Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В частности, если принять за «практнческую достоверсть» вероятность порядка 0,99, то «полным эллипсом рассеиваная» можно считать эллипс с полуосями Зе„, Зе„. 13« где гн„, ту — координаты центра рассеивания. Перейдем в канонической форме нормального закона (9.2Л) от средних квадратических отклонений к вероятным отклонениям: 196 иоямальиыи закон еаспееделеиия для системы величии 1гл.
е е,=а„=е. Тогда все эллипсы рассеивания обращаются в круги, н рассеивание называется круговым. При круговом рассеивании каждая из осей, проходяшкх через центр рассеивания, может быть принята ва главную ось рассеивания. нлн, другими словами. направление главных осей рассеивания неопределенно. При некруговом рассеиваннк случайные величины Х, У. подчиненные нормальному аакоиу на плоскости, независимы тогда и только тогда, когда координатные осн параллельны главным осям рассеивания; прн круговом рассеивании случайные величины (Х, У) независимы прн любом выборе прямоугольной системы координат.
Эта особенность кругового рассеивания приводит к тому, что оперировать с круговым рассеиванием гораздо удобнее, чем с эллиптическим. Поэтому на практике. где только возможно, стремятся приближенно заменять некруговое рассеивание круговым. 9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания Пусть случайная точка (Х, у) на плоскости подчинена нормальному закону (» Ф )~ (г яг)~ 1 Ж 2а У( у)=,— е 2ча аг (9.3.1) Прн этом главные оси рассеивания параллельны координатным осям н величины Х и У независимы.
Требуется вычислить вероятность попадания случайной точки (Х, 1') в прямоугольник Я, стороны котоРие, 931, рого параллельны координатным осям хОу, а следовательно н главным осям рассеивания (рис. 9.3.1). Согласно обшей формуле (8,3А) имеем: г Р((Х. у) (: Й)= ~ ~ К(х, у)а(хор= т (Х-М ) В г (у-т )г У г я Рассмотрим специально один частный случай, когда главные средние квадратические отклонения равны друг другу: 197 ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНИК з 3] о~куда, применяя формулу (6.3.3) для вероятности попадания научасток, находим: Р((Х, У) с= )с)= =[Ф'(, ) — Ф*( — )1[Ф'( — ) — Ф'( — ~)~, (9.3.2) где Ф'(х) — нормальная функция распределения. Если нормальный закон на плоскости дан в канонической форме, то и =ш„=б, и формула (9.3.2) принимает вид Р((Х, г') с". Л) =(Ф" ( — ) — Ф'( — ЯФ'Я вЂ” Ф'(~Т )~.
(9.3.3) Если стороны прямоугольника не параллельны координатным осям. то формулы (9.3.2) и (9.3.3) уже неприменимы, Только при круговом рассеивании вероятность попадания й в прямоугольник любой ориентации вычисляется по формулам (9.3.2) нли (9.3.3). Формулы (9.3.2) и (9.3.3) широко применяются при вычислении вероятностей попадания в цели: прямоугольные, блнвкие к прямоугольным, составленные из прямоугольников или приближенно заменяемые таковыми. П р и м е р.
Производится стрельба -4у ед с самолета по прямоугольному щиту х размером 9 м)с'12 м, лежащему на зсвзе горизонтально. Главные вероятные отклонения: в продольном направлевии В = 10 м, в боковом направлении Вс = бм. Прицеливанне — но центру мишени, заход — вдоль мишени. Вследсзвве несовпадения дальности при- Рис. 9.3.2, стрелки н дальности фактической стрельбы средкяя точка попадания смещается в сторону недолета на 4 м. Найти взрсвтвость попадания в мишень врк одном выстреле, Решение. На чертеже (рис.
9.3.2) наносим мишень, точку прицеливания (т. л.) н центр рассеивания (ц. Р.). Через ц. р. проводим глазные оси Рассеивания: по направлению полета н перпендикулярно к нему. Перейдем от главных вероятных отклонений Ва н Ве и главным средвин квадратическим: В 0074 ' ' У 0674 По Формуле (9,3,3) имеем: ' ((Х 1')<=77) =(Ф*( — ') — Ф'( 7 В)~(Ф'( — ) — Ф'( — Я щ0,138, 198 ногмальнып закон яаспяадилпния для системы величин 1гл. я 9,4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания 1 Ф та 1 аз а у(х, у)= — е ~ е г~, 2аа а (9.4.1) Рассмотрим эллипс рассеивания В», уравнение которого — + — = Аа л а а У где параметр й представляет собой отношение полуосей эллипса рассеивания к главным средним квадратическим отклонениям. По общей формуле (8.3.3) имеем: Р (,(Х, У) г.
Ве) = / / У (л. у) Нл Ну = (вь) / ,/ 2ла а (ва) (9.4,2) Сделаем в интеграле (9 4.2) замену переменных х у аа ' ау Этой подстановкой эллипс Ва преобразуется в круг Са радиуса А. Следовательно, аВ аа Р((Х. 1') ~" Ва)= — ( / е з з дило. (9,4.3) (с а Перейдем в интеграле (9.4.3) от декартовой системы координат к полярной, положив и=гсозб; о=гз!п3. (9.4.4) Якобиан преобразования (9.4.4) равен г. Произволд замену переменных, получим: а а «3 Р(,(Х 1') ~ В,)= — / ~ ге ' ИгФ0= / ге ' "=1 — е о К числу немногих плоских фигур, вероятность попадания в которые может быть вычислена в конечном виде. принадлежит эллипс рассеивания (эллипс равной плотности), Пусть нормальный закон на плоскости задан в канонической форме: зл1 " вввоятность попадания в эллипс гассвивлния 199 Таким образом, вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания, полуоси которого равны л средним квадратическим отклонениям, равна: Р ( (Х.
