Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для этого построим на плоскости хОу линию, уравнение которой х+у= х (рис. !2.5.1). Это — прямая, отсекающая иа осях отрезки, равные я. Прямая х+у=л делит плоскость хОу на две части; правее и выше ее Рис. 12.5.1. Х+У) я; левее и ниже Х т+У< х. Область О в данном случае — левая нижняя часть плоскости хОу, заштрихованная иа рис. 12.5.1. Согласно формуле (!2.4.2) имеем: со г-л ш( я-х — 1(х у)лхлу ~ ~ ~ у(х, у)Фу~ах.
Дифференцируя это выражение по переменной л, входюцей в верх- ний предел внутреннего интеграла, получим: а" (г) = ~ у (х, з — х) дх. (12.5.!) Это — общая формула для плотности распределения сумиы двух случайных величин. Из соображений симметричности задачи относительно Х и 1' можно написать другой вариант той же формулы: а'(з) = 1 У (з — у у) ду. (12 5,2) который равносилен первому и может применяться вместо него. Особое практическое значение имеет случай, когда складываемые случайные величины (Х, У) независимы.
Тогда говорят о комиозийии зикокое распределения. Произвести композицию двух законов распределения это значит найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, подчиненных этим законам распределения. Выведем формулу для композиции двух законов распределения. Имеются две независимые случайные величины Х и Г, подчиненные соответственно законам распределения Л (х) н 7 (у); требуется произвести композицию этих законов, т. е. найти плотность распределения величины Е = Х+ 'г'.
Так кяк величины Х и г' неаависимы, то У (х. У) Л(х) 7т(У) и формулы (12.5.1) н (12.5.2) принимают вид: Ш е (е) = ) Л (х),ее (» — х) г(х, СО й( ) = ) 7 (. — у) 7 (у)ду. (! 2.5.3) (1 2.5.4) Для обозначения композиции ааконов распределения часто применяют символическую записгк л =Л*Уз где е — символ композиции. 272 законы влспгвдилиния отнкцни сльчлнных лвгеминтов !гл. ж неа1 закон елспведеленип суммы двух слкчлиных величин 273 формулы (12.5.3) и (12 5.4) для композиции законов распределения удобны только тогда, когда законы распределения у) (х) и )з(У) (или, по крайней мере, один из них) заданы одной формулой на всем диапазоне значений аргумента (от — со до со).
Если же оба закона ааданы на различных участках различными уравнениями (например. два закона равномерной плотности), то удобнее пользоваться непосредственно общим методом, изложенным в п' 12.4, т. е. вычислить функцию распределения 0(е) величины 2=Х+)' и продифференцировать эту функцию. П р и и е р 1. Составить композицию нормального закона: 1'-ме 1 24 у, (х) = = е а У2я и закона равномерной плотности; 1 Уэ(у)= — при а(у<5. Р е ш е н и е.
Применим формулу композиции законов распределения в виде (12ЛА): а (я-У-ги)» Р ь — ы-т)Р К(л)= — / =а Ну= — ~ =а т' лу. (12.5,5) 5 е ) а Уг2я Р э / э )/2я а э Подынтегральная функция в выражении (12.55) есть не что иное, как нормальнмй закан с центром рассеивания л — т и средним квадратическим -4 -3 -У -) д У У Р 4 х в Рис. 12.5.2. отклонением а, а интеграл в выражения (12.5,5) сеть вероятность попадания случайной величины, подчиненной этому закону, на участок от а до 5; следовательно, Графики законов у, (х), у,(у) и й(л) п „„, приведены на рнс. 12.5.2. 18 е. С. вентяель 274 ЗАконы РАспРеделения Фуикцип случАйных АРГументОВ [Гя. 1я Пример 2. Составить композицию дзук законов равномерной плотности, заданных на одном и том же участке (О, 1); Л(х)=1 при 0<х<1, У~(у)=1 при 0<у<1.
Решение. Так как законы у, (х) и у»(у) заданы только на определеннмх участках осей Ох и Оу, для решения атой задачи удобнее воспользоваться не формулами (12.5.3) и (12.5.4), а общим методом, изложенным в и' 124, и найти функцию распределения 6(г) величины 2 =Х+ Г. Рис. 12.5.3. Рнс. 12.5.4. Рассмотрим случайную точку (Х, г') на плоскости хОу.
Область ее воз- можных положении — квадрат 1« со стороной, равной 1 (рис. 12.5.3). Имеем: 6(г) ~ ~ У(х, у)3хлу ~ ~ Ыхс(у, 1О1 (Р) где область Π— часть квадрата 11, лежащая левее н ниже прямой х+ у = г. Очевидно, 6(г) =3 о' где 8 — площадь области О. О Составим выражение длк площади области О нияк г, пользуясь рис. 125.3 и 12,5,4: 1) при г<0 Ул) 2) при 0<г< при Различных значе- 6( ) =0„ г» 1 6(г) =-,— ' 3) при 1<к<2 6(х)=1 — —. (2 — г)т 1 4) при г > 2 6 (г) = 1.
