная случайная функция представлена каноническим разложением (16.2.14), то ее корреляционная функция выражается формулой Формула (16.2.15) непосредственно следует иэ выражеиия (16.2.13) для корреляционной фуикции элементарной комплексной случайной функции. Выражение (16.2.15) называется каноническим разложением корреляционной фуикции комплексной случайной функции. Полагая в (16.2.15) Е' = Е, получим выражение для дисперсии комплексной случайной функции, заданной разложением (16.2.14): Е)„(Е) = Х1р, (Е)1з()Р г=1 (16.2.! 1) 16.3.
Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями Пусть иа вход некоторой линейной системы Е. поступает случайная функция Х(Е) (рис. 16,3.1). Х4г ' С ', / ГЕЕ) Рис. 16.3.1. Система преобразует функцию Х(Е) посредством линейного оператора Е., и иа выходе мы получаем случайную функцию Г (Е) = Е. '1Х (Е)). (16.3.1) Предположим. что случайная функция Х(Е) задана ее каиокическим разложением: Х(Е) = т„(Е)+ Х),у,(Е).
(16.3.2) Определим реакцию системы иа это воздействие. Так как оператор системы является линейным, то У (Е) = Е. 1Х (Е)] = Е (т „(Е) ) + ~~ (г~Е. ~р, (Е) $. (16 3 3) с=г Рассматоивая выражение (16.3.3). легко убелятьсг, что счю претставляет собой ие что иное, как каноническое разложекие случайной 1бунлйяи У(Е) с математическим ожидагиым тз(Е) =5(тл(Е)) (16.3.4) 414 каноннчисимв эазложяиия сличенных оэпхции 1гл. ы и координатными функциями фг(г) =у. Йг(г)] (16.3.5) Таким образом, нри линейно.и нреобразоеании канонического разложения случайной функции Х(Г) получаетсн каноническое разложение случайной функции У(Г), нричем математическое ожидание и координатные функции нодеергаются тому же линейному нреобразоеанию.
Если случайная функция У(Г) на выходе линейной системы полу» чена в виде канонического разложения У(г) =т,(!)+ .Р!УА!(г) г=! (16,3.6) то ее корреляционная функция и дисперсия находятся весьма просто! л кг(! г ) = Х Ф! (1) Ф! (г ) О! г=!' В, (г) = ХИ, (г)!'!), (16.3.8) г=! Это делает особенно удобными именно канонические разложения по сравнению с любыми другими разложениями по элементарным функциям, Рассмотрим несколько подробнее применение метода канонических разложений к определению реакции динамической системы на случайное входное воздействие, когда работа системы описывается линейным дифференциальным уравнением, в общем случае — с переменными коэффициентами.
Запишем это уравнение в операторной форме: Ал(Р, Г) У(!)=В,„(Р, Г) Х(Г). (16.3.9) Согласно вышеизлоисенным правилам линейных преобразований случайных функций математические ожидания воздействия и реакции должна! удовлетворять тому же уравнению: А„(р. Г)т (Г)=В (р, Г)т,(г). (! 6.3.10) Аналогично каждая из координатных функций должна удовлетворять тому же дифференциальному уравнению". А„(р, г) „(!) = В. (р, .);, (г), (! 6,3.1!) Такнч образом, задача определения реакции линейной динамической системы на случайное воздействие свелась к обычной математической задаче интегрирования й + 1 обыкновенных дифференциальных тал) лмнйн!гый пововэлзовлнйй случайных ознкцнн 415 4! 6 кАнонические РАэложения случАЙным Функции !гл.
1а' уравнений, содери<ащих обычные, ие случайные функции. Так как прн решении основной задачи анализа динамической системы — определения ее реакции на заданное воздействие — задача интегрирования диффеоенциального уравнения, описывающего работу системы, тем или другим способом решается, то при решении уравнений (16.3.10) и (16.3.11) новых математических трудностей не возникает.
В частности, для решения этих уравнений могут быть с успехом применены те же интегрирующие системы нли моделирующие устройства, которые применяются для анализа работы системы без случайных возмущений. Остается осветить вопрос о начальных условиях, при которых следует интегрировать уравнения (16.3.10) и (16.3,11). Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда начальные условия для дашюй динзмнческой системы являются неслучайными.
