Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 58
Текст из файла (страница 58)
естественно, равна нулю. Поставленная задача является частным случаем общей задачи о доверительном интервале для вероятности, но ввиду своих особенностей .гс.н жчнает отдельного рзссмстрснея. Прежде гсс.о, приглиженный метод построения доверительного интервала (на основе замены закона распределения частоты нормальным), изложенный в начале данногО п', здесь неприменим, так как вероятность р очень мала. Точный метод построения доверительного интервала на основе биномиального распределешш в далном слу ше применим.
по может быть ' существенно упрощен. 1;удем рзссуждать слсдуюп1ик ооразом. В рсзуль ате л опытов наблюдено событие В. состоящее в том, что А не появилось ни разу. Требуется найти максимальное значение р = р,, которое «совместимо» с наблюденным в опыте событием В, если считать 22 Е. С. Вевтаель ОБРАБОТКА ОПЫТОВ !ГЛ. 14 «несовместимыми» с В те значения 71, для которых вероятность события В меньше, чем к = 1 — р, Очевидно, для любой вероятности р события А вероятность наблюденного события В равна Р (В) = (1 — )т)". Полагая Р(В)=а, получим уравнение для р01 (1 — Рз)" =1 — ~, откуда (14.5.14) Имея в виду ориентировочный характер всех расчетов подобного рода, можно предложить гнссто формул (14.5.15) и (14.5.16) более простые приближенные формулы.
Их мо1кно получить, предполагая. з р =! — ~7'1 — В. (14.5.1 5) Пример 5. Вероятность р самопроизвольного срабатывания взрыва- теля при падении снаряда с высоты И неизвестна, ио предположительно весьма мала. Произведено 100 опытов, в каждом из которык снаряд роняли с высоты И, но ни в одном опыте взрыватель ие сработал. Определить верхнюю границу рз 90%-го доверительного интервала для вероятности р. Решение. По формуле (14,5.15) 100 100 ре = 1 — Р" 1 — 0,9 = 1 — г' 0,1, 100 1д Уо,! = 0,01 !д О,! = 1,9900, 100 3~ 0,1 ш 0,977; рк = 1 — 0,977 = 0,023. Рассмотрим еще одну задачу, связанную с предыдушей.
Событие А с малой вероятностью р не наблюдалось в серии из а опытов ни разу. Задана доверительная вероятность р. Каково должно быть число опытов н для того, чтобы верхняя доверительная граница для вероятности события была равна азданному значению рз? Решение сразу получается из формулы (14.5.14): !ц(1:Р) (1 4.5.16) !ь (! — Ре) Пример 6.
Сколько раз аужно убедиться в безотказной работе изде- лия для гого, чтобы с гарантией 9500 утверждать, что в пРактическом ири- не: ешш 000 будет отьезц001е це Белее чек1 0 5", всех сдуддез Решение, По формуле (14.5.!6) при 5 =0,95, р,=0,05 имеем: л = — ' Рй 58,4. 1и 0,05 ~д О,ы Округлая в бдльшую сторону, получим: л = 59. ы.а! Оценки для числоВых хАРАктеРистик системы Величии 339 что число появлений события А при и опытах распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а=ил. Это предположение приближенно справедливо в случае, когда вероятность р очень мала (см. гл.
5, и' 5.9). Тогда Р(В) -е "Р, и вместо формулы (14.5.15) получим: — !п(1 — 5) Рз = и а вместо формулы (14.5.16) (14.5,17) и !п(1 — 6) (14.5. 18) Р* Пример 7. Найти приближенно значение рз для условий примера 5. Р е ш е н и е. По формуле (14.5.14) имеем: — !п0,1 2,303 рз= ' = — '=0,023, 100 100 Округляя в ббльшую сторону, находим и=60, что мало отличается от ре- зультата и = 59, полученного в примере 6. 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин В п'п' 14.1 — 14.4 мы рассмотрели задачи, связанные с оценками для числовых характеристик одной случайной величины при ограниченном числе опытов и построением для этих характеристик доверительных интервалов.
Аналогичные вопросы возникают и при обработке ограниченного чи"ла пяплю,лшгй нз:! двумя и более с.1".зичызп1 яслчч низин. Здесь мы ограничимся рассмотрением только точечных оценок для характеристик системы. Рассмотрим сначала случай двух случайных величин. Имеются результаты и независимых опь:тоз няд системой случайных величин (Х, 1'), давшие результаты: (лп у,)! (т, уз)! ...! (хи, у,), Требуется найти оценки для числовых характеристик системы; математических ожиданий ги, гид, дисперсий О„, 1) и корреляцион. ного момента К т.
е. тот же результат, который получен по точной формуле в примере 5. Пример 8. Найти приближенно значение и для условий примера 6. Ре шеи не. По формуле (14.5.18) имеем; — !и 0,05 2,996 0,05 0,05 340 ОВРАВОТКА ОПЫТОВ Этот вопрос решается аналогично тому, как мы решили его для одной случайной величины. Несмещенными оценками для математических ожиданий будут средние арифметические: л т = — р У л ю Х "с с=! тх и (14.6.1) а для элементов корреляционной матрицы— Х (ус ту) с=! У л — 1 (14.6.2) а ~Ч~ ~(хс — тх) (у, — т„) с=! К„! —— 0„' = а' [ Х[ — (т,")з; );)„'=а [)с[ — (т„')а; К =а, с[Х, )[ — т*т' (1 4.6.3) где У, ус а, [Г[= л я Х» (1 4.6.4) с=! т' == л л сус и',, [Л', )'[ = Вычислив статистические моменты по формулам (14.6.3), можно затем найти несмещенные оценки для элементов корреляциощсой Доказательство может быть проведено аналогично и'!4,2.
