Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Требуется определить подходящие значения числовых характеристик— матеиатнческих ожидэиий и элементов корреляционных матриц — для системы пяти случайных величин (Д,. Лв, 7Св, ив, .Тв) и системы пяти случайных величин (» ь 14 14 14. )ьв). Глх = 74 3' влх = 19,9; влх = 27,7; лвх = 85,8; лвх =!4788 ш = — 3,9; т = — 1,6; Й„= 12,2; ш = 13,3; и = 9,9. При вычислении элементов корреляционной матрицы мы не будем, как в прежних примерах, пользоваться соотношениями между начальными и центральными моментами; в данном случае ввиду сильно изменявшихся математических ожиданий пользование этим приемом ие даст преимушеств.
Будем вычислять оценки для моментов непосредственно по формулам (14.6.2). Для этого вычтем пз каждого элемента таблицы 14.6.3 среднее значение соответствующего столбца. Результаты сведем в таблицу 14.6.4. Решение. Оценки дла математических ожиданий найдутся как средине арифметические по столбцам: 345 Иа! ОПЕНКИ ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ ВЕЛИЧИИ Таблица 14.6.3 Орнннатн У Аасннсса х З ( 5 г ! 5 — 15 — 8 — 6 60 1Ю 125 — 30 — 20 — 75 — 1 20 — 2 60 — Ю2 65 о — 40 1 35 — 1Ю вЂ” !08 — 200 55 5 — 2 40 !О -40 — 1 00 !05 — 75 — 30 30 25 75 — 60 4 Таблица 14.6.4 Л~ т л г ( 5 5 г З ( 5 — 20,2 — 1 9,3 — 11,9 107,8 111,7 120,1 — 32,2 — 23,3 — 7,9 33,0 — 16,1 — 13,4 — 67,0~ 43,9 61,6 — 137,0 — 21,1 — 28,4 — 25,7 — 25,8 37,7 — 65,8 — ! 07,7 — 105,8 12,3 34,2 72,3 79,2 — 167,7~ — ! 73,8 92,3' 74,2 1 — 45,7 2 — 33,7 3 125,7 4 19,3 5 79,3 6 — 165,7 7 84,3 8 34,3 9 — 25,7 10 179,3 — 0,1 — 55,! — 100,1 17,9 79,9 — 182,1 84,9 19,9 — 20,1 154,9 53,0 — 96,1 — 73,4 — 28,4 31,6 26,6 76,6 — 58,4 5,6 73,0 — 36,1 — 177,0 83,9 58,0 17,9 23,0 83,9 — 42,0 — 66,1 183,00 5 9 37,3 — 37,7 162,3 17,2 — 30,8 194,2 Возводя втн числа в квадрат, суммируя по столбцам и деля на н — 1 9> получим оценки для дисперсий н средних квадратических отклонений: 2т = 1042'10г! 2гн =944'105! Ох =943'10' 2!с = 110,2.
10' 25 = 114,4. 105; а =102; а„=97; а„=97; а =105; а =107. 22 =35,5 ° 10г; 23 =24,4 10'; д =23,4 1О'; У~ ' ' Ус ' ' У д = 19,6 ° 10'; 21 = Ю,! ° 10'; У~ ' ' Ус а 60; а =49; а =48! а =44; Чтобы найти оценку для корреляционного момента, например, между величинами Х, и Хи составам столбец паперных произведений чисел, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 РО 2 — 20 — 80 40 1 00 — 1 40 1Ю 65 — !о !90 60 20 — 20 1 20 1 65 — 88 1 60 1 03 55 280 180 80 !О 200 220 — 30 205 !70 105 330 — 20 40 — 25 — 1 00 — 40 80 !4 80 — 70 2 — 20 — 35 — 25 25 25 60 — 30 РО -47,2 — 37,2 12,8 12,8 47,8 — 42,2 — 2,2 — !О 2 — 30 !О 30 !о — РО 12 — 11,3 — 43,3 — 3,3 16,7 — 3,3 — 23,3 — 1,3 — 2 130 2 2 — 45 2 РΠ— 4 о 4 — 7,9 54,9 — 7,9 0,1 — 13,9 — 9,9 -:-5,9 346 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ !гл !а 104,2 96,0 98,4 105,1 106,9 94,4 93,2 107,0 101,1 94,3 102,0 99,2 110,2 108,2 111,4 А.Л = 35,5 27,8 22,9 11,0 8,3 ~ 24,4 21,4 13,0 !0,2 23,4 17,4 17,2 19,6 19,3 20,1 Рг!ту!~ = (Ввиду симметричности матриц они заполнены только наполовину.) Нормированные корреляционные матрицы имеют вид: 1,00 0,97 0,99 0,98 0,98 1,00 0,99 0,99 0,97 1,00 0,98 0,96 1,00 0,97 1,00 ~ гхгх11 1,00 0,94 0,76 0,42 0,31 1,00 0,89 0,59 0,46 1,00 0,81 0,80 1,00 0,97, ~! 1,00 ( 1)г„„)( = РассматРиваЯ зги матРицы, Убеждаемса, что величины (Аь Аь Уь Уо Уз) находятся в весьмз тесной зависимости, првблнжающейся к функциональной; величины (Ун 'гт, Гв Уо 1;) связаны менее тесно, и козффициенты корреляции между ними убывают по мере удаления от главной диагонали корреляционной матрицы.
') Если вычисление производится на арифмометре или клавишной счетное мзн~иие, то нет смысла выписывать отдельные произведения, а следует непосредственно вычислять суммы произведений, не останавливаясь на промежуточных результатах. стоящих в первом и втором столбцах таблицы 14.6.4').
