Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(г) — )у0»(г). Ряс. !5.32. (15.3.3) А~й/ Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма важные , характеристики случайной функции; однако для описания основных особенностей слу1 лн!!!он ф! пкго!и ет!!х ! 1 характеристик недостаточно. Чтобы убелиться ! цгг!уг в этом, рассмотрим две ! ! случайные функции Х1 (г) г/ и Х,(г), наглядно изображенные семействами реализаций на рнс. 15.3.2 и 15.3 3. у случайных функций Х!(г) и Хз(г) примерно одинаковые математические сокидания н лисперсни; однако характер этих случайных Рис. !».3.3 378 основные понятия теопни сляпанных ознкцмн !гл.
ж >з.з! хлвактегистики слвчлнных ввнкцип функций резко различен. Для случайной функции Х>(С) (рис. 15.3.2) характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в точке С случайная функция Х, (г) приняла значение, заметно превышающее среднее, то весьма вероятно, что и в точке С' она также примет значение больше среднего. Для случайной функции Х>(С) характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при различных С, Напротив, случайная функция Хч(г) (рис.
15.3.3) имеет резко колебательный характер с неправильными, беспорядочными колебаниями. Для такой случайной функции характерно быстрое затухание зази. симости между ее значениями по мере увеличения расстояния по С между ними. Очевидно, внутренняя структура обоих случайных процессов совершенно различна, но это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его описания необходимо ввести специальную характеристику. Эта характеристика называется корреляционной функцией (иначе — автокорреляционной функцией). Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящи- луг/ мися к различным С.
Пусть имеется случайная функция Х (г) ! (рис. 15.3.4); рассмотрим к>>с)! >л>г! два ее сечения, относя- ,т ггй,9 шихся к различным мо- й С ч С ментам: С и Г', т. е. две случайные величины Х (Г) н Х(р). Очевидно, что Рис. ! 5.3.4. при близких значениях С и С' величины Х(Г) и Х(г') связаны тесной зависимостью: если величина Х (С) приняла какое-то значение, то и величина Х (Р) с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. Очевидно также, что при увеличении интервала между сечениями Г, р зависимость величин Х(с) и Х(р) вообще должна убывать. Степень зависимости величин Х(О и Х(р) может быть и значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом; очевидно, он является функцией двух аргументов С и р.
Эта функция и называется корреляционной' функцией. Таким образом, корреляционной функцией случайной функции Х(С) называется неслучайная функция двух аргуменл>ов К (С, С'), кои>оран ири каждой ларе значений Г, Р равка корреляционно.иу,чо,исн>ну соо>пася>сливу>си!их сечений случайной функции: 380 основныв понятия твоими слю>а>тных оинкцнн !гл. ж где Х (С) = Х (С) — > (С), Х (С ) = Х (С') — т„ (С'). Вернемся к примерам случайных функций Х,(С) и Ха(С) (рис. 15.3.2 и 15.3.3). Мы видим теперь, что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случаИные функции Х,(С)' и Ха(С) имеют совершенно различные корреляционные функции. Корреляционная функция случайной функции Х,(С) медленно убывает по мере увеличения промежутка (С, С'); напротив, корреляционная функция случаИной функции Ха(С) быстро убывает с увеличением втого промежутка.
Выясним, во что обращается корреляционная функция К (С, С'), когда ее аргументы совпадают. Полагая С' = С, имеем: К„(С, С)=М((Х(С))т)=О,(С). (15.3.5) т. е. яри С'=С корреляционная функция абра>цаегнся е дисверсию случайной функции. Таким образом, необходимость в диспершш как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных харак- теристик случайной функции >Г Сьгр достаточно рассматривать ее математическое ожидание и коррелшшонную функцию.
Так как корреляционный момент двух случаИных велич>н> Х(С) и Х(С') не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляциошшя функция симметрична относительно своих аргументов, т. е. не меняется прн перемене аргументов местами: К, (С, С') = К, (С', С). Г с >Зал, ( о.*.б ) Вели изобразнть коррсляцившую функцию Кх(С, С') в виде поверхности, то эта поверхность будет симметрична относительно вертикальной плоскости (С. пРохоДящей через биссектрису угла СОС' (рнс.
15.3.5). Заметим, что свойства корреляционной функции естественно вытекают из сВОйстВ корреляционной мату>щы >н!стены сл)'чайных величин. С(ействительно, заменим приближенно случайную функцию Х(С) системой ш случзйных величин Х(С,), Л (Са), ..., Х(См). При увеличении ш и соответственном уменьшении промежутков между 381 хавактввнстикн слкчлпных акнкцнп пьз) которая представляет собой коэффициент корреляции величин Х(г).
Х(р). Нормированная корреляционная функция аналогична нормированной корреляционной матрице системы случайных величин. При В'=В нормированная корреляционная функция равна единице: Ке(г г) Рк(г) [в (г)[г [~ (г)[г (15.3,8) Выясним. как меняются основные характеристики случайной функции при влементарных операциях над нею: при прибавлении неслучайного слагаемого и прн умножении на неслучайный множитель, Этн неслучайные слагаемые и множители могут быть как постояннымн велгешнзми, так в общем случае и фупкцнямн г.
