Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2.61 ноРмАльныи зАкон В пвостРАнстве тРех измеРении 209 ГЛАВА 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1О.1. Математическое ожидание функции. Дисперсии функции При решении различных задач, связанных со случайными явлениями, современная теория вероятностей широко пользуется аппаратом случайных величин. Лля того чтобы пользоваться этим аппаратом, необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. Вообще говоря, эти законы могут быть определены из опыта, но обычно опыт, целью которого является определение вакона распределения случайной величины или системы случайных величин (особенно в области военной техники), оказывается и сложным и дорогостоящим. Естественно возникает задача в свести объем вксперимента к минимуму и составлять суждение о законах распределения случайных величин косвенным образом, на основании уже известных законов распределения других случаййых величин.
Такие косвенные методы исследования случайных величин играют весьма большую роль в теории вероятностей. При этом обычно интересуюшая нас случайная величина представляется как функция других случайных величин; зная законы распределения аргументов, часто удается установить закон распределения функции. С рядом задач такого типа мы встретимся в дальнейшем (см. главу 12). Однако на практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, иногда †'некоторые нз высших моментов.
К тому же очень часто самые законы распределения аргументов бывают известны недостаточно хорошо. В связи с этим часто возникает задача об определенна только числовых характеристик функций случайных величин. Рассмотрим такую задачу: случайная величина г' есть функция нескольких случайных величин Хц Ха, ..., Х„; У=ТАЯХ,, Х,, ..., Х„). ю.п млтвмлтичвскои ожидания экнкцни диспввсия этнкции 211 Пусть нам известен аакон распределения системы аргументов (Хп Ха... „ Х„); требуется найти числовые характеристики величины Г, в первую очередь в математическое ожидание и дисперсию.
Представим себе, что нам удалось тем илн иным способом найти закон распределения К(у) величины г. Тогда задача об определении числовых характеристик становится тривиальной; они находятся по формулам: ОЭ / ыЫФ 0 = ~ (у — гл )а л (у) Ну н т. д. Однако самая задача нахождения закона распределения К(у) величины Г часто оказывается довольно сложной. К тому же для решения поставленной нами задачи нахождение закона распределения величины 1' как такового вовсе и не нужно: чтобы найти только числовые характеристики величины г', нет надобности знать ее закон распределения; достаточно знать закон распределения аргументов (Хн Ха, ..., Х„).
Более того, в некоторых случаях, клятого чтобы найти числовые характеристики функции, не требуется даже знать закона распределения ее аргументов; достаточно бывает знать лишь некоторые числовые характеристики аргументов. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределенияя этих функций. Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая — функции одного аргумента — и поставим следуюшую задачу. Имеется случайная величина Х с заданным законом распределения; другая случайная величина г связана с Х функциональной зависимостью: У= р1Х).
Требуется, не находя закона распределения величины У, определить ее математическое ожидание: „= м мх)). (10.1.1) рассмотрим сначала случай. когда Х есть прерывная случайная величина с рядом распределения: з ! ! хсгх, ~л~~ ... ~хв значений: т(х,) т(х,) т (хл) (1а1.2) Р~ ~ Рл Рл Таблица (10.1.2) не является в строгом смысле слова рядом распределения величины Г, так как в обшем случае некоторые из зкачений <Р (хь).
ф(хг). ° ° ° ° я2 (хл) (1 0.1.3) могут совпадать между собой; к тому же эти значения в верхнем столбце таблицы (10.1.2) не обязательно идут в возрастаюшем порядке. Для того чтобы от таблицы (10.1.2) перейти к подлинному ряду распределения величины У.
