Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Символом «,(1ь) обозначено значение, соответстз) юшее 1-и Резлизшсчи и момент,'ь. Полученный материал представляет собой не что иное, как результаты и опытов иад системой лг случайных величин Х(1,), Х(1,), ..., Х(1 ). и обрабатывается совершенно аналогично (см, и' 14.3). Прежде всего находятся оценки для математических ожиданий по формуле « ~, «;(га) 1=1 т„(са) = (15.4.1) и зарегистрируем значения, принятые функцией Х(1) в эти моменты времени. Каждому нз моментов 1н 1, ..., 1 будет соответствовать л аначений случайной функции. Значения бн 1м ..., 1м обычно задаются равноотстоящимн; величина интервала между соседними значениями выбирается з зависимости от вида экспериментальных кривых так, чтобы по выбранным точкам можно было восстановить основной ход кривых.
Часто бывает так, что интервал между соседнимн значениями 1 задается независимо от задач обработки частотой работы регистрирующего прибора (например, темпом киноаппарзта). Зарегистрированные значения Х (1) заносятся в таблицу, каждая строка которой соответствует определенной реализации, а число столбцов равно числу опорных значений аргумента (табл. 15.4.1).
355 метОды ОпРеделения хаРАктеРистик затем †д диоперсий Х [х;(Гв) — Тих(гв)[е ()„(с,) = *'=' (15.4.2) и, наконец, для корреляционных моментов ч'" [хв(ве) — те(гв)[ [х;(Тв) — йе (Тв)] Кх (Ра, ~в) — ' (1 5.4.3) и — 1 В ряде случаев бывает удобно при вычислении оценок для дисперсий и корреляционных моментов воспользоваться связью между начальнывви и центральными моментами и вычислять их по формулам: [)х (Та) = и Ъ [хв(гв)[ - [ив, (1в)[ (15.4.4) ~~ лт (Та) х, (Тв) и шх (вв) глх (ьв) К (тв, тв) = (15.4.5) При пользовании последними вариантаии формул, чтобы избежать разности близких чисел, рекомендуется заранее перенести начало отсчета по оси ординат поближе к математическому ожиданию. После того.
как эти характеристики вычислены, можно, пользуясь рядом значений лвх(1в), лв (1,), ..., вв„(г ), построить зависимость тх(Е) (рис. 15.4.1). Аналогично строится зависимость Й (1). Функция двух аргументов К„(Е, г') воспроизводится по ее значениям в прямоугольной сетке точек. В случае надобности все эти функции аппроксимируются какими-либо аналитическими выражениями.
15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 25 е. с. вентчеьь В прсдьшушсц и мь. Иозиакомильсь с мегодол ьшво редегвщшшо определения характеристик случайной функции из опыта. Такой метод применяется далеко не всегда. Во-первых, постановка специальных опытов, предназначенных для исследования интересующих нас случайных функций, может оказаться весьма сложной и дорогостоящей. Во-вторых, часто наи требуется исследовзть случайные функции, характеризующие ошибки приборов, прицельных приспособлений, систем управления и т, д., сше не существуюцвнх, а только проектируемых нли разрабатываемых. При этом обычно исследование этих ошибок и предпринимается именно для того, чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы так, чтобы онн прпводялн 386 осиовиыи понятия твояии слкчлииых этгикции 1гл га /Вее«ее У11) дямв«ЬМие жЮ жущейся цели, непрерывно измеряемая в процессе слежения, реакцией †уг упреждения.
Рассмотрим самый Рвс. !5.5.1. простой случай: котла на вход системы А подается только одно воздействие, представляющее собой функцию времени х (1); реакция системы на это воздействие есть другая функция времени у(1). Схема работы системы А условно изображена на рис. 15.6.1. Будем говорить, что система А осуществляет над входным воздействием некоторое преобразование, в результате которого к минимальным ошибкам. Ясно, что при этом непосредственное исследование случайных функций, характеризующих работу системы, нецелесообразно, а в ряде случаев вообще невозможно.
В таких случаях в качестве основных рабочих методов применяются не прямые, а к освенные методы исследования случайных функций. Подобными косвенными методами мы уже пользовались при исследовании случайных величин: ряд глав нашего курса — гл. 10, 11, 12 — был посвящен нзхождению законов распределения и числовых характеристик случайных величин косвенно, по законам распределения и числовым характеристикам других случайных величин, с ними связанных.
Польауясь совершенно аналогичными методами, можно определять характеристики случайных функций косвенно, по характеристикам других случайных функций, с ними связанных. Развитие таких косвенных методов и составляет главное содержание прикладной теории случайных функций. Задача косвенного исследования случайных функций на практике обычно возникает в следующей форме.
Имеется некоторая динамическая система А; под «динамической системой» мы понимаем любой прибор, прицел, счетно-решающий механизм, систему автоматического управления и т. и. Эта система может быть механической, электрической или содержать любые другие элементы. Работу системы будем представлять себе следующим образом: на вход системы непрерывно поступают какие-то входные данные; система перерабатывает их и непрерывно выдает некоторый результат. Условимся называть поступающие на вход системы данные «воздействием», а выдаваемый результат «реакциейя системы иа этп воздействие.
В качестве воздействий могут фигурировать изменяющиеся напряжения, угловые и линейные координаты каких-либо объектов, сигналы или команды, подаваемые на систему управления, и т. п. Равным образом и реакция системы может вырабатываться в той или иной форме: в виде напряжений, угловых перемещений и т.
