Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть произвелено п независимых опытов над случайной величиной Х. характеристики которой — математическое ожидание т и дисперсия 1) — неизвестны. Для зтих параметров получены оценки: ~~' (Х, ж)а ь) — '=' 1=! ш= л (14.3.4) л — 1 Требуется построить доверительный интервал 1, соответствующий доверительной вероятности 3, для математического ожидания т величины Х. При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина т представляет собой сумму л независимых одинаково распределенных случайных величин Х,, и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом а ее закон распределения близок к нормальному. На практике даже при относительно небольшом числе слагаемых (порядка 10 —: 20) закон распределения суммы можно приближенно считать нормальным.
Будем исходить из того, что величина ш распределена по нормальному закону. )(арактгристики этого заковав О математическое ожидание и дисперсия — равны соответственно гл и-- л (см. гл. 13 п'13.3). Предположим, что величина 1) нам известна, 320 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ [гл. 1а и найдем такую величину е, для которой Р (( лг — т ~ < е ) = р. (14.3.5) Применяя формулу (6.3.6) главы 6, выразим вероятность в левой части (14,3,6) через нормальную функцию распределения Р ( ~ вг — лг ~ ( з ) = 2Ф' — г — 1. (14.3.6) /й где а = 1г,' †„ — сРеднее квадРатическое отклонение оценки лг.
Из уравнения 2Ф' — а — 1 =р нахолим значение е: е =е- агп Ф*1 — ), *т1+6 ~а (14.3.7) где агд Ф'(х) — функция, обратная Ф*(х), т. е. такое значение аргумента, при котором нормальная функция распределения равна х. Дисперсия О, через которую выражена величина а-. нам в точности не известна; в качестве ее ориентировочного значения можно воспользоваться оценкой ь) (14.3.4) и положить приближенно: ,/ д е-= )г ,л — л ' (14.3.8) / =(т — е; >и+е), где е определяется формулой (14.3.7). Чтобы избежать при вычислении е обратного интерполирования в таблицах функпди Ф" (х), удобно составить специальную таблицу (см. табл.
14.3.1), где приводятся значения величины 1а — аг6 Ф" ~ + ) в зависимости от Р. Величина 1а опРеделзет дчч иоРчального закона ЧИСЛО СРЕАНИХ КЗ ДРат.сгССКИХ От..ЛОП Ннй ВТОРОЕ НУЖНО ОтЛОжнтЬ вправо и влево от центра рассеивания дли того, что'и1 ьсро"'ность попадания в полученный участок была равна 6. Через величину 1з доверительный интервал выражается в виде: г =(лг — 1 а-; лг+г а-„). (14.3.9) Таким образом, приближенно решена задача построения доверитель-. ного интервала, который равен: ькз) довенительныи интепвдл.
довепительндя веиоятность 321 Таблица 1431 Пример 1. Произведено 20 опытов над величиной Х; результаты приведены в таблице 14.3.2. Таблица 1432 Требуется найти оценку т дзи математического ожидания ги величины Х и построить доверитезьныи интервал, соответствующий доверительной вероятности 3 = 0,8. Решение. Имеем: 70 1 ъ-~ иг = — ~„хг = 10,78. =202( г 1 Выб"ав за нзчазо отсчета х =10, по третьей фор.з;зс (14224) нзходим несмещенную оценку Й Б=~ — ' — 0,78 ~ — 0=0,004.
г13,38 ч 20 е ~/ — = 0,0304 / П По таблице 14,3.1 находим ГЗ 1,282: з — т)е — 0.07Х Доверительные границы: ш, = щ — 0,072 = 1ОЛ; Донернтезьный иьнерьаз: Уз — — (10,71; 10,85). 3иаченик параметра ш, лежащие в этом интервале, язаяются совместимыви с ояытнызпт данными, приведенными в табанце 14.3.2. 21 Е. С.
еенткеаь ОБРАБОТКА ОПЫТОВ 1гл. 14 Аналогичным способом может быть построен доверительный интервал и для дисперсии. Пусть произведено л независимых опытов над случайной величиной Х с неизвестными параметрамн лг н П, и для дисперсии й получена несмещенная оценка: л ~~~~ (Х! — т)' !=1 0= (14.3,11) где ю=! гл =— л Мф) =В. Вычисление дисперсии с) [б) связано со сравнительно сложными выкладками, поэтому приведем ее выражение без вывода: 1 — 3 ()(()1= — р. — — (). л 4 л(л — 1) где р4 — четвертый це!Пральный момент величины Х. Чтобы воспользоваться этим выражением, нужно подставить в него значения р и Е) (хотя бы приближенные), Вместо !1) можно воспользоваться его оценкой б.
