Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 52
Текст из файла (страница 52)
М. Ляпуновым в 1900 г. Для доказательства этой теоремы А. М. Ляпунов создал специальный метод х а р а к т е р нстическ их функций. В дальнейшем этот метод приобрел самостоятельное значение и оказался весьма мощным и гибким методом, пригодным для решения самых различных вероятностных задач. Характеристической функцией случайной величины Х называется функция 3ОО ппццнльнын тзоннмы тноеии випоятноствн «гл. ~э гдее=! — р. П'ример 2. Случайная величина Х ннеет нормальное распределение: 7 (к) — е 1 )ГБ (13.7.4) Определить ее характеристическую функцию. Решение.
По формуле (И.7.3) иыеем: Оь кь юь кь е е б(Г)= лак=а ах== / е бх. Р 2я г'2я (13,75) Пользуясь известной формулой Ас ге -лк' е звк-с,г я л А ОЭ и имея в виду; что р = — 1, получим: е я(е) е (13.7.6) Формула (13.7.3) выражает характеристическуИ функцию д(7) непрерывной случайной величины Х через ее плотность распределение 7 (х). Преобразование (13.7.3), которому нужно подвергнуть 7 (х), чтобы подучить д(7), называется преобралоеанаекг Фчрье. В курсах математического анализа доказывается, что если функция р(7) выражается через 7" (х) с помощью преобразования Фурье, то.
в свою очередь, функция 7(х) выражается через а(7) с помощью так называемого обратного преобразования Фурье: СО 7 (х) = — 7 е- пкд (7) бт '). 1 7' 2к „7 СО ~) В и'и" 17.З, 17.4 будут выведены те же преобразования Фурье, связывающие корреляционную функцию н спектральную плотность.
Если Х вЂ” непрерывная случайная величина с плотностью распределения 7 (х). то ее характеристическая функция а (8) = ~ еггку (х) бх. (13.7.3) Ф Пример 1. Случайная величина Х вЂ” число попаданий при одном выстреле. Вероятность попадания равна р. Найти характеристическую функцию случайной величины Х. Решение. По формуле (13.7.2) имеем: и (Г) = е о «1 — р) + е г' р б+ еор, 391 хлелктееистические езнкции 1э.п Сформулируем и докажем основные свойства характеристическихскнх функций. 1. Если случайные величины Х и У связаны соотношением 1'= аХ, и их сумма и — Х Требуется доказать, что е К, (г) = П ела (О. (13.1.9) Имеем е 1 иЕха1 Ги ~ р>=мы 1,и[ - [=м[и."*1. Екц Так как величины Х» независимы, то независимы и их функции вила, По теореме умножения математических ожиданий получим: л и д Я вЂ” П М [зыке~ — Ц д (Е) в=1 е=1 '3 что и требовалось доказать, Аппарат характеристических функций часто применяется для композиции законов распределения.
Пусть, например, имеются две не зависимые случайные величины Х и У с плотностями распределения У,(х) н Ут(у). Требуется найти плотность распределения величины 2 =Х+ Г. Это мовсно выполнить следующим образом: найти характеристические функции е„(1) и й (1) случайных величин Х н у и, перемножив гае а — неслучайный мнозкитель. то их характеристические функции связаны соотношением: е „(1) = е (а1). (13.7.8) Доказательство: й, (с) = М [ен "[ = М [е них[ = М [е' ы б х[ = в, (а1). 2. Харакл~ерис~лическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функпий слагаемых. Доказательство.
Даны Хо Х„..., Մ— независимые случайные величины с характеристическими функциями й'„,(1) К,,(1) "А'„Р) ЗО2 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1ГЛ. 13 их, получить характеристическую функцию величины лП а;(() =а (()й',(г), после чего, подвергнув й,(г) обратному преобрааованию Фурье, найти плотность распределения величины лП1 .гз(я) = 2, ) и'и. (1) а 1 Р П р и и е р 3. Найти с помощью характеристических функций композицию двух нормальных законов: У,(х) с характеристиками т = О; а,.; уг(У) с характеристиками ю = О; е .
Решение. Находим характеристическую функцию величины Х. Для етого представим ее в виде А'= ееи, где еле=О а„=1, Пользуясь результатом примера 2, найдем йе(Г) = е г Согласно свойству 1 характеристических функций, (е Г)' е (Г) =л„(е,т) = е Аналогично ( г')' я (г) е г Перемножав е (Г) и лг(Г), имеем: (а +е) ее (г) е а зто есть характеристическая функция нормального закона с параметрами т/г г т:. О; е =- 1 т + а, Тп..пн пб(ггоп, пспучспа конпоппцпг воргыаьпых законов гораздо более простыми средствами, чем в и 12.б. 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на распрелеления образующих сумму случайных слагаемых.
Здесь мы сформулируем и докажем одну пз саныч простых фары центральной предельной теоремы, относящуюся к случаю одинаково распределенных слагаемых. 803 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА У.=ХХ„ А=1 (13.8.1) неограниченно приближается к нормальному. Показательство. Проведем доказзтельство для случая непрерывных случайных величин ХР ..., Х„(для прерывных оно будет аналогичным). Согласно второму свойству характеристических функций, доказанному в предыдущем и', характеристическая функция величины ув представляет собой произведение характеристических функций слагаемых.