нужно было бы расположить значения (10.1.3) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствующие равным между собой значениям Г. и сложить соответстзуюшне вероятности. Но в данном случае нас не интересует закон распределения величины у как таковой; для наших целей — определения математического ожидания — достаточно такой «неупорядоченной» формы ряда распределения, как (10.1.2). Математическое ожидание величины у можно определить по формуле М (р(Х)) =:ь' Р(хь) Р. (10.1.4) Очевидно, величина т = М (ф(Х)1, определяемая по формуле (10.1.4), не может иамениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов иаменен. В формуле (10.1.4) для математического ожидания функции не содержится в явном виде закона распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента. Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения этой функции, а достаточно знать закон РаспРеделения аргунента.
Заменяя в формуле (10.1.4) сумму интегралом, а вероятность рг— элементом вероятности, получим аналогичную формулу для непрерывной случайной величины: М(р(Х)1 = ~ р(х)У(х) дх, (10.1.5) где у (х) — плотность распределения величины Х. Аназогиюьо может быть определено математическое функции у(Х, У) от двух случайных аргументов Х и 1'. рывных величин М 1р (Х у)1 = Х Х 9 (хь уг) РЫ ь сжидание Для пре- (10.1.6) 212 числОВые хАРАктеРистики ФУнкций слэчАЯных Величин 1гл. Еь Выпишем возможные аначения величины г и вероятности зтнх 1ал1 млтвмлтнчвскон ожнДлнна эьнкннн, ДнспвпснЯ еьнКцнн 213 где рц=Р((Х=х,)(Г= у1)) — вероятность того, что система(Х, г) примет значения (хо у~), Для непрерывных величин М[1~(Х.
У)[= ~ ~р(х. у)у(х, у)дхс[у, (10.1.7) где у (х. у) — плотность распределения системы (Х, г). Совершенно аналогично определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин: М[ИХП Ха "' Ха)[= ~ р (х,, ха, ..., х„) /(хт, х, ..., х„) сгхт а[х ... дх„, -о» -00 (10.1.8) где у (хт, хт, ..., х„) †' плотность распределения системы (Хн Х, ..., Х ). Формулы типа (10.1.8) весьма часто встречаются в практическом применении теории вероятностей.
когда речь идет об осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов. Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо закона распределения функции. Аналогично могут быть найдены и другие числовые характеристики функции †момен различных порядков. Так как каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой случайной величины, то вычисленке любого момента может быть осуществлено приемами, совершенно аналогичными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии, причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов. Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой (10.1.0) г) [р(Х)[ = ~ [а (х) — гл [т,г'(х) 'гх — СО гле гя =М [е(х)1 — математическое ожидание функции у(Х); У (х! — плотность распределения величины Х.
Аналогично выражается дисперсия функции двух аргументов: 0[у(Х. У)[=а[ ~ [р(х. у) — гл [т~(х, у)~тхг[у, (10.1.10) 214 числОВые хАРАктеРистики ФУнкций слУчАйных Величин )гл. 1а где пг — математическое ожидание функции 2(Х, )'); у(х, у) — плотность распределения системы (Х, )'). Наконец, в случае произвольного числа аргументов, в аналогичных обозначениях; В[У(ХИ Х,, ..., Х„)]= ОО ОО ~ [р(~~ «2 " х.) — ~,]2?(хн хы ....
«„)2?~,с?~,...с?~„. СО ОО (10.1.11) Заметим, что часто прн вычислении дисперсии бывает удобно пользоваться соотношением между начальным и центральным моментами второго порядка (см. главу 5) и писать: П[з(Х)] = ['[р(. )]зу(х) у — шз; Е>[р(Х, У)]= ~ ~ [р(х, у)]2~(х, у)с?хс)у — я22; (10.Ь)3) — СО )'.)[9(Х!, Х2, .... Х„)]= = 1 ." ~ [ у(«1, хз,..., «„)]2 У(«1, хз..... х„) н1«1 с?«2...11«„— шз, — СО ОО (10.1. 14) Формулы (10.1.12) — (10.1.14) можно рекомендовать тогда, когда сг они не приводят к рааностям близких чисел, т. е. когда и сравнительно невелико. Рассмотрим несколько примеров. иллюстрирующих применение изложенных выше методов для решения практических задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
