Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Из ряда распрелеленич (10.3.21) имеем: лг 1= 0 ' В (1 — 1).+ ! (1 — г (1 — 1)) = 1 — В (! — 1). Нетрудно убедиться, что та же формула будет справедлива и пои 1 — 1 гак как Р 101 = и Применим к выражению (10.3.20) теорему сложения математических ожиданий. Получим: лг„= ~ лг~, = ~~а [1 — Р(1 — 1)) 1=1 ' 1=1 240 числОВые хАРАктеРистики Фтнкпии слзчАиных Величин !Гл. 1о или.
обоаначая ! — 1=А, т,= ~ ]1 — Р(й)]. (10.3.22) «=о Каждый опыт требует затраты средств а. Умножая полученную величину т на а, определим среднюю затрату средств на достижение результата В: (10.3.24) 5 =а ~ ]1 — Р(Л)]. о=о Данная формула выведена в предположении, что стоимость каждого опыта одна и та же. Если это не так, то можно применить другой прием — представить суммарную затрату средств 8в как сумму затрат на выполнение отдельных опытов, которая принимает два значения: ан если (-й опыт «необходим», и нуль, если он «излишен». Средний расход срелств Юв представится в виде: Вв — — ~о ао]1 — Р(й)].
»=о Задача 11. Математическое ожидание суммы случайного числа случайных слагаемых. В ряде практических приложений теории вероятностей приходится встречаться с суммами случайных величин, в которых число слагаемых заранее неизвестно. случайно. Поставим следующую задачу.
Случайная величина Е представляет собой сумму У случайных величин: г Я=АХИ (10.3.25) у=! причем У вЂ” также случайная величина. Допустим, что нам иавестны математические ожидания т» всех слагаемых: т,, = л( ]Х~], и что величина У не зависит ни от одной из величин Х,. Требуетсо найти матекотнческоо ожидание оелнчипы 7. Решение. Число слагаемых в сумме есть дискретная случайная величина.
Предположим, что нам известен ее ряд распределения: у у ~ 2 "!! !"! ! "~... где р» — вероятность того, что величина )у приняла значение и. Зафиксируем значение У =й и найдем прн этом условии математн- те,з1 прнмвниння творим о числовых хлвлктпвнстнклх 241 ческое ожидание величины Я (условное математическое ожидание): М[2[в[= ~~,'ат». (10.3.26) Теперь применим формулу полного математнческого ожидания, для чего умножим каждое условное математическое ожидание на вероятность соответствующей гипотезы ра и сложим: М[д[= ~ ра ~ т .
а г=! Особый иктерес представляет случай, когда все случайные величины Х,. Х,, ... имеют одко н то же математическое ожидание: т» =т» = ... — т». $ 1 Тогда формула (10.3.26) принимает вид: М[с[Ц= ~ т =Ат„ М[2[=т» ~~,'~ Ара. (10.3. 28) а Сумма в выражении (10,3.28) представляет собой не что иное, как математическое ожидание величины )г: т„= ~~'„~ йрл. т,=М [2[ =т„т„, (10.3.29) т. е. математическое ожидание суммы случайного числа случайных слагаемых с одикаковыми средними значериями (если только число слагаемых не аависит от их аначений) равно проивведенню среднего значения каждого иа слагаемых на среднее число слагаемых. Снова отметим, что полученный результат справедлив как для независимых, так и для зависимых слагаемых Х,, Хш ..., лишь бы число слагаемых г" ие зависело от самих слагаемых.
Ниже мы решим ряд копиретнык примеров из разных областеи практики. на которых продемонстрируем конкретное нримененне общих методов оперирования с числовыми характеристиками, вытекающих из доказанных теорем. и специфических приемов, связанных с решенными выше общими задачами. Пример 1. Монета бросается 10 раз. Определить математическое ожилание и среднее квадратическое огклвнснив числа Х выпавши» ~врбов.
Решение. По формулам (10.3.7) и (10.3.10) найдем: и =10 0,5=5; 7)»=10 ° 0,5.0,5=251 в»=1,58. Пример 2, Производится 5 независинык выстрелов но круглой мишени диаметром 20 см. Прицеливанне — по центру мишени, систематическая 10 Е, С. Вев1цтль 242 числовые хАРАктеристики Функций случАЙных Величии )гл. !О ошибка отсутствует, рассеивание — круговое, среднее квадратическое отклонение « 16 см.
Найти математическое ожидание и с. к, о. числа попаданий. Р е ш е и и е. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле вычислим по формуле (9.4.5): ы р=1 — е 1 — е ы 0,465. 2 -О,О22 Пользуясь формулами (10.3.7) и (10.3.10), получим: т«=5)2щ 232' 0«=бр(! — р)»з 125' О» =112 Пример 3, Производится отражение воздушного налета, в котороч участвует 20 летательных аппаратов типа 1 и 30 летательных аппаратов типа 2.
Летательные аппараты типа 1 атакуются истребительной авиацией. Число атак, приходящееся на каждый аппарат, подчинено закону Пуассона с параметром а,=2,5. Каждой атакой истребителя летательныи аппарат типа1 поражается с вероятностью р, = 06. Летательные аппараты типа 2 атаиуются зенитными управляемыми ракетами. Число ракет, направляемых иа каждый аппарат, подчинено закону Пуассона с параметром а, = 1,8, каждая ракета поражает летательный аппарат типа 2 с вероятностью р, 0,8. Все аппараты, входшцие в состав налета, атакуются и поражаются независимо друг от друга. Найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и с. к.