Прибавим к случайной функции Х(г) неслучайное слагаемое у(г). Получим новую случайную функцию: (15.3.9) у'(г) = Х(г) + 9(в). По теореме сложения математических ожиданий; тг (г) = т (В) + 'г (г) (15.3. 10) т. е. при лрибавленна к случайной функции неслучайного слагавлгого к ее лгатежатическолгу ожиданию прибавляется то вне неслуч. иное слаглежое, аргументами корреляционная матрица системы, представляющая собой таблицу о двух входах, в пределе переходит в Функцию двух непрерыйно изменяющихся аргументов, обладающую аналогичными свойствами. Свойство симметричности корреляционной матрицы относительно главной диагонали переходит в свойство симметричности корреляционной функции (15.3.6). По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин; аналогично при В' = В корреляционная функция К (В, Р) обращается в дисперсию й (г).
На практике, если требуется построить корреляционную функцию случайной функции Х(г), обычно поступают следующим образом: задаются рядом равноотстоящих значений аргумента и строят корреляционную матрицу полученной системы случайных величин. Эта матрица есть не что иное, как таблица значений корреляционной функции для прямоугольной сетки значений аргументов на плоскости (г, р). Лалее, путем интерполирования илн аппроксимации иожно построить функцию двух аргументов К„(г, Р).
Вместо корреляционной функции К (г, р) можно пользоваться норлгированной корреляционной функцией: Кк (г р) г, (в, р) = ,"„ ,' (,, 382 основные понятия теогии сл»чайных екикцип [гл. м Определим корреляционную функцию случайной функции У(Е;: К, (Е, Е') = М [У (Е) У' (Е')]- = М [(У (Е) — т (Е) ) (1' (Е') — т (Е') )] = = М [(Х (Е)+ ч(Е) — т,(Е) — о(Е)) (Х(Е')+ ч(Е') — т (Е) — о(Е'))] = =М[(Х(Е) — т,(Е))(Х(Е) — тк(Е'))]=К»(Е Е) (15311) т. е. от прибавления неслучайного слагаемого корреляционная функция случайной функции не меняется. Умножим случайную функцию Х(Е) на неслучайный множитель р(Е): (15.3.12) У (Е) = р (Е) Х (Е).
Вынося неслучайную величину р(Е) за знак математического ожилания, имеем: ту (Е) М [р (Е) Х (Е)] р (Е) тг (Е) (1 5 3 1 3) т. е. ири умкожении случайной функции на неслучайный множитель ее математическое ожидание умножается на тат же множитель. Определяем корреляционную функцию: К» (Е, Е') = М [ У (Е) 1' (Е')] = М [(1' (Е) — ту (Е) ) (1' (Е') — ун» (Е') )] = М [ р (Е) р (Е') (Х (Е) — т „ (Е) ) (Х (Е') — т„ (Ег) )] = = р (Е) р (Е') К, (Е. Е'). (15.3.14) т. е. нри умножении случайной функции на неслучайную функцию р(Е) ее корреляционная функция умножается на р(Е)р(Е').
В частности, когда р(Е)=с (не завксит от Е), корреляционная фуизция умножается на сг Пользуясь выведенныии свойствами характеристик случайных функций, можно в ряде случаев значительно упростить операции с ними. В частности, когда требуется исследовать корреляционную функцию илн дисперсию случайной функции, можно заранее перейти от нее к так называемой центрированной функции: (15.3.15) Х(Е)=Х(Е) — т (Е). Математическое ожидание центрированной функции тождественно ратно ну:по, а ее короеляционная функция совпадает с корреляцион- 151! ОпРеделение КАРАктеРистик слУчАЙБОЙ ФУнкции из опытА 383 ной функцией случайной функции Х(1)! К„(т, К) = М (Х (г) Х (К)! = К (Т, К).
(15.3.! 6) При исследовании вопросов, связанных с корреляционными свойствами случайных функций, мы в дальнейшем всегда будем переходить от случайных функций к соответствующим центрированным функциям, отмечая это значком ' вверху знака функции. Иногда, кроме центрирования, применяется еше нормирование случайных функций. Нормированной называется случайная функция вида: ХА!(!) = —. х (г) чл (О (! 5.3.17) Корреляционная функция нормированной случайной функции Хм(Т) равна (15.3,!8) а ее дисперсия равна единице. 15.4.
Определение характеристик случайной функции из опыта Пусть над случайной функцией Х (Т) произведено и независимых опытов (наблюдений) и в результате получено а реализаций случайной функции (рис. 15.4.1). Рлс. !5.4.!. Требуется найти оценки для хзрактеристик случайной функции: ее математического ожиааниЯ лг„(г), диспеРсии Вл (1) и коРРелационной функции К,. (г, К).
Лля етого рассмотрим ряд сечений случайной функции для моментов времени т! ~2 *'' тм 384 ' основныв понятия тиогии слтчаиных етнкцип 1гл. ж Таблица 15.4.1 хю «, (1) «, (8~) «, (Гм) «, (г) ) «, (й) ( «(1,) ! «,(г) ( «, (гз) «, (Гм) ~! ! ! ! ! 1 ! «~(г) !) «у(г~) «~(га) 1«,(г) ! «,(Е~) ~ «~ (гм) «п(1) ) «л(11) ! «л(12) ~ ) «п(га) ! «л (г~) «„(Ги) В таблице 15.4,1 в 1-й строке помещены вначения случайной функции, наблюденной в 1-й реализации (1-и опыте) при значениях аргумента 1ы 1,, ..., 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