В этом случае при 1=0 должны выполняться условия: г'(О) = уо у'(О) =уп (16.3.12) УН'(О) = у„ рй-И(О) = у„и где ум уи, у,, — неслучайные числа. Условия (16.3.!2) модою записать более компактно: Гьч(0)=у, (г=О, 1, ..., и — 1), (16.3.13) ,ко> понимая при этом под «производной нулевого порядка» г (!) саму функцию г'(!). Выясним, прн каких начальных условиях должны интегрироваться уравнения (16.3,10) и (16.3.11). Для этого найдем г-ю производную функции г'(Г) и положим в ней 1=0: У" (О)= ~ (О)-1- э,,(г,",'>(О), Учитывая (16,3.12), имеем: (16.3.14) Так как величина у, пе случайна, то дисперсия левой части равенства (16.3.14) должна быть равна нулю: (16.3.15) ыхй лнненныи НРеоВРАВОВАння слУЧАннь>х Функции 417, Так как все дисперсии П> величин Ь'> положительны, то равенство (16.3.16) может осуществиться только, когда фо>(о) = о (1 6.3.
16) для всех б Подставляя >)о»(0) =0 в формулу (16.3,14), получим: л>>е>(0) = у, (16.3.!7) Из равенства (16.3.17) следует, что уравнение (16.3,10) для математического ожидания должно интегрироваться при заданных начальных условиях (16.3.12): гл (О) =уе, и (0) =ун (1 6.3.18) >лу' (О) =)'г иое>(0) =у . у а' Что касается уравнений (16.3.11), то они должны интегрироваться при нулевых начальных условиях: ф,. (0) = ф' ,(О) = ... = ф';> (О) = ... = >1;> (О) = О (1=1, 2, ....
й). (16.3.19) рассмотрим более сложный случай, когда начальные условия случайны: у'(0) 1', У' (О) = !'Н (16.3.20) уо>(о) = у„ у'"- н(О) = у„н где ге, >'>, .... Ге > †случайн величины. В этом случае реакция на выходе системы может быть найдена в виде суммы: !'(1) = !'> И) + 1'и (1) (16.3.2!) где 1'>(г) — решение дифференциального уравнения (16.3.9) при нулевых начальных условиях; >'н(г) — решение того же дифференциального уравнения, но с нулевой правой частью при заданных начальных условиях (16.3,20).
Как известно нз теории дифференциальных 27 е, с. веетчелъ 418 кАнОнические РАзлОжениЯ слкчАнных Фкнкций [Гл, [а уравнений, это решение представляет собой линейную комбинацию начальных условий: з-1 Ун([) = ~ У,У,([), (16.3.22) у е где у[(г) †неслучайн функции. Решение г'[(г) может быть получено изложенным выше методом в форме канонического разложения. Корреляционная функция случайно[[ функции у(г) = г[(г)+ 'г1[(г) может быть найдена обычными приемами сложения случайных функци[[ (см. и'15.8). Следует заметить, что на практике весьма часто встречаются случаи, когда для моментов времени, достаточно удаленных от начала случайного процесса, начальные условия уже не оказывают влияния на его течение: вызванные ими переходные процессы успевают затухнуть.
Системы, обладающие таким свойством, называются асимитотически устойчивыми. Если нас интересует реакция асимптотнческн устойчивой динамической системы на участках времени. достаточно удаленных от начала, то можно ограничиться исследованием решения г'[(г), полученного при нулевых начальных условиях. Для достаточно удаленных от начального моментов времени это решение будет справедливым и прн любых начальных условияк. ГЛАВА 11 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекзющие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего аначения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этик колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы назьевются стационарными.
В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета", 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п. Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно лонго; при исслеаовании стационарного процесса в квчестне начала отсчета мпюнь выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс иа любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики.
Обраано выражаясь, стационарный процесс «не имеет нн начала. ни конца». Рнс. 17.1.1. Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 17.1.1). В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: 420 стлцнонлгныз слю>линыа екнкции 1гл >г колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающик колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т.
д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во в р е м е н и; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени. На рис. 17,1.2 изображено семейство реализаций явно нестационарного случайного процесса — процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времена. Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно иестациоиарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестз- УД/ ционарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные. Например, процесс наводки перекрестия авиационного прицела на цель есть явно нестаРяс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