Случайные величины Х,, ..., Х„имеют один и тот же закон распределения с плотностью ) (х) и, следовательно, одну и ту же характеристическую функцию 00 (Е) ~ Егсле (,С) С(Х (13.8.2) Следовательно, характеристическая функция случайной величины У„ будет и г (~) (з с (~)1 ' (13.8.3) Исследуем более подробно функцию 8„(1). Представим ее в окрест- ности точки 1 = 0 по формуле Маклорена с тремя членами: д (1) =8' (0)+ А''„(0)1+1, +а(1)~ 1г, (13 8 4) Г д,"(о) где а (1) -+ 0 при à — ь О.
Иапдсм всл1щнны и (О), г ', (О,', д" (0). Полагая в формуле (13.8.2) 1 =0. имеем: д„(0)= ~ г (х) дх=1. (13.8гб) Продифференцируем (13.8.2) по 11 8.,'(1) = ~ ьхеи",Г (х) дх =-! )г хеи'у (х) с(х. (13,8.6) Теорема, Если Х,, Х, ..., Х„, ... — незивисимыеслучаиные величины, имеющие один и тот же закон распределении с математическим ожидинием т и дислерсиеи ог, то лри неограниченнолг увеличении и закон распределения суммы 304 ЙРедельные теоэемы теоРии ВБРОятнОстей [Гл. !а Полагая в (13.8.6) 1=0. получим: 8',(0) = 1 ~ ХГ (Х)эл = 8М [Х) = 1ЛЗ.
(13.8.7) Очевидно, не ограничивая общности, можно положить ге=О (для этого достаточно перенести начало отсчета в точку эг). Тогда 8„'(О) = О. Продифференцируем (13.8.6) еще раз: 8" (г) = — ~ хаен г (х) г(х. отсюда с ", (0) = — ~ х'У (х) Нх. (13.8.8) 00 При лг=О интеграл в выражении (13.8.8) есть не что иное. как дисперсия величины Х с плотностью /(х), следовательно у' (О) =- — эз. (13.8.9) Подставляя в (13.8.4) д„ (0) = 1. 8„' (0) = 0 н и„"(0) = — э', получим: газ д.
(Ю) =1 — ~ —, — (гфт (13,8.10) Обратимся к случайной величине У„. Мы хотим доказать. что ее закон распределения при увеличении и приближается к нормальному. Для этого перейдем от величины У„к другой («нормированнойэ) случайной величине г„= (13.8.11) а)' л Эта величина удобна тем, что ее дисперсия не зависит от и и равна единице при любом п.
В этом нетрудно убедиться, рассматривая величину х.„ как линейную функцию независимых случайны)1 величин ХР Хэ, ..., Х„, каждая иэ которых имеет дисперсию эз. Если мы докажем, что закон раснределеню| зели щны г.'„приблэжэезся к нормальному, то, очевидно, это будет справедливо и для величины У„ связанной с х,, линейной зависимостью (13.8.11). Вместо того чтобы доказывать, что закон распределения величины Л„ при увеличении и приближается к нормальному, покажем, что ее характеристическая функция приближается к характеристической функции нормального закона'). ') Здесь мы принимаем без доказательства, что из сходимости характеристических функций следует схолимость законов распределения.
Доказательство см„например, Б. В. Ги еде и к о, Курс теории вероятностей, 1961. иш д„(1) =е и-+со (13.8.17) Это есть не что иное, кзк характеристическая функция нормального закона с параметрами т=О, а =1 (см. пример 2. и' 13.7). Таким образом. доказано, что при увеличении а характеристическая функция случайной величины Е„неограниченно приближается к характеристической функции нормального закона; отсюда заключаем, что и закон распределения величины х„(а значит и величины )',) неограниченно приближается к нормальному закону.
Теорема доказана. Мы доказали центральную предельную теорему для частного, но важного случая одинаково распределенных слагаемых. Однако з достаточно широком классе условий она справедлива и для неодинаково распределенных слагаемых. Например, А. М. Ляпунов доказал центральную предельную теорему для следующих условий: (13.8. 18) где Ьь — третий абсолютный центральный момент величины Хь.' д = ч [Х [ = М [ ) Хь ) а[ (й = 1, .... и), 1)ь — дисперсия величины Х„.
Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием спра- ведливости центральной предельной теоремы является у с л о в и е Линдеберга: при любом ч) О ь Иш — ~ / (х — ть) У'ь(х)а'х=О, 1 Вл ь 1(к-т ~ >~в„ ь еде т, — математическое ожидание, уь (х) — плотность распреь деления случайной величины Х„, В„= 'т' ~~~~7) «=ь 13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему н встречающиеся при ее практическом применении Согласно центра~~~ой предельной теореьш, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин (при соблюдении некоторых нежесгких ограничений) сколь угодно близок к нормальному.
3ОО пеедельные теопемы теоеин вееоятностен !гл. ьз откуда !зл! эогмтлы, вывлжлюшив цвнтвлльнтю ппвдвльнкю тпопвмт 307 Практически центральной предельной теоремой можно пользоваться и тогда, когда речь идет о сумме сравнительно небольшого числа случайных величин. При суммировании независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, с увеличением числа слагаемых закон распределения суммы очень скоро становится приблизительно нормальным. На практике вообще широко применяется приближенная замена одних законов распределения другими; при той сравнительно малой точности, которая требуется от вероятностных расчетов, такая замена тоже может быть сделана крайне приближенно.
Опыт показывает, что когда число слагаемых порядка лесяти (а часто и меньше), закон распределения суммы обычно может быть заменен нормальным. В практических задачах часто применяют центральную предельную теорему для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах. Пусть Хн Ха, ..., Х„ — независимые случайные величины с ма. тематическими ожиданиями и дисперсиями Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены (величины Хо Хю ..., Х„ сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы) и число слагаемых л достаточно для того.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