Дифференцируя зтн выражения, получим; 1) прил<0 х(г) =0; 2)прнб<г<1 Рис. 12.55. 3)при1<г<2 4) прн г > 2 График закона распределения 3(г) дан на рис. 12.5.5, название «закона Симпсона» или «закона треугольника». й(г) =г; 3(г) = 2 — г; е(г) =О. Такой закон носит 275 КОМПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ ЗЛИОНОЗ !2.6. Композиция иормальиых закоиов Рассмотрим дзе независимые случайные величины Х и г, подчиненные нормальным законам: (к-т )' 1 у' Л(л) = е (12.6.!) ак У2е й (л) / уг(л)уя(л л)ил= (х-тк)' (к-к-т )а 1 уа 2 / е х у 22иахау,/ СО г(л.
(! 2.6.З) Если раскрыть скобки з показателе степени подыитегральиой функции и привести подобные члены, получим: а(л) = 1 Е- Ак'+тек — С ДЛ аах у О где ах+ ау х а 2 2 а ау т к — т у. Е= — + 2ах 2а т (к — т„) а 2 С= — + 2а~~ 2аа Подстззляя зги выражении з уже зстречазшуюся нам формулу (9.1Л): СО =к'— — АС- В" Е-Ах' 2Вх- С Г(Л у" Е А А (12. 6 А) (у-ту)' 1 уа (12. 6,2) Требуется произвести композицию зтих законов, т.
е. найти закон распределения зеличииы". л=х+у. Применим общую формулу (12.6.3) для комиоаиции ааконоз распределения: 276 законы влспзвдалания эункцин случлиных лзгумантов [гл. и после преобразований получим: ('-(ек т„)]' 1 1 а(,з+ 21 а (л)= — е ~' "ю туУ ак+ а~~ )У 2н (12.6.5) а это есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеивания т,=т,+т (12.6.6) и средним квадратическим отклонением а = ~у аз+аз.
(12.6. 7) р(х) = — Алз+2Вл — С, где в коэффициент А величина г не входит совсем, в коэффициент В входит в первой степени, а в коэффициент С вЂ” в квадрате. Имен это в виду н применяя формулу (12.6А), приходим к заключению, что ьу(л) есть показательная функция, показатель степени которой— квадратный трехчлен относительно з, а плотность распределения такого вида соответствует нормальному закону. Таким образом, мы приходим к чисто качественному выводу: закон распределения величины з должен быть нормальным.
Чтобы найти параметры этого закона — т, и а, — воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий н теоремой сложения дисперсий. По теореме сложения математических ожиданий (1 2.6.8) т,=т„+т„. По теореие сложения дисперсий В,=В,+О, ат= аз.+ аз "а к у' (12.6.9) Откуда следует формула (~2.мл). Переходя от средних квадратических отклонений к пропорциональным нм вероятным отклонениям, получим; (12.6.10) К тому же выводу можно прийти аначительно проще с помощью следующих качественных рассуждений. Не раскрывая скобок и не производя преобразований в подынтегральной функции (12.6.3).
сразу прихолим к выводу, что показатель степени есть квадратный трехчлен относительно х вида композиция ноиильных законов 12В) Таким образом, мы пришли к следующему правилу: при композиции нормальных законов получается снова нормальный закон, причем математические ожидания и дисперсии (или квадраты вероятных отклонений) суимируются. Правило композиции нормальных законов может быть обобщена на случай произвольного числа независимых случайных величин.
Если имеется и независимых случайных величин: Х,Х,,....Х~ и т» С=) и о2 ~" о2 » с)кс' Вместо формулы (12.6.12) можно применять равносильную ей формулу: л Е,=ДЕ», (12.6.13) с=) Если система случайных величин (Х, Г) распределена по нормальному закону, но величины Х, с зависимы, то нетрудно доказать, так же как раньше, исходя из общей формулы (12 6.1), что закон распределения величины есть тоже нормальный закон. Центры Рассеивания по-поежнему скча дыааются алгебоаическн. но для средних кззвпатичесьн)х от венеций правило становится более сложныи оз о2 ! 22 ! 21, к1ч к 141 подчиненных нормальным законам с центрами рассеивания тк т» си 1 и средними квздратическнми отклонениями е», е„ ...., о», то величина также подчинена нормальному закону с параметрами где г — коэффициент корреляции величин Х и 1'. (12.6.1!) (12.6.12) 278 законы яаспгадвлвния вгпкции сличлпных лвггмантов !гл.
га При сложении нескольких зависимых случайных величин, подчи- ненных в своей совокупности нормальному закону. закон распреде- ления суммы также оказывается нормальным с параметрами л и»» Х л!.» »'=1 л в~ = ~» ет +2 ~.", г»7«,о»., — »<! ' ' Е или в вероятных отклонениях » Еа = и.", Ел,+2 ~~~ г!)Ех»Е«7, »=! ' »</ где г!7 — коэффициент корреляции величин Хн ХР а суммирование распространяется на все различные попарные комбинации величин Х,, Х, ..., Х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