При непосредственном вычислении оценок для дисперсий и корреляционного момента часто бывает удобно воспользоваться связью между центральными и начальными статистическими моментамн: теи оцвики для числовых хдвдктввистик систвыы ввличии 341 матрицы по формулам: п В =В' —; ««и — 1' п В =В* —; « хи — 11 (14.6.5) и ~«т ~«т п — 1 При мер. Произведены стрельбы с самолета по земле одиночными выстрелами.
Зарегистрированы координаты точек попадания и одновременно записаны соответствуюшие значения угла скольжения самолета. Наблюденные значения угла скольжения 8 (в тысячных радиана) н абсциссы точки попадания Х (в метрах) приведены в таблице 14.6.1. Т а б л и ц а 14.6.1 «г — 15 +5 ~-10 Найти оценки для числовых характеристик системы (8, Х). Решение. Для наглядности наносим зсе пары значений (8, Х) иа график (рис. 14.6.1). Расположение точек иа графике уже свидетельст вует о наличии определенной зависимости (положительной корреляции) между 8 н Х. По формулзм (14.6.1) вычисляем средние значения величии 8 н Х вЂ” оценки для математических ожиданий: жз —— 7,15; ж« вЂ” — 0,5.
Далее находим статистические вторые начальные моменты: ДЙ вз[г! = ~ =5818; зз ~ «т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 — 10 — 2 +10 — 1 — 16 — 8 — 2 11 12 13 !4 15 16 17 18 19 20 +3 — 2 +28 +62 — 10 — 8 +22 +3 — 32 +8 — 1 ф12 — 11 +2 — 12 +1 342 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ (ГЛ. !4 По формулам (!46.3) находим статистические дисперсии: В„= 581,8 — 51,0 530,8; В„= 85,4 — 0,2 = 85,2. Дла нахождения несмещенных оценок умножим статистические дис- и 20 персии на — †; получим: л — 1 19' Ва — — 559, Вх — — 89,7.
Соответственно средние квадратические отклонения равны: аа = ГхсВЗ вЂ” — 23,6; ах = 9,46. По последней формуле (14.6.4) находим статистический начальный момент: .з; рр, а ° а1 ~(р,Х)= = 190,8 а и статистический корреляционный 17 ° момент: Ф Ф К„=... (8, Х) —,,= = 190,8 — 3,6 = 187,2.
"Ю о' ' Ф та 57 ' Для определения несмещенной оценки умножаем его на и 20. а Э' = —; получаем: и — 1 19' К .=197О, откуда оценка для коэффициента корреляции равна; Рис. 14.6.1, 197,0 гас 236 ° 9,46 ж 0,88. Полученное сравнительно большое значение г указывает на наличие существенной связи между 8 и Х; на агом основании можно предполагатгь ч, скохьженяе является основной при*о.ной боковых отклонепнй снв, яхо,. Перейдем к случаю обработки наблюдений над системой произвольного числа случайных величин. Имеется система т случайных величин (ХР Х,, Х ). Ива системой произведено и неяяниснмых насблюяений: результаты этих наблюдений оформлены в виде таблицы, каждая строка которой содержит «т значений, принятых случайными величинами Ха, Хя, ..., Х в одном наблюдении (табл.
14 6.2). 2еа1 Ог!енки для числОВых хАРАктеРистик системы Величин 343 Т а б л и ц а 14.6.2 ХЛ2 кн х1л хал хлл хил Числа, стоящие в таблице н занумерованные двумя индексами, представляют собой зарегистрированные результаты наблюдений; первый юшекс обозначает номер случайной величины, второй — номер наблюдения, так что ха, — это значение, принятое величиной Ха в ~'-и наблюдении.
Требуется найти оценки для числовых характеристик системы: математических ожиданий т, и„, ..., Лгл и элементов корреляционной матрицы: !!Хгу!! = ~ ллл По главной длагоналн корреляционной 2 лтрящы, очевидно, стоят дисперсии случайных величин Х,, Х2, ..., Х; ХП=Й' А22=02' " Х =0„. Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические: Л', ХЛ2 т, = ' ~ (й= 1, 2, ..., Лг).
114.6.6) л» л 344 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ П'Л 44 Несмещенные оценки для дисперсий определятся по формулам ~и~~ (х в — тх )з (14.6.7) а для корреляционных моментов — по формулам ~~р~ (ха, — ш, )(хп — ш,) (1 4.6.8) По этим данным определяются оценки для влементов нормированной корреляционной матрицы: Г даг И вачг (14.6.9) аэ = р О,: е, = рГЕ),. (14.6.1О) Пример. Сброшено 10 серий бомб, по 5 бомб в каждой, и зарегистри- Г ваиы точки попадания. Результаты опытов сведены в таблицу 14.6.3. таблице буквой 1 обозначен номер серии; а в номер бомбы в серии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