В принципе четвертый центральный момент Р4 тоже можно заменить его оценкой, например величлной вида: ~~, (Х! — !и)' 1=1 Р4= в (14.3,13) Требуется приближенно построить доверительный интервал для дисперсии. Из формулы (14.3.11) видно, что величина б представляет собой (Х! — л!)! сумму и случайных величин вида ' ° Эти величины не л — 1 являются независимыми, так как в любую из них входит величина т, зависящая от всех остальных. Однако можно показать, что при увеличения а закон распределения их суммы тоже приближается к нормальному. Практически при в=20-+-30 он уже может считаться нормальным.
Предположим, что это так, и найдем характеристики этого закона: математическое ожидание и дисперсию. Так как оценка б — несмещенная, то ил! доввянтельнып интегвлл. довегнтальнля веяоятность' 323 но такая замена даст крайне невысокую точность, так как вообще при ограниченном числе опытов моменты высокого порядка определяются с большими ошибками. Однако на практике часто бываег, что вид закона распределения величины Х известен заранее: неизвестны лишь его параметры. Тогда можно попытаться выразить й,, череа О.
Возьмем наиболее часто встречающийся случай, когда величина Х распределена по нормальному аакону. Тогда ее четвертый центральный момент выражается через дисперсию (см. гл. б и' 5.2): р., = 30т, и формула (14.3.12) дает 3 и — 3 0 [01 = — 0Я вЂ” — 0з п п(п — !) 0101 = — 0а. 2 и — 1 (14.3. ! 4) Заменяя в (14.3,14) неизвестное 0 его оценкой 0. получим: 010) = —,0а. (14.3. ! 5) откуда 2 е- = — О. и г' п — 1 (!4,3.!6) (3 — а)~ (3 а)а ра= ! % !2 где (а, р) — интервал, на котором задан закон, Следовательно, 1.80е. По формуле (14.3.12) получим: (01 0,8п+ 1,2 п (и — !) о!куда находим приближенно .,Го,яп+ 1,2- и К п(п !) (14.3.1Г> Момент рч можно выразить через,0 также и в некоторых других случаях, когда распределение величины Х не является нормальным, но аид его известен.
Например. для закона равномерной плотности (см. главу 5) имеем: 324 ОВРАВоткл опытов [Гл. и В случаях, когда вид закона распределения величины Х неизвестен, при ориентировочной оценке величины эо рекомендуется все же пользоваться формулой (14.3.16), если нет специальных оснований считать, что этот закон сильно отличается от нормального (обладает заметным положительным или отрицательным эксцессом).
Если оркентировачное значение эй тем или иным способом получено. то можно построить доверительный интервал для дисперсии, аналогично тому, как мы строили его для математического ожидания: Уэ = ф — узел, 'Б + саед), (14.3.18) где величина 1 в зависимости от заданной вероятности р находится по таблице 14.3.1. Пример 2. Найти приближенно 801ь-й доверительный интервал лля дисперсии случайной величины Х в условиях примера 1, если известно, что величина Х распределена во закону, близкому к нормальному.
Решение. Величина «З остается тай же, что в примере 1: Гэ — — 1,282. По формуле (14.3.16) э- = ~ — 0,064 = 0,0202. Г2 В=$' 10' По формуле (14.3.18) находим доверительный интервал: У„= (0,043; 0,086). Соответствующий интервал значений среднего квадратического отклонения: (0,21; 0,29). 14А. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону В предыдущем и' мы рассмотрели грубо приблии1енные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.
В данном и' мы дадим представление о точных методах рщнения той же задачи. Полчеркнеи, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать ааранее в и д закона распределения величины Х, тогда как для применения приближенных методов это ие обязательно. Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал наход.гтся из условия.
выражавшего вероятность выполнения некоторых неозэенств, в которые входит интересующая нас оценка а. Закон распределения оценки а в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины Х, Однако иногда удается перейти в неравенствах от слу- митоды постгоения довввитвльных интитвллов 325 14.41 (14.4.!) где подчиняется так называемому закону раслределения Стьюденлги с л — 1 степенями свободы; плотность этого закона имеет вид 2 где Г(х) — известная гамма-функция: Г(х) = ~ и -'е-'4(и. о Доказано также, что случайная величина (л — 1) 4'.! В (14.4.3) имеет «распределение тЪ с л — 1 степенями свободы (см, гл.
7. стр. 145), плотность которого выражается формулой л 1 3~ йа е Я при о>О, ))я-1 (О) 2 Г( — ) О (14.4.4) при о.О. Не останавливаясь на выводах распределений (!4.4.2) и (14.4.4). покзжеч, как ич л ожно применить при построении доверительных интервалов для параметров ти и В. чайной величины а к какой - либо другой функции н аб люденных значений Хн Хж ..., Х„, закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов и и от вида закона распределения величины Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