д. Например, для прицела воздушкой стрельбы воздействием является угловая координата дзи- методы Определения хАРАктеРистик зйу функция х(1) преобразуется в другую функцию у(1). Запишем это преобразование символически в видш у(Т) = А1х(Т)». (15.5.1) Преобразование А может быть любого вида н любой сложности. В наиболее простых случаях это, например, умножение на заданный множитель (усилнтели. множительные механизмы). дифференцирование или интегрирование (дифференцирующие нли интегрирующие устройства).
Однако на практике системы, осуществляющие в чистом виде такие простейшие преобразования, почти не встречаются; как правило, работа системы описывается дифференциальными уравнениями, и преобразование А сводится к решению дифференциального уравнения, связывающего воздействие х(Т) с реакцией уЩ. При исследовании динамической системы в первую очередь решается основная задача: по заданному воздействию х(Т) определить реакцию системы у(Т). Однако для полного исследования системы и оценки ее технических качеств такой элементарный подход является недостаточным. В действительности воздействие х (г) никогда не поступает на вход системы в чистом виде: оно всегда искажено некоторыми случайными ошибками (возмущениями), в результате УЩ которых на систеиу фак- $ т / тически воздействует не х(1 л з ~ 4, з Ф~ заданная функция х (1).
а случайная функция Х(Т)1 соответственно этому си- Рис. 15.5.2. стема вырабатывает в качестве реакции случайную функцию г'(Т), также отличающуюся от теоретической реакции у(Т) (рис. 15.5.2), Естественно возникает вопрос: насколько велики будут случайные искажения реакции системы при наличии случайных возмущений на ее входег И далее: как следует выбрать параметры системы для того. чтобы вти искажения были минимальными? Решение подобных задач не может быть получено методами классической теории вероятностей; единственным подходящим математическим аппаратом для этой цели является аппарат теории случайных функций. Из двух поставленных выше задач, естественно.
более простой является первая — прямая — задача, Сфориулируем ее слелующим образом. На вход динамической системы А поступает случайная функщш Х(у); система подвергзет ее известному преобразованию, в реву льтате чего на выходе системы появляется случайная функция: У (т) = А ~Х (Т)». (15.5.2) 388 ОснОВные пОнятия теОРии случлпиых Функций 1гл. !з Известны характеристики случайной функции Х(Г): математическое ожидание и корреляционная функция.
Требуется найти аналогичные характеристики случайной функции г'(г). Короче: по заданным характеристикам случайной функции на входе динамической системы найти характеристики случайной функции на выходе. Поставленная задача может быть решена совершенно точно в одном частном. но весьма важном для практики случае: когда преобразование А принадлежит к классу так называемых линейных преобразований и соответственно система А принадлежит к классу линейных систем.
Содержание этих понятий будет пояснено в следующем и'. 15.6, Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы При изложении теории преобразования случайных функций мы будем пользоваться широко применяемым в математике и технике понятием оператора. Понятие оператора является обобщением понятия функции. Когда мы устанавливаем функциональную связь между двумя переменными у и х и пишем: у= у(х), (15.6.1) то под символом у' мы понимаем правило, по которому заданному значению х приводится в соответствие вполне определенное значение у. Знак у есть символ некоторого преобразовании, которому нужно подвергнуть величину х, чтобы получить у.
Соответственно виду этого преобразования функции могут быть линейными и нелинейными, алгебраическими, трансцендентными и т. д. Аналогичные понятия и соответствующая сииволика применяются в математике и в тех случаях, когда преобразованию подвергаготся не величины, а функции. Рассмотрим некоторую функцию х(С) и установим определенное правило А, согласно которочу функция х(С) преобразуется в другую функцию у(г). Запишем это преобразование в следующем виде: у (г) = А (х (!)(. (1 5.6.2) Примерами подобных преобразований могут быть, например, дифференцирование: йх (!) у(1) = — „;— (15.6.3) интегрирование: (15.6А) и т. д. Правило А, согласно которому функция х(Г) преобразуется в функцию у(Г), мы будем называть оператором; например, мы 389 ЛИНЕПНЪ|Е И НЕЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ >З.61 будем говорить: оператор лифференнирования, оператор интегрирования, оператор решения дифференциального уравнения и >.
д. Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции х(г) в другую функцию у того же аргумента г. Следует заметить, что такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию х(г) в функцию лругого аргумента у(з), например: ь у (з) = ) р (с, з) х (с) йс, (15.6.5) где >у(Г, з) — некоторая функция, зависящая, помимо аргумента еше и от параметра з. Но так как при анализе ошибок динамических систем наиболее естественным аргументом является время Г, мы здесь ограничимся рассмотрением операторов, преобразующих одну функцию аргумента С в другую функцию того же аргумента. Если динамическая система преобразует поступающую на ее вход функцию х(С) в функцию у(>)> у (>) = А ) х (1) ), то оператор А называется оператором динамической системы.
В более общем случае на вход системы поступает не одна, а несколько функций; равным образом на выходе системы могут появляться несколько функций; в атом случае оператор системы преобразует одну совокупность функций в другую. Однако в целях простоты изложения мы рассмотрим здесь лишь наиболее злементарный случай преобразования олной функции в другую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