У) с" Ва) = 1 — а (9.4.5) В качестве примера найдем вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону на плоскости хОу, в единичный эллипс рзссеивания, полуоси которого равны средним квадратическим отклонениям: а=о,; 5=с . Для такого эллипса а= 1. Имеем: 1 Р((Х, У) ~ В)=1 — е Пользуясь таблицей 2 приложения, находим: Р((Х, У) с= В,) ж 0.393. Формула (9,4.5) чаще всего применяется для вычисления вероятности попадания в круг при круговом рассеивании. Пример, На пути быстро движущейся малоразмерной цели площади 1,2 м ставится осколочное поле в форме плоского диска радиуса Й 30 м.
Внутри диска плотность осколков постоянна и равна 2 оск./мт. Если цель накрыта диском, то число осколков„ попада~сщнх в нее, можно считать распределен- ьым по закону Пуассона. В силу малости цели можно рассматривать ее как точечную и считать, что оиа или полностью накрывается осколочным полем (если ее центр попздает в круг), нли совсем не накрывается (если ее центр не попадает в круг).
Попадание осколка гарантирует поражение нели. При прицеливании центр круга Ог стремятся совместить в плоскости хОу с началом координат О (центром цели), но вследствие ошибок точка О, рассен- ";ся около О (Рпс. 9.4.11. Закон Рассеивания нормальный, рассеивание круговое, ч = 20 лс Определить вероятность йораже- иия цеди Р(А) Решение. Чтобы цель была пора- Рвс. 9.4,1 жена осколками, необходимо совмещение двух событий: 1) попадание цели (точки О) в осколочное поле (круг Радиуса )с) и 2) поражение цели прн условии, что попадание произошло.
Вероятность попаданию цели в круг, очевидно, равна вероятности того, " о центр круга (случайиаи точка й~) попадет е круг радиуса тг, описанный вокруг начала координат. Применим формулу (9.4,5). Имеем: 30 Д= — =15. 20 Вероятность попадания цели в осколочное поле равна: ьз' р=1 — е т ж0,675. Далее найдем вероятность поражения цели р' при условии, что она накрыта осколочным диском.
Среднее число осколков а, попадающих в накрытую полем цель, равно произведению площади цели на плотность поля осколков: 1,2 ° 2 = 2,4. Условная вероятность поражения цели р* есть не что иное, как вероятность попадания в нее хотя бы одного осколка. Пользуясь формулой (5.9.5) главы 5, имеем: р~=)т~ 1 — е а ж 0,909. Вероятность поражения цели равна: Р (А) = 0,675. 0,909 ге 0,613.
Воспользуемся формулой (9.4.6) для вероятности попадания в круг, чтобы вывести одно важное для практики распределение: так называемое распределение Редея. Рассмотрим на плоскости хОу (рис 9.4.2) случайную точку (Х, у). рассеивающуюся вокруг начала координат О по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением а. Найдем закон распределения случайной величины )с — расстояния от точки (Х, У) до начала координат, т. е. .з длины случайного вектора с составляющими Х, Г.
Найдем сначала функцию распределения Р(г) величины )с. По определению Р (г) = Р (К ч. г). Это есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки радиуса г (рис. 9.4.2). По формуле (9.4.5) Рис. 9.4.2. (Х, У) внутрь круга зта вероятность равна: Р(г) =1 — е г гдето= —, т. е. е Р(г) =1 — е (9,4.6) Данное выражение функции распределения имеет смысл только при положительных значениях г; прн отрицательных г нужно положить Р(г) =-О. 200 нотмлльныи закон влсптеделения для системы величин 1гл. я ВВРОЯтность пОпАдАниЯ В эллипс РАссеиВАниЯ 201 Дифференцируя функцию распределения Р(г) по г. найдем плотность распределения — е г У(г) = (9.4.7) 0 при г<0.
Корень Этого уравнения и есть искомая мода ааа = а. (9.4.8) г а апта Таким образом, наивероятнейРис. 9Д.З. шее значение расстояния )А' случайной точки (Х. г) от начала координат равно среднему квадратиче- 1 скому отклонению рассеивания. Математическое ожидание лз, найдем по формуле СЮ а» И гй и,= / гу(г)йг= / —,, е з'* с~г. Производя замену переменной получим; аз=а'уг2 ~ 21за "И=а уг2 ~ 1 ° 2~а РЛ. е з 11 песрируя по частям, найдем математическое ожидание расстоя- ния е = а )/ 2 — = а ~/ — ж 1,25а.
— )гк е и 2 1' 2 (9.4.9) Закон Релея (9.4.7) встречается в разных областях практики: в стрельбе, радиотехнике, злектротехнике и др. График функции У (г) (плотности закона Релея) приведен на ' рнс. 9.4.3. Найдем числовые характеристики величины )с. распределенной по ззкону Релея, а именно: ее моду айа и математическое ожидание лег.
Для тото чтобы найти моду— абсциссу точки. в которой плотность вероятности максимальна, продифференцируем у (г) и приравняем производную нулю: га 1 — — =0; аз =га. аа 202 ноемлльныи закон елспееделения для системы величин (гл. в 9.5. Вероятность попадания в область произвольной формы При стрельбе ударными снарядами вычисление вероятности попадания в цель сводится к вычислению вероятности попадания случайной точки (Х, г') в некоторузо область Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