Сложив все зтн произведения н разделив сумму на и — 1, получим: )(,„,=0,959 !О. Леля и к на л е, получим: к!к1 «2 г„ж 0,97. Аналогично находим все остальные злементы корреляционных матриц. Лля удобства умножим все злементы обеих матриц моментов на 10 з. Получим: 347 ОБРАБОТКА СТРЕЛЬБ 14.7. Обработка стрельб Одной нз важных практических аадач, возникающих при изучении вопросов стрельбы и бомбометания, является задача обработки результатов экспериментальных стрельб (бомбометаний). Здесь мы будем различать два случая: стрельбу ударными снарядами и стрельбу дистанционными снарядами, При стрельбе ударными снарядами рассеивание характеризуется законом распределения системы двух случайных величин: абсциссы и ординаты точки попадания на некоторой плоскости (реальной или воображаемой).
При стрельбе дистанционными снарядами рассеивание носит пространственный характер и описывается законом распределения системы трех координат точки разрыва снаряда. Рассмотрим сначала задачу обработнн стрельб ударными снарядами. Пусть произведено л невависимых выстрелов по некоторой плосной мишени и зарегистрированы координаты и точек попадания (рис. 14.7.1): (л,, у,), (ла, у), ...; (х», у» Рис.
!4,74, Предполагая, что закон распределения системы (Х, 'г) нормаль ный, требуется найти оценки для его параметров. 'координат центра рассеивания гп, и„, угла а, определяющего направление главных осей РассеиваниЯ $, 4, н главных с.к.о. Бр е . Начнем с рассмотрения самого простого случая, когда направление главных осей рассеивания известно заранее. Этот случай часто встречается на практике, так как обычно направление главных осей рассеивания определяется самими условиями стрельбы (например, при бомоометании †направлен полета и перпендикулярное к нему; при воздушной стрельбе — направление поперечной скорости цели и перпендикулярное к нему и т. д,).
В этом случае задача обработки стрельб сильно упрощается. Зная заранее хотя бы ориентировочно направление главных осей, можно выбрать координатные оси параллельно им; в такой системе координат абсцисса и ордииата точки попадания представляют собой независимые случайные величины, и их закон распределения определяется всего четырьмя параметрами; координатамч центра рассеивания и главнь1ми среднпмч квадр»- тическнми отклонениями ал, е . Оценки для этих параметров З4й ОБРАБОТКА ОПЫТОВ !ГЛ. 14 определяются формулами и ~~~', х! 1 1 1И х Ха У! 1=1 Яу у и (х! — и! )' (14.7.1) и — 1 (Ус — 1иу)' и — 1 ~я~~ Х! ~я~~~ У1 1 1, 1=1 Ряс. ! 4.7.2, и ' у и (14.7.2) Перейдем к оценке угла а. Предположим. что направления главных осей рассеивания известны, н проведем через точку (т„, и! ) главные оси 01, Оч (рис.
14.7.2), В системе (От! координаты случайной точки (Х, у) будут: Е = (Х вЂ” и„) соз а+ (у' — глу) з!и а„ Н = — (Х вЂ” иу ) з 1п а + (у — игу) сов а. или Я=Хсоза+ )'з!па, Н = — Х з1л а + )' соз а. (14 7 3) Очевидно, величины В, Н будут иметь математические ожидания, равные нулю: М(Н) =М [Н) =О. Рассмотрим более сложный случай, когда направление главных осей рассеивания заранее неизвестно и тоже должно быть определено из опыта.
В этом случае определению подлежат оценки всех пяти параметров: координат центра рассеивания ул . иу . у' угла а и главных средних квадратических отклонений ео а (рис. 14.7.2). Оценки для координат центра рассеивания в этом случае определяются так же, как в предыду!цем случае, по фор- мулам 349 ОБРАБОТКА СТРЕЛЬБ Так как оси 01, Ок! — главные оси рассеивания, величины Е, Н неаависимы. Но для величин, подчиненных нормальному закону, независимость эквивалентна некоррелированности; следовательно, нам достаточно найти такое значение угла и, при котором величины Я, Н не коррелированы.
Это значение и определит направление главных осей рассеивания. Вычислим корреляционный момент величин (Е, Н). Перемножая равенства (14.7.3) и применяя к их произведению операцию математического ожидания, получим: Ке„=М (ЕН! = — М1Х')з!Бв созе+ М1ХУ)(созга — з!пга)+ + М (уг) з!и я соз а = — — з)п 2в (В „— В ) + К, соз 2а. 1 у «у Приравнивая зто выражение нулю и деля обе части на соз2а. имеем: !п2е= 2К „ (14.7.4) к у Уравнение (14.7.4) даст два значения угла аг в, и аг, различающиеся на —. Эти дза угла и определяют направления главных осей 2' рассеивания '). Заменяя в равенстве (14.7.4) К , Вк.
В их оценками, получим оценку для угла а: 1 2Кку в = — агс!д 2  — О Найдем оценки для главных средних квадратических отклонений ао е . Для этого найдем дисперсии величин Я. Н, заданных формуламй (14.7.3), по теореме о дисперсии линейной функции: Вг — — В созга+ В„з!иге+ 2К«.„з!па созе; В = В«з1пг е+ В„созга — 2К „з!п а соз а, откуда находим оценки для главных дисперсий: Ог — — Вк созг з + Кку з(п 2а + В„Б1п' а; 1 (14.7.3) В =В з!пга — К„з!п2в+В соРя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