о. числа пораженных летательных аппаратов типа 1; 2) математическое ожидание, дисперсию и с. к. о. числа пораженных летательных аппаратов типа 2; 3) математическое ожидание, дисперсию и с. к. о. числа пораженных летательнык аппаратов обоих типов. Решение. Рассмотрим вместо «числа атак» на каждый аппарат типа ! «число поражающих атак», тоже распределенное по закону Пуассона, но с другим параметром: а = р2а =0,6 ° 2,5 = 1,5. Вероятность поражения каждого из летательных аппаратов типа 1 будет равна вероятности того, что на него придется хотя бы одна поражающая атака: гг)0=! — е»к 0,777.
Вероятность поражения каждого из летательных аппаратов типа 2 найдем аналогично: )70! = 1 — е О з'! з = 1 — е ! 44 яб 0,763. Математическое ожидание числа пораженных аппаратов типа 1 будет: т, = 20 ° 0,777 = 15,5. Дисперсия п с. к. о. Отого числа: (),=л).0,777 0,223=3,46, «, щ1,86. Математическое ожидание, дисперсия числа и с, к. о. пораженных аппаратов типа 2; гл =30 0,763 —.— 22,8, с'2=5,41, Оа = 2,33. Математическое ожидание, дисперсия и с. к. о. общего числа пораженных аппаратов обоих типов: и =и,+т»=38,3, 52=!),+1!2=887, О гл 297. !О.З1 пРименениЯ теОРем о числОВых хАРАктеристикАЯ 243 Пример 4.
Случайные величины Х и 1' представляют собой злементарные ошибки, возникающие на входе прибора. Оии имеют математические ожидания т. — 2 и тг —— 4, дисперсии О„.=4 и От — — 9; козффициент корреляции втих ошибок равен г г — — — 0,5. Ошибка на выходе прибора связана с ошибками на входе функциональной зависимостью: Е = ЗХз — 2Х)'+ 1" — 3. Найти математическое ожидание ошибки иа выходе прибора. Р е ш е н и е. тк М [Е] =ЗМ [Х'! — 2М [Х)']+М [Уз] — 3.
Пользуясь связью между начальными и центральными моментами и формулой (10.2.17), имеем; М [Хз] =, [Х] = О„+ т = 8; М [1'т] = а [У! = Ег -«-шт = 25. М [Х)'] = ш т + К„т = = т „+г ге,е„— Н, откуда гик = 3 ° 8 — 2 ( — 11) + 25 3 = 68. Х П ример 5. Самолет производит бомбометание по автостраде, ширина которой 30 м (рис. 10.3.2). Направление полета составляет угол 30' с направлением автострады. Прицеливание — по средней линни автострады, систематические ошибки отсутствуют. Рассеивание задано главными вероятными отклонениями: по направлению полета Вя = 50 ж и в боковом направлении Вь = 25 м.
Найти вероятность попадания Рвс. 10.3.2. в автостраду при сбрасывании одной бомбы. Р е ше н и е. Спроектируем случайную точку попадания на ось Оа', перпендикулярную к автостраде и применим формулу (10.3.3). Она, очевидно, остается справедливой, если в нее вместо средних квадратических подставить вероятные отклонения: Ет = Ет соз 60 + Ез з1п 60 50 ° 0,25+ 25т ° 0,75 ш 1093. Отсюда Ея 0,674 Вероятность попадания в автостраду найдем по формуле (6.3.10)( р=2Ф*[ ) — 1 ю 0,238. П р я и е ч з н и е. Примененный здесь прием пересчета рассеивачия к другим осям пригоден только для вычисления вероитности попадания в область, имеющую вид полосы; для прямоугольника, стороны которого повернуты под углом к осям рассеивания, он уже не годится.
Вероятность попадания в кажлую из полос, пересечением которых образован прямоуголь- 'гидшт бЬ'ТЬ зь|чнсдсна с ноиощЬБ Эгого присна, Однако зерояТностЬ 16ь тз.з) пРименениЯ теОРем О числОВых хАРдктеРистиклх 245 Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ошибки прибора. р е ш е н и е. Так как функция (10.3.30) линейна, применяя формулы (10.2.6) и (10.2.13), находим: т„= Зт +2т — т„— 4 — 10, О„= 3' Р, + 2' Р, + 1' Рг+ 2 (3 2 Кг, + 3 ( — 1) Кгл+ 2( — 1) Клл) Ж, а„= 5.
П р и м е р 9. Лля обнаружения источника неисправности в вычислительной машине проводятся пробы (тесты). В каждой пробе неисправность независимо от других проб локализуется с веронтностью р=0,2. На каждую пробу в среднем уходит 3 минуты. Найти математическое ожидание времени, которое потребуется для локализации неисправности.
Р е ш е н и е. Пользуясь результатом задачи 9 данного и' (математическое ожидание числа опытов до А-го появления события А), полагая я= 1, найдем среднее число проб 1 1 т = — = — =5. 02 На зги пять проб потребуется в среднем 5 3 = 15 (минут). П р имер 10. Производится стрельба по резервуару с горючим.
Вероят- ность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Выстрелы независимы. Прн первом попадании в резервуар появляется только течь горючего, прн втором попадании горючее воспламеняется. После воспламенении горючего стрельба прекращается. Найти математическое ожидание числа произведен- ных выстрелов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
